プロニック数

プロニック数は、連続する2つの整数の積である数、つまり の形式の数である。^[1]これらの数の研究はアリストテレスにまで遡る。これらは、長楕円数、異角数、^[2]または長方形数とも呼ばれる。^{[3]ただし、「長方形数」という用語は}合成数にも適用されている。^{[4] [5]}${\displaystyle n(n+1)}$

最初のいくつかのプロニック番号は次のとおりです。

0、2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、132、156、182、210、240、272、306、342、380、420、462 …（OEISのシーケンスA002378）。​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

をプロニック数 とすると、 となります。したがって、プロニック数について議論する際には、一般性を失うことなく、と仮定することができます。これは、次のセクションで採用される規則です。 ${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n(n+1)}$${\displaystyle P_{{-}n}=P_{n{-}1}}$${\displaystyle n\geq 0}$

プロニック数は、アリストテレスの『形而上学』 [ ^2]で三角数や平方数とともに比喩的数として研究されており、その発見ははるか以前にピタゴラス学派によるものとされている^[3]。 比喩的数の一種であるプロニック数は、多角形数と次のように類似しているため、長楕円数^{[2]と呼ばれることもある。 [1]}

n番目のプロニック数は最初のn 個の偶数の合計であり、したがってn番目の三角数^{[1] [2]}の 2 倍であり、プロニック数の代替公式n ² + nで示されるように、 n番目の平方数よりもn大きい。n 番目のプロニック数は、奇数の平方数(2 n + 1) ²と( n +1)番目の中心六角数との差でもある。

正方行列の非対角要素の数は三角数の2倍なので、プロニック数である。^[6]

最初のn個の正のプロニック数の部分和は、n番目の四面体数の 2 倍の値になります。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}}$。

正のプロニック数の逆数（0を除く）の合計は1になる伸縮級数である： ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1}$。

この級数の最初のn項の部分和は^{[7]である。}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}}$。

正のプロニック数（0を除く）の逆数の交代和は収束する級数である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1}$。

プロニック数は偶数であり、2は唯一の素数のプロニック数である。また、2はフィボナッチ数列における唯一のプロニック数であり、唯一のプロニックルーカス数でもある。^{[8] [9]}

連続する 2 つのプロニック数の算術平均は平方数です。

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}}$

つまり、連続する2つのプロニック数の間には正方形が存在する。これは一意である。

${\displaystyle n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}。}$

この不等式の連鎖のもう 1 つの結果は、次の特性です。mがプロニック数である場合、次のことが当てはまります。

${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.}$

連続する整数は互いに素であり、プロニック数は 2 つの連続する整数の積であるという事実は、いくつかの特性につながります。プロニック数の各異なる素因数は、因数nまたはn + 1のいずれか 1 つにのみ存在します。したがって、プロニック数が平方数であるためには、nとn + 1も平方数である必要があります。プロニック数の異なる素因数の数は、 nとn + 1の異なる素因数の数の合計です。

25を任意のプロニック数の10進数表現に追加すると、結果は平方数、つまり5で終わる数の平方になります。たとえば、625 = 25 ^2、1225 = 35 ²です。これは、

${\displaystyle 100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}}$。