二重三角数

数学において、二重三角数は、三角数列の中に、やはり三角数である位置に現れる数です。つまり、 が番目の三角数を表す場合、二重三角数は という形式の数です。 ${\displaystyle T_{n}=n(n+1)/2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{T_{n}}}$

^{二重三角数は[1]}の列を形成する。

0、1、6、21、55、120、231、406、666、1035、1540、2211、...

番目の二重三角数は四次式で与えられる^[2]${\displaystyle n}$ $${\displaystyle T_{T_{n}}={\frac {n(n+1)(n^{2}+n+2)}{8}}.}$$

フロイドの三角形の行の和の合計は二重三角数を与える。この事実を別の方法で表現すると、フロイドの三角形の最初の行のすべての数の合計は番目の二重三角数である。^{[1] [2]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

二重三角数は、両方のオブジェクトが同じであるペアを含む、順序付けられていないオブジェクトの ペアの順序付けられていないペアの数として自然に発生します。

• 数理化学の例として、スレーター型軌道間の重なり積分の数が挙げられる。^[3]
• 組合せ論におけるこの現象の別の例として、二重三角数はラベル付き頂点上の2辺無向多重グラフの数を数えるというものがあります。この設定では、辺は順序のない頂点のペアであり、2辺グラフは順序のない辺のペアです。可能な辺の数は三角数であり、（両方の辺が同じ2つの頂点を接続できる）辺のペアの数は二重三角数です。^[4]${\displaystyle n}$
• 同様に、二重三角数は、正方形の四隅または四辺を色で塗る異なる方法の数も数えます。一部の色は使用されず、正方形の回転または反転によってのみ互いに​​異なる2つの色は同じものとして数えられます。正方形の任意の2つの反対の特徴に対する色の選択肢の数は三角数であり、正方形全体の色付けは、反対の特徴のペアのこれらの色付けの2つを組み合わせたものです。^[1]${\displaystyle n}$

両方の対象が同じであるペアを除外すると、異なる数列、つまり式で与えられる三三角数列 が生じる。^[5]${\displaystyle 3,15,45,105,\dots }$${\textstyle {\binom {\binom {n}{2}}{2}}}$

数秘術師や聖書学者の中には、獣の数字である666が二重三角形の数字であることに意味があると考える者もいる。 ^{[6] [7]}