平方三角数

数学において、正方三角数（または三角平方数）は、三角数であり平方数でもある数です。正方三角数は無限に存在します。最初のいくつかは次のとおりです。

番目の平方三角数を と書き、対応する正方形と三角形の辺をと と書きます。 ${\displaystyle N_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

三角数の三角根を と定義します。この定義と二次方程式の公式から、 ${\displaystyle N={\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$

したがって、が三角形 (は整数)であるのは、 が平方である場合に限ります。したがって、平方数も三角形であるのは、 が平方である場合に限ります。つまり、 となる数と が存在するということです。これは、のペル方程式の例です。すべてのペル方程式は、任意の に対して自明な解を持ちます。これはゼロ次解と呼ばれ、 と添え字が付けられます。が特定の に対する任意のペル方程式の 番目の非自明な解を表す場合、降下法によって次の解が示されることができます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 8N+1}$${\displaystyle M^{2}}$${\displaystyle 8M^{2}+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$${\displaystyle n=8}$${\displaystyle x=1,y=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(1,0)}$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}}$

したがって、任意のペル方程式には、1 つの非自明な解が存在する無限の解が存在し、これはが平方でない場合に常に当てはまります。 のときの最初の非自明な解は簡単に見つけられます。それは です。 のときのペル方程式の解は、次のように平方三角数とその平方根および三角根を生成します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=8}$${\displaystyle (3,1)}$${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$${\displaystyle n=8}$

${\displaystyle \displaystyle s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.}$

したがって、 から導かれる最初の平方三角数はであり、 から導かれる次の平方三角数は です。 ${\displaystyle (3,1)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 6\cdot (3,1)-(1,0)-(17,6)}$${\displaystyle 36}$

シーケンス、およびは、それぞれOEISシーケンスOEIS :A001110、OEIS :A001109、およびOEIS :A001108です。 ${\displaystyle N_{k}}$${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle t_{k}}$

1778年にレオンハルト・オイラーは明示的な式を決定した^{[1] [2] : 12–13}

${\displaystyle \displaystyle N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

この式を展開することで得られる他の同等の式としては、次のようなものがある。

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}}$

およびに対応する明示的な式は以下の通りである: ^{[2] : 13}${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle t_{k}}$

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}}$

ペル方程式の解は、方程式の解の漸化式として表現できます。これは、平方三角数と、関連する正方形と三角形の辺を直接表現する漸化式に変換できます。^{[3] : (12)}

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{ただし }}N_{0}&=0{\text{ かつ }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{ただし }}N_{0}&=0{\text{ かつ }}N_{1}=1.\end{aligned}}}$

^{[1] [2] : 13}あります

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{s_{0}&=0{\text{ かつ s_{1}=1 の場合;\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{t_{0}&=0{\text{ かつ t_{1}=1 の場合.\end{aligned}}}$

すべての平方三角数は の形を持ち、 は の連分数展開、つまり2 の平方根に収束します。^[4]${\displaystyle b^{2}c^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {b}{c}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

AV シルウェスターは、平方三角数が無限に存在するという簡単な証明を与えました。番目の三角数が平方数であれば、それより大きい番目の三角数も平方数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle 4n(n+1)}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.}$

この式の左辺は三角数の形をしており、3つの平方数の積として右辺は平方数である。^[5]

二乗三角数の生成関数は次の通りである: ^[6]

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }$

• キャノンボール問題、同時に正方形かつ四角錐である数に関する問題
• 6乗、つまり平方数と立方数を同時に表す数

• 結び目を切ると正方形になる三角数
• Weisstein、Eric W.「平方三角数」。MathWorld。
• マイケル・ダメットの解決策