階乗数

因数三角数はいくつかの漸化式を満たす。${\displaystyle n\geq 1}$、

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n+1}=(n+1)\left(\operatorname {Ft} _{n}-{\frac {n^{2}-2}{2}}\right)}$

そして、${\displaystyle n\geq 2}$、

${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=n\left(\operatorname {Ft} _{n-1}-{\frac {n^{2}-2n-1}{2}}\right)}$

これらは、次数1の変数係数を持つ線形非同次漸化式である。

指数生成関数${\displaystyle E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Ft} _{n}{\tfrac {x^{n}}{n!}}}$階乗数の場合は (${\displaystyle -1<x<1}$）

${\displaystyle E(x)={\frac {2+(2-5x^{2}+2x^{3}+x^{4})e^{x}}{2(1-x)^{2}}}}$

シーケンスを拡張して${\displaystyle \operatorname {Ft} _{0}=1}$すると指数生成関数は次のようになる

${\displaystyle E(x)={\frac {2+(2x-x^{2}-x^{3})e^{x}}{2(1-x)}}}$。

因数分解された三角数は、2つの三角数の和として表されることがある。

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=2T_{n}}$かつその場合に限り${\displaystyle n=1}$または${\displaystyle n=3}$。
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=T_{x}+T_{n}}$かつその場合に限り${\displaystyle 8n!+1}$は完全な平方数です。${\displaystyle n\neq x}$唯一知られている解決策は${\displaystyle (\operatorname {Ft} _{5},T_{15})=(135,120)}$与える${\displaystyle \operatorname {Ft} _{5}=T_{5}+T_{15}}$。
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{n}=T_{x}+T_{y}}$かつその場合に限り${\displaystyle 8\operatorname {Ft} _{n}+2}$2つの平方数の和です。

数階乗の中には、2つの平方数の和として表せるものがある。${\displaystyle n\leq 20}$次のように書ける角の階乗数${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$いくつかの整数に対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$含む：

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2=1^{2}+1^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5=1^{2}+2^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{4}=34=3^{2}+5^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{9}=362,925=195^{2}+570^{2}}$

この結果は、 2 乗の和の定理に関連しており、正の整数が 2 乗の和として表せるのは、その素因数分解にの形の素因数が含まれていない場合に限ると述べています。${\displaystyle 4k+3}$奇妙なべき乗に上げた。

フィボナッチ数列の階乗数とは、フィボナッチ数列の数であると同時に階乗数でもある数のことです。そのような数は正確には3つ存在します。

• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2=F_{3}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5=F_{5}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ft} _{4}=34=F_{9}}$

この結果はロマー・カスティージョによって予想され、後にルイスとルカによって証明された。^{[ 2 ] [ 1 ]}

ペル階乗数とは、ペル数であると同時に階乗数でもある数のことである。 ^{[ 3 ]}ルカとゴメス＝ルイスは、そのような数がちょうど3つ存在することを証明した。${\displaystyle \operatorname {Ft} _{1}=2}$、${\displaystyle \operatorname {Ft} _{2}=5}$、 そして${\displaystyle \operatorname {Ft} _{3}=12}$[ ^{3 ]​}

カタラン階乗数とは、カタラン数であり階乗数でもある数のことです。そのような数は 1、2、5 だけです。^{[ 4 ]}また、同じ論文で、階乗数でもある中心二項係数は 1 と 2 だけであることも証明しました。