中心多角形数

中心多角形数は、それぞれが中央の点で形成され、その周囲を一定数の辺を持つ多角形の点の層が囲む図形数の系列の一種です。多角形層の各辺には、前の層の各辺よりも 1 つ多い点が含まれます。そのため、2 番目の多角形層から始めて、中心k角形数の各層には、前の層よりもk個多い点が含まれます。

級数の各中心k角数は、前の三角数のk倍に 1 を加えたものです。これは、式 で形式化できます。ここで、n は、最初の 1 が 0 で始まる級数の階数です。たとえば、級数の各中心平方数は、前の三角数の 4 倍に 1 を加えたものです。これは、式 で形式化できます。 ${\displaystyle {\frac {kn(n+1)}{2}}+1}$${\displaystyle {\frac {4n(n+1)}{2}}+1}$

このシリーズは、

• 中心三角数1、4、10、19、31、46、64、85、109、136、166、199、... ( OEIS : A005448 )、
• 中心平方数1、5、13、25、41、61、85、113、145、181、221、265、... ( OEIS : A001844 )。これらは、連続する平方数の合計、つまり n^2 + (n - 1)^2 に相当します。
• 中心五角数1、6、16、31、51、76、106、141、181、226、276、331、... ( OEIS : A005891 )、
• 中心六角数1、7、19、37、61、91、127、169、217、271、331、397、... ( OEIS : A003215 ) は、連続する立方数の差、つまりn ³ − ( n − 1) ³に等しい。
• 中心七角数1、8、22、43、71、106、148、197、253、316、386、463、... ( OEIS : A069099 )、
• 中心八角数1、9、25、49、81、121、169、225、289、361、441、529、... ( OEIS : A016754 ) は、まさに奇数の 平方数です。
• 中心九角数1、10、28、55、91、136、190、253、325、406、496、595、... ( OEIS : A060544 )。これには 6 を除くすべての偶数完全数が含まれます。
• 中心十角数1、11、31、61、101、151、211、281、361、451、551、661、... ( OEIS : A062786 )、
• 中心16角数 1、12、34、67、111、166、232、309、397、496、606、727、... ( OEIS : A069125 )、
• 中心十二角数 1、13、37、73、121、181、253、337、433、541、661、793、... ( OEIS : A003154 ) は星の数でもある。

等々。

次の図は、中心多角形数とその幾何学的構成のいくつかの例を示しています。これらの図を「多角形数」の図と比較してください。

上の図からわかるように、n番目の中心k角数は、( n −1)番目の三角数を中心点の周りにk個配置することで得られる。したがって、 n番目の中心k角数は

${\displaystyle C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.}$

n番目と( n +1)番目に連続する中心k角数の差はk (2n + 1)である。

n次の中心k角数は、 n次の正規k角数に ( n -1) ²を加えたものに等しい。

通常の多角形数の場合と同様に、最初の中心k角数は 1 です。したがって、任意のkについて、1 はk角数であり、中心k角数でもあります。次のk角数であり、中心k角数でもある数は、次の式を使用して見つけることができます。

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1}$

これは、10 が三角形であり、かつ中心が三角形であり、25 が正方形であり、かつ中心が正方形である、などであることを示しています。

素数 p は多角数にはなり得ませんが(各p が2 番目のp角数であるような自明な場合を除く)、多くの中心多角数は素数です。実際、k ≥ 3、k ≠ 8、k ≠ 9 の場合、素数である中心k角数は無限に存在します (ブニャコフスキー予想を想定)。すべての中心八角数は平方数でもあり、すべての中心九角数は三角数(3 と等しくない)でもあるため、両方とも素数にはなり得ません。

中心k角数の逆数の和は^{[1]である。}

${\displaystyle {\frac {2\pi }{k{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}}}\tan \left({\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}\right)}$、k ≠8の場合

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}}$、k = 8の場合

• ニール・スローン＆サイモン・プラウフ（1995年）。整数列百科事典サンディエゴ：アカデミックプレス。: 図M3826
• Weisstein、Eric W.「中心多角形数」。MathWorld。
• F. タプソン (1999)。オックスフォード数学学習辞典(第 2 版)。オックスフォード大学出版局。pp. 88–89。ISBN 0-19-914-567-9。