三角形の面積を2倍にしてから半分にするという通常の手順を回避した、公式 T = b × 1 / 2 h の 幾何学 において、三角形 の面積 を計算することは、基本的で広く出会える問題です。任意の三角形の面積を求める最もよく知られた最も単純な公式は次のとおりです。 エリア = 1 2 × ベース × 身長 、 {\displaystyle {\text{面積}}={\tfrac {1}{2}}\times {\text{底辺}}\times {\text{高さ}},} 長さを 意味し、「高さ」とは底辺の線と対応する頂点 （三角形の反対側の角）との間の最短距離を意味します。
この公式は単純ではあるものの、高さが容易に求められる場合にのみ有効であり、常にそうとは限りません。たとえば、三角形の畑の測量士は、 各辺の長さを測るのは比較的容易でも、「高さ」を算定するのは比較的困難であると感じるかもしれません。三角形について何がわかっているかによって、実際にはさまざまな方法が使用される可能性があります。三角形の面積を求めるためによく使用される他の公式には、三角法 、辺の長さ（ヘロンの公式 ）、ベクトル、座標 、線積分 、ピックの定理 、またはその他の性質を使用するものがあります。[ 1 ]
三角形の面積は、例えば三角形の合同 条件を利用して、底辺の長さと高さが同じ平行四辺形 の面積の半分として示すことができる。 平面 図形 （二次元図形）の面積と 正方形 を基準とした単位（例えば、平方メートル）で測定されます。このような単位を用いる場合、 長方形 の面積は、隣接する2辺（底辺 b と高さ hと 呼ばれることもあります）の長さを掛け合わせることで求められます。例えば、長さ2メートル、高さ5メートルの長方形の面積は10平方メートルです。
直角三角形 とは、互いに直角をなす2辺（脚 と呼ばれる）を持つ三角形のことです。 直角 三角形は、その2辺を底辺と高さとする長方形を対角線で二等分し た半分の大きさです。したがって、直角三角形の面積Tは、対応する長方形の面積を 半分にする ことで求められます。つまり、2辺の長さを掛け合わせて、その結果を2で割ることで求められます。T = b × 1 2 h 。 {\displaystyle T=b\times {\tfrac {1}{2}}h.} 直角三角形のいずれかの辺を底辺 とすると、対応する高さ はもう一方の辺となる。
任意の辺を底辺とする他の三角形も同様に平行四辺形 の半分であり、これも対角線に沿って二等分され、さらに分割して 同じ底辺の長さと高さを持つ長方形に再構成することができます。したがって、三角形の面積T は 同じ公式を使用して計算できます。T = 1 2 b h 。 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.} 高さは どの辺とも一致せず、底辺に垂直な新しい線分であり、その一方の端点は 頂点 （対角）にあり、もう一方の端点は底辺を含む直線 上にあります。この線分の長さを三角形の高さ または垂線 と呼び、頂点と底辺を含む直線との間の最短距離です。
オレンジ色の三角形△ ABCは 、底辺AB と面積を共有しています。頂点Cの 軌跡は 、底辺に平行な直線（緑色の破線）です。 三角形の面積公式の帰結の一つは、球面三角形に関するレクセルの定理 の平面版である。底辺の長さ、面積、頂点が底辺と同じ側にある三角形はすべて、底辺に平行 な特定の線上に頂点を持つ。[ 2 ]
角度からの計算 三角法を用いて高度h を求めます。 三角形の面積Tは、 三角法 を応用することで求めることができる。
以来ベビーベッド γ = − ベビーベッド （ π − γ ） = − ベビーベッド （ α + β ） 、 {\displaystyle \cot \gamma =-\cot(\pi -\gamma )=-\cot(\alpha +\beta ),} T = b 2 2 （ ベビーベッド α − ベビーベッド （ α + β ） ） = b 2 罪 α 罪 （ α + β ） 2 罪 β 、 {\displaystyle T={\frac {b^{2}}{2(\cot \alpha -\cot(\alpha +\beta ))}}={\frac {b^{2}\sin \alpha \sin(\alpha +\beta )}{2\sin \beta }},}
同様に、既知の辺がa またはc の 場合も同様です。
T = 1 2 2 （ ベビーベッド β + ベビーベッド γ ） = 1 2 罪 β 罪 γ 2 罪 （ β + γ ） 、 {\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}},}
また、既知の辺がb またはcの 場合も同様である。[ 3 ]
三角形の形状は辺の長さによって一意に決定されるため、面積を含むその計測的性質は、それらの長さで表すことができます。ヘロンの公式 によれば、 T = s （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） {\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
どこs = 1 2 （ 1 + b + c ） {\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} は半周長 、つまり三角形の周長の半分です。
ヘロンの公式を記述する他の3つの同等の方法は次のとおりです。 T = 1 4 （ 1 2 + b 2 + c 2 ） 2 − 2 （ 1 4 + b 4 + c 4 ） = 1 4 2 （ 1 2 b 2 + 1 2 c 2 + b 2 c 2 ） − （ 1 4 + b 4 + c 4 ） = 1 4 （ 1 + b + c ） （ − 1 + b + c ） （ 1 − b + c ） （ 1 + b − c ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.\end{aligned}}}
3つの式はヘロンの式と同じ構造を持つが、異なる変数で表現されている。まず、辺a 、b 、c からの中央値をそれぞれm a 、m b 、m c と表し、それらの半和をσ = 1 2 （ m 1 + m b + m c ） 、 {\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),} [ ] T = 4 3 σ （ σ − m 1 ） （ σ − m b ） （ σ − m c ） 。 {\displaystyle T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}
次に、辺a 、b 、c からの垂線をそれぞれh a 、h b 、h c と表し、垂線の逆数の半和を次のように表す。H = 1 2 （ h 1 − 1 + h b − 1 + h c − 1 ） 、 {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}),} [ ] T − 1 = 4 H （ H − h 1 − 1 ） （ H − h b − 1 ） （ H − h c − 1 ） 。 {\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}
そして、角度の正弦の半和を次のように表す。S = 1 2 （ 罪 α + 罪 β + 罪 γ ） 、 {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),} [ ] T = D 2 S （ S − 罪 α ） （ S − 罪 β ） （ S − 罪 γ ） {\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}
ここで、Dは 外接円 の直径である。D = 1 罪 α = b 罪 β = c 罪 γ 。 {\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}
ベクトルを使用する 三角形△ ABC の面積は平行四辺形 の面積の半分である。 T = 1 2 ‖ （ b − 1 ） ∧ （ c − 1 ） ‖ = 1 2 ‖ 1 ∧ b + b ∧ c + c ∧ 1 ‖ 、 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\wedge (\mathbf {c} -\mathbf {a} ){\bigr \|}={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} +\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} {\bigr \|},}
ここで、 a b c ベクトル であり、 b – a c – a A から他の各頂点への並進ベクトル であり、 ∧ はウェッジ積 である。頂点A を原点とすると、これは次のように簡略化される。1 2 ‖ b ∧ c ‖ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|}
任意のアフィン空間 における平行四辺形の 向き付けられた相対面積（一種の双ベクトル）は、 u ∧ v u v ユークリッド空間 では、この双ベクトルの大きさは、平行四辺形の面積を表す明確なスカラー値です。（3次元空間のベクトルの場合、双ベクトル値の外積はベクトル値の外積と同じ大きさを持ちますが 、3次元ユークリッド空間でのみ定義される外積とは異なり、外積は任意の次元のアフィン空間で明確に定義されます。）
三角形△ ABC の面積は、内積 を用いて表すこともできます。頂点A を原点とし、他の頂点b c
T = 1 2 b 2 c 2 − （ b ⋅ c ） 2 、 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mathbf {b} ^{2}\mathbf {c} ^{2}-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )^{2}}},}
ここで任意のユークリッドベクトルv 2 = ‖ v ‖ 2 = v ⋅ v {\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=\|\mathbf {v} \|^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } [ 7 ] u 2 v 2 = （ u ⋅ v ） 2 + ‖ u ∧ v ‖ 2 {\displaystyle \mathbf {u} ^{2}\mathbf {v} ^{2}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}+\|\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \|^{2}}
2次元ユークリッド空間において、座標が( x B , y B )のベクトル b ( x C , y C ) のベクトルc ‖ b ∧ c ‖ = | x B y C − x C y B | 。 {\displaystyle \|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|=|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}
（次のセクションを参照してください。）
座標を使用する 頂点Aが デカルト座標系 の原点(0, 0) に位置し、他の 2 つの頂点の座標がB = ( x B , y B ) およびC = ( x C , y C ) で与えられる場合、面積は行列式 の絶対値の 1/2 倍として計算できます 。 T = 1 2 | 検出 （ x B x C y B y C ） | = 1 2 | x B y C − x C y B | 。 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}
3つの一般的な頂点の場合、方程式は次のようになります。 T = 1 2 | 検出 （ x A x B x C y A y B y C 1 1 1 ） | = 1 2 | x A y B − x A y C + x B y C − x B y A + x C y A − x C y B | 、 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}
これは次のように書くことができる T = 1 2 | （ x A − x C ） （ y B − y A ） − （ x A − x B ） （ y C − y A ） | 。 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}
点が反時計回りに順番にラベル付けされている場合、上記の行列式は正となり、絶対値記号は省略できます。[ 8 ] 上記の式は、靴ひも式 または測量士の式として知られています。
複素平面 上の頂点を反時計回りにa = x A + y A i b = x B + y B i c = x C + y C i a b c T = 私 4 | 1 1 ¯ 1 b b ¯ 1 c c ¯ 1 | {\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}
これは靴ひもの公式と同等です。
3次元空間において、一般的な三角形A = ( x A , y A , z A )B = ( x B , y B , z B )C = ( x C , y C , z C x = 0 、y = 0 およびz = 0 )へのそれぞれの投影面積のピタゴラス和 です。 T = 1 2 | x A x B x C y A y B y C 1 1 1 | 2 + | y A y B y C z A z B z C 1 1 1 | 2 + | z A z B z C x A x B x C 1 1 1 | 2 。 {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}
線積分を用いる 三角形などの任意の閉曲線内の面積は、曲線上の点から任意の向きを持つ直線Lまでの代数的距離または符号付き距離を曲線に沿って 積分することによって与えられます。向きを持つ直線 L の右側にある点は、 L から負の距離にあるとみなされ、積分の重みは弧長そのものではなく、L に平行な弧長 の成分となります。
この方法は、任意の多角形 の面積の計算に適しています。Lを x 軸とすると、連続する頂点( x i , y i ) と( x i +1y i +1 の間の線積分は、底辺に平均高さを掛けたもので与えられます。 1 2 （ x 私 + 1 − x 私 ） （ y 私 + y 私 + 1 ） 。 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i}+y_{i+1}).}
線積分法は、座標系を任意に選択するという点で他の座標ベースの方法と共通していますが、他の方法とは異なり、三角形の頂点を原点としたり、辺を底辺としたりといった任意の選択は行いません。さらに、L で定義される座標系の選択は、通常の 3 自由度ではなく 2 自由度のみに制限されます。これは、重みが局所的な距離 (例えば、上記のx i +1x i ) であるため、この方法ではL に垂直な軸を選択する必要がないためです。
極座標 で作業する場合、線積分を使用するためにデカルト座標 に変換する必要はありません。多角形の連続する頂点( r i , θ i と( r i +1θ i +1 間の線積分は、次のように直接与えられます。 1 2 r 私 r 私 + 1 罪 （ θ 私 + 1 − θ 私 ） 。 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,r_{i}r_{i+1}\sin(\theta _{i+1}-\theta _{i}).} これは、 θ のすべての値に対して有効ですが、 | θ | がπ より何桁も大きい場合、数値精度が若干低下します。この定式化では、負の面積は時計回りの走査を示しており、極座標と直交座標を混在させる場合は、この点に留意する必要があります。直交座標での線積分においてy 軸 ( x = 0 ) の選択が重要でないのと同様に、ここではゼロ方向 ( θ = 0
任意の格子多角形 （垂直方向および水平方向に等間隔に配置された格子点を持つグリッド上に描かれ、頂点が格子点上にある多角形）の面積を求める手法については、ピックの定理を 参照してください。
その定理は次のように述べている。 T = 私 + 1 2 B − 1 {\displaystyle T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1}
ここで、I は内部格子点の数、B は多角形の境界上にある格子点の数である。
言葉なしで証明する。 他にも面積の公式は数多く存在し、例えば T = r s 、 {\displaystyle T=rs,}
ここで、 r は内接半径 、s は半周長 （実際、この式はすべての 接線多角形 に対して成り立つ）であり、[ 9 ] ：
T = r 1 （ s − 1 ） = r b （ s − b ） = r c （ s − c ） {\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}
ここで、r a 、r b 、r c はそれぞれ辺a 、b 、c に接する外接円 の半径である。
また、
T = 1 2 D 2 （ 罪 α ） （ 罪 β ） （ 罪 γ ） {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}
および[ 10 ] T = 1 b c 2 D = 1 b c 4 R {\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}
外径D の場合、および[ 11 ] T = 1 4 （ タン α ） （ b 2 + c 2 − 1 2 ） {\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})}
角度α ≠ 90°
面積は次のように表すこともできます[ 12 ] T = r r 1 r b r c 。 {\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}
1885年、ベイカー[ 13 ] T = 1 2 1 b c h 1 h b h c 3 、 = 1 2 1 b h 1 h b 、 = 1 + b 2 （ h 1 − 1 + h b − 1 ） 、 = R h b h c 1 {\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},\\[2pt]&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},\\[2pt]&={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},\\[2pt]&={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}\end{aligned}}}
外接円半径（外接円の半径）R 、 T = h 1 h b 2 罪 γ 。 {\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}
領域の上限 周囲長がp の任意の三角形の面積T は、
T ≤ p 2 12 3 、 {\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}
等号が成り立つのは、三角形が正三角形である場合に限る。[ 14 ] [ 15 ] ：
面積Tのその他の上限値は [ 16 ] ： p.290
4 3 T ≤ 1 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}
そして
4 3 T ≤ 9 1 b c 1 + b + c 、 {\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}
等号が成り立つのは、三角形が正三角形である場合に限る。
領域を二等分する 三角形の面積を二等分する線は 無限に存在します。[ 22 ]
三角形の面積と周長をそれぞれ二等分する直線は、必ず三角形の内心を通る。このような内心は、三角形によっては1つ、2つ、または3つ存在する。
参考文献 ↑ Weisstein, Eric W. 「三角形の面積」MathWorld ↑ これと逆は、
ユークリッド （紀元前300年頃）、『原論』 命題 I.35：「底辺が同じで平行線上にある平行四辺形は互いに等しい。」 命題 I.37：「底辺が同一で平行線上にある三角形は互いに等しい。」 命題 I.39：「底辺と辺が同じである正三角形は、同じ平行線上にある。」 ↑ ワイスタイン、エリック・W. 「トライアングル」 。 マスワールド 。 ↑ Benyi, Arpad、「三角形に対するヘロン型の公式」、 Mathematical Gazette 87、2003年7月、324–326。 ↑ ミッチェル、ダグラス W.、「三角形の逆面積を求めるヘロン型の公式」、 Mathematical Gazette 89、2005年11月、494。 ↑ ミッチェル、ダグラス W.、「正弦関数を用いたヘロン型面積公式」、 Mathematical Gazette 93、2009 年 3 月、108–109。 ↑ 数量 v 2 {\displaystyle \mathbf {v} ^{2}} は 幾何積 を表します。 v {\displaystyle \mathbf {v} } それ ↑ バート・ブレイデン (1986). "測量士の面積公式" (PDF) . カレッジ数学ジャーナル . 17 (4): 326– 337. doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282 . 2003 年 11 月 5 日の オリジナル (PDF)からアーカイブ済み。2012 年 1 月 5 日 取得 。 ↑ 「Sa ́ndor Nagydobai Kiss、「Feuerbach 点とその拡張の距離特性」、 Forum Geometricorum 16、2016、283–290」 （PDF） 。 ↑ "Circumradius" . AoPSWiki . 2013年6月20日の オリジナルからアーカイブ済み . 2012年 7月26日 取得 . ↑ ミッチェル、ダグラス W.、「四角形の面積」、 Mathematical Gazette 93、2009 年 7 月、306–309。 ↑ Pathan, Alex、および Tony Collyer、「三角形の面積特性の再検討」、 Mathematical Gazette ↑ ベイカー、マーカス、「平面三角形の面積の公式集」、 Annals of Mathematics 、第1巻(6)第1部、1885年1月、134-138頁、第2巻(1)第2部、1885年9月、11-18頁。ここに示されている公式は、#9、#39a、#39b、#42、および#49です。読者は、この資料にある公式のいくつかが正しくないことに注意してください。 ↑ Chakerian, GD「幾何学の歪んだ見方」『 Mathematical Plums 』（R. Honsberger 編）第 7 章。ワシントン DC: アメリカ数学協会、1979 年: 147。 ↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B.「ヘロン三角形とモジュライ空間」 Mathematics Teacher 101、2008年5月、656–663。 ↑ Posamentier, Alfred S.、および Lehmann, Ingmar、『三角形の秘密』 ↑ 「ユークリッドによるピタゴラスの定理の証明｜シナプティック」 。 セントラルカレッジ。 2023年7月12日 取得 。 ↑ ヒース、トーマス L. (1921). ギリシア数学史 (第 2 巻) . オックスフォード大学出版局. pp. 321–323 . ↑ Weisstein, Eric W. 「ヘロンの公式」 . MathWorld . ↑ クラーク、ウォルター・ユージン (1930)。 アーリヤバタのアーリヤバティーヤ：古代インドの数学と天文学に関する著作 (PDF) 。シカゴ大学出版局。p. 26。 ↑ Xu, Wenwen; Yu, Ning (2013 年 5 月). 「中国剰余定理を発見した数学者にちなんで名付けられた橋」 (PDF) . アメリカ数学会報 . 60 (5): 596– 597. doi : 10.1090/noti993 . ↑ Dunn, JA、Pretty, JE、「三角形を半分にする」、 Mathematical Gazette 
![{\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7908427a23cfbb7110e9ca5f689262353516099)
![{\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},\\[2pt]&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},\\[2pt]&={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},\\[2pt]&={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fca005d195b0499aa697a043f706b5377c73225)
