静的に不確定

静力学と構造力学では、構造物の内部力と反力を決定するのに平衡方程式（力とモーメントの平衡条件）が不十分な場合、その構造物は静的に不確定である。 ^{[1] [2]}

ニュートンの運動の法則に基づくと、2次元物体に適用される平衡方程式は次のようになる。^[2]

${\displaystyle \sum \mathbf {F} =0:}$物体に作用する 力のベクトルの合計はゼロになります。これは次のように変換されます。

${\displaystyle \sum \mathbf {H} =0:}$力の水平成分の合計はゼロになります。

${\displaystyle \sum \mathbf {V} =0:}$力の垂直成分の合計はゼロになります。

${\displaystyle \sum \mathbf {M} =0:}$すべての力のモーメント（任意の点の周り）の合計はゼロになります。

右側の梁構造では、4つの未知の反応はV _A、V _B、V _C、およびH _Aです。平衡方程式は次のとおりです。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {V} =0\quad &\implies \quad \mathbf {V} _{A}-\mathbf {F} _{v}+\mathbf {V} _{B}+\mathbf {V} _{C}=0\\\sum \mathbf {H} =0\quad &\implies \quad \mathbf {H} _{A}=0\\\sum \mathbf {M} _{A}=0\quad &\implies \quad \mathbf {F} _{v}\cdot a-\mathbf {V} _{B}\cdot (a+b)-\mathbf {V} _{C}\cdot (a+b+c)=0\end{aligned}}}$

未知の力（または変数）は 4 つ（V _A、V _B、V _C、およびH _A ）ありますが、平衡方程式は 3 つしかないため、この連立方程式には一意の解がありません。したがって、この構造は不静定として分類されます。

静的に不確定なシステムを解く（システム内のさまざまなモーメントと力の反応を決定する）には、材料特性と変形の適合性を考慮します。

Bのサポートが削除されると、反応V _Bは発生できず、システムは静的に決定的（または等静的）になります。^{[3]ここでシステムが}完全に拘束されていることに注意してください。システムは、正確な拘束 運動学的結合になります。問題の解は次のとおりです。^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} _{A}&=\mathbf {F} _{h}\\\mathbf {V} _{C}&={\frac {\mathbf {F} _{v}\cdot a}{a+b+c}}\\\mathbf {V} _{A}&=\mathbf {F} _{v}-\mathbf {V} _{C}\end{aligned}}}$

さらに、Aの支持をローラー支持に変更すると、反作用の数は 3 つに減少します ( H _Aなし)。ただし、梁は水平方向に移動可能になります。システムは不安定になるか、部分的に拘束されます。これは構造というよりはメカニズムです。平衡状態のシステムが乱されて不安定になる状況と区別するために、ここでは部分的に拘束という表現を使用することをお勧めします。この場合、2 つの未知数V _AとV _{C は、}垂直力方程式とモーメント方程式を同時に解くことで決定できます。解は、以前に得られたものと同じ結果をもたらします。ただし、 F _h = 0でない限り、水平力方程式を満たすことはできません。^[2]

記述的に、静的に決定的な構造は、外部荷重と平衡状態にある内部動作を見つけることが可能であれば、それらの内部動作が一意である構造として定義できます。構造には自己応力の状態は存在せず、つまり、外部荷重がゼロの状態で平衡状態にある内部力は存在しません。ただし、静的不確定性とは、均質な平衡方程式系に対する非自明な (非ゼロの) 解が存在することです。これは、機械的または熱的作用によって引き起こされる自己応力 (外部荷重がない場合の応力) の可能性を示しています。

数学的には、剛性行列がフルランクを持つことが必要です。

静的に不確定な構造は、材料特性やたわみなどの追加情報を含めることによってのみ解析できます。数値的には、マトリックス構造解析、有限要素法(FEM)、またはモーメント分布法( Hardy Cross ) を使用することでこれを実現できます。

実際には、安定性に絶対的に必要なものよりも多くの機械的制約（壁、柱、ボルトなど）を含む構造は、「静的に過剰決定されている」と呼ばれます。

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