回路トポロジー（電気）

電子回路の回路トポロジーは、回路コンポーネントの相互接続ネットワークがとる形式です。コンポーネントの異なる特定の値または定格は、同じトポロジーであると見なされます。トポロジーは、回路内のコンポーネントの物理的なレイアウトや回路図上の位置とは関係ありません。数学的概念のトポロジーと同様に、コンポーネント間にどのような接続が存在するかのみに関係します。多数の物理的なレイアウトと回路図はすべて、同じトポロジーになる場合があります。

厳密に言えば、コンポーネントをまったく異なるタイプのコンポーネントに置き換えても、トポロジは同じです。ただし、状況によっては、これらは異なるトポロジとして大まかに説明できます。たとえば、ローパス フィルターでインダクタとコンデンサを交換すると、ハイパスフィルターになります。これらは、ネットワーク トポロジが同一であっても、ハイパス トポロジとローパス トポロジとして説明できます。これらのオブジェクトのクラス (つまり、コンポーネントのタイプは指定されているが絶対値は指定されていないネットワーク) のより正確な用語は、プロトタイプ ネットワークです。

電子ネットワークトポロジーは数学的トポロジーに関連しています。特に、2 つの端子デバイスのみを含むネットワークの場合、回路トポロジーはグラフ理論の応用として考えることができます。トポロジーの観点からこのような回路のネットワーク分析では、ネットワークノードはグラフ理論の頂点であり、ネットワークブランチはグラフ理論の エッジです。

標準的なグラフ理論は、集積回路などの能動部品や多端子デバイスを扱うように拡張できます。グラフは無限ネットワークの分析にも使用できます。

この記事の回路図は、電子工学における通常の慣例に従っています。^[1]線は導体、塗りつぶされた小さな円は導体の接続点、そして白い小さな円は外部との接続端子を表します。ほとんどの場合、インピーダンスは長方形で表されます。実際の回路図では、抵抗器、インダクタ、コンデンサなどに固有の記号が使用されますが、トポロジーではネットワーク内のコンポーネントの種類は考慮されないため、代わりに一般的なインピーダンスの記号が使用されています。

この記事のグラフ理論のセクションでは、ネットワークを表現する別の方法について説明します。

多くのトポロジーの名前は、図に描いたときの見た目に関係しています。ほとんどの回路はさまざまな方法で描くことができるため、さまざまな名前が付けられています。たとえば、図1.1に示す3つの回路はすべて見た目が異なりますが、トポロジーは同じです。^[2]

この例は、類似するアルファベットの文字にちなんでトポロジに名前を付けるという一般的な慣例も示しています。ギリシャ語のアルファベット文字もこの方法で使用されることがあります。たとえば、Π (パイ) トポロジや Δ (デルタ) トポロジなどです。

2 つのコンポーネントまたはブランチを持つネットワークでは、直列と並列の2 つのトポロジのみが可能です。

このような最も単純なトポロジの場合でも、回路はさまざまな方法で表現できます。

3 つのブランチを持つネットワークには、4 つのトポロジが考えられます。

並列直列トポロジは、後述するデルタ トポロジの別の表現であることに注意してください。

直列および並列トポロジーは、無限に分岐を増やして構築し続けることができます。直列または並列分岐から得られる一意のトポロジーの数は、1、2、4、10、24、66、180、522、1532、4624、 （ OEISのシーケンスA000084）です。^{[3] [4]}${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \dots}$

Y と Δ は、最も単純な 3 端子ネットワークであるため、線形ネットワーク解析では重要なトポロジです。線形回路では、 Y-Δ 変換を使用できます。この変換が重要なのは、一部のネットワークは直列と並列の組み合わせで解析できないためです。これらのネットワークは、3 相モーターまたは変圧器の巻線で最も一般的な 2 つのトポロジであるため、3 相電力回路でよく使用されます。

一例として、図 1.6 のネットワークが挙げられます。これは Y ネットワークと Δ ネットワークが並列に接続されたものです。ネットワークの 2 つのノード間のインピーダンスを計算したいとします。多くのネットワークでは、直列または並列インピーダンスの組み合わせの規則を連続的に適用することで計算できます。ただし、直列および並列規則に加えて Y-Δ 変換が必要なこのケースでは、これは不可能です。^[5] Y トポロジはスター トポロジとも呼ばれます。ただし、スター トポロジは、3 つだけではなく、同じノードに多数のブランチが接続されるより一般的なケースを指すこともあります。^[6]

図 1.7 に示すトポロジは、フィルタおよび減衰器の設計によく使用されます。L セクションは、電位分割器トポロジと同じトポロジです。T セクションは、Y トポロジと同じトポロジです。Π セクションは、Δ トポロジと同じトポロジです。

これらのトポロジーはすべてラダートポロジーの短いセクションとして見ることができます。より長いセクションは通常ラダートポロジーとして説明されます。これらの種類の回路は、一般的に2ポートネットワークの観点から分析され、特徴付けられます。^[7]

ブリッジ トポロジは、ブリッジ整流器、ホイートストン ブリッジ、ラティス位相イコライザーなど、線形および非線形アプリケーションの両方で多くの用途がある重要なトポロジです。ブリッジ トポロジは、回路図でいくつかの方法で表現されます。図 1.8 の最初の表現は、ブリッジ回路の従来の表現です。2 番目の表現は、ブリッジ トポロジと、直列および並列の組み合わせによって得られるトポロジの等価性を明確に示しています。3 番目の表現は、より一般的にはラティス トポロジとして知られています。これがトポロジ的に等価であることはそれほど明白ではありません。左上のノードを右上のノードの右側に移動して視覚化すると、確かに等価であることがわかります。

通常、ネットワーク ブリッジ トポロジーと呼ばれるのは、入力ポートと出力ポートがそれぞれ対角線上のノードのペアで構成される2 ポート ネットワークとして使用されているときだけです。図 1.7 のボックス トポロジーはブリッジ トポロジーと同じように見えますが、フィルターの場合、入力ポートと出力ポートはそれぞれ隣接するノードのペアです。図 1.9 に示すように、ブリッジの出力ポートのロード (またはヌル表示) コンポーネントがブリッジ トポロジーに含まれることもあります。^[8]

ブリッジ T トポロジは、 Zobel ネットワークの記事で説明されている方法でブリッジ トポロジから派生したものです。同じ記事では、多くの派生トポロジについても説明されています。

ツインTトポロジーもあり、これは入力と出力が共通（グランド）端子を共有することが望ましい場合に実用的に使用されます。これは、たとえば、入力と出力の接続が同軸トポロジーで行われるためです。通常のブリッジトポロジーでは入力と出力端子を接続することはできません。そのため、バランスまたはヌル測定アプリケーションでブリッジが使用される場所では、ツインTが使用されます。このトポロジーは、ツインT発振器で正弦波発生器としても使用されます。図1.11の下部は、ブリッジトポロジーとの接続を強調するために再描画されたツインTトポロジーを示しています。^[9]

ラダー トポロジは無制限に拡張でき、フィルター設計でよく使用されます。ラダー トポロジにはさまざまなバリエーションがあり、その一部については「電子フィルター トポロジ」および「複合イメージ フィルター」の記事で説明されています。

ラダートポロジーのバランス形式は、任意の順序のプリズムの側面のグラフとして見ることができます。反プリズムの側面は、この意味で反ラダーであるトポロジーを形成します。反ラダートポロジーは、電圧乗算回路、特にコッククロフト・ウォルトン発電機に応用されています。コッククロフト・ウォルトン発電機には、二重反ラダートポロジーを使用する全波バージョンもあります。^[10]

無限トポロジーは、ラティスセクションやブリッジTセクションなどの他の単純なトポロジーの複数のセクションをカスケード接続することによっても形成されます。このようなラティスセクションの無限チェーンは、伝送線路の理論分析や人工シミュレーションで発生しますが、実際の回路実装としてはあまり使用されません。^[11]

3 つ以上の端子を持つコンポーネントを含む回路では、可能なトポロジの数が大幅に増加します。逆に、トポロジによって表される異なる回路の数は減少し、多くの場合、特定のコンポーネントが識別されなくても、トポロジから回路を簡単に認識できます。

より複雑な回路では、コンポーネントのトポロジーではなく、ネットワークのポート間の伝達関数の指定によって記述を進めることができる。 ^[12]

グラフ理論はグラフを扱う数学の一分野である。ネットワーク分析では、分析対象のネットワークを表現するためにグラフが広く使用されている。ネットワークのグラフは、ネットワークの特定の側面、つまりその接続性、つまりトポロジーに関連する側面のみを捉えている。多くのネットワーク方程式は同じトポロジーを持つネットワーク間で不変であるため、これはネットワークの便利な表現および一般化となり得る。これには、キルヒホッフの法則やテルゲンの定理から導かれる方程式が含まれる。^[13]

グラフ理論は、キルヒホッフの法則が定式化されたほぼその瞬間から、線形で受動的なネットワークのネットワーク解析に使用されてきました。グスタフ・キルヒホッフ自身、1847年に抵抗回路のループ解析でネットワークの抽象的表現としてグラフを使用しました。^[14] このアプローチは後にRLC回路に一般化され、抵抗がインピーダンスに置き換えられました。 1873年にジェームズ・クラーク・マクスウェルは、この解析の双対であるノード解析を提供しました。^{[15] [16]} マクスウェルは、ノードアドミタンス行列の行列式がすべてのツリーアドミタンス積の合計に等しいという位相定理も提唱しています。 1900年にアンリ・ポアンカレは、グラフをその接続行列で表すというアイデアを導入し、^[17]代数的位相幾何学の分野を確立しました。 1916年にオスワルド・ヴェブレンは、ポアンカレの代数的位相幾何学をキルヒホッフの解析に適用しました。^[18]ヴェブレンはまた、互換性のあるネットワーク変数のセットを選択するのに役立つスパニングツリー の導入にも貢献しました。 ^[19]

電気回路に適用されるネットワーク グラフの包括的なカタログ化は、 1891 年にPercy MacMahonによって開始されました (1892 年にThe Electricianにエンジニア向けの記事が掲載されました)。MacMahon は、調査を直列および並列の組み合わせに限定しました。MacMahon は、これらのグラフをヨーク チェーンと呼びました。^{[注 1]} Ronald M. Fosterは、1932 年にグラフをそのヌルまたはランクによって分類し、少数のノードを持つすべてのグラフのチャートを提供しました。この研究は、1920 年にGeorge Campbellと 4 ポート電話中継器で共同作業していたときの Foster の以前の調査から発展したもので、83,539 個の異なるグラフが作成されました。^[20]

長い間、電気回路理論におけるトポロジーは線形受動ネットワークのみを対象としてきました。近年の半導体デバイスや回路の発展により、それらを扱うためのトポロジーの新しいツールが必要になりました。回路の複雑さが大幅に増加したため、グラフ理論ではコンピュータ計算の効率を向上させるために組み合わせ論が使用されるようになりました。^[19]

ネットワークは、通常、それを構成する電気素子の種類によって分類されます。回路図では、これらの素子の種類はそれぞれ独自の記号で具体的に描かれます。抵抗ネットワークは、R個の素子のみで構成される 1 素子のネットワークです。同様に、容量性または誘導性ネットワークも 1 素子のネットワークです。RC 、RL、LC回路は、単純な 2 素子のネットワークです。RLC回路は、最も単純な 3 素子のネットワークです。ローパス フィルターによく使用されるLCラダー ネットワークは、多くの素子を持つことができますが、2 素子のネットワークの別の例です。^[21]

逆に、トポロジーはネットワークの要素間の幾何学的関係のみに関係し、要素自体の種類には関係しません。ネットワークのトポロジー表現の中心は、ネットワークのグラフです。要素はグラフのエッジとして表されます。エッジは線として描かれ、他のエッジ（要素）がそこから発する点または小さな円で終わります。回路解析では、グラフのエッジはブランチと呼ばれます。点はグラフの頂点と呼ばれ、ネットワークの ノードを表します。ノードと頂点は、ネットワークのグラフについて議論するときに互換的に使用できる用語です。図 2.2 は、図 2.1 の回路のグラフ表現を示しています。^[22]

ネットワーク分析で使用されるグラフは、通常、電流の流れと電圧の方向を捉える有向グラフと、枝とノードの一意性を捉えるラベル付きグラフの両方である。たとえば、枝の正方形で構成されるグラフは、枝に一意のラベルが付いていない限り、2つの枝を入れ替えても同じトポロジーグラフになる。有向グラフでは、枝が接続する2つのノードは、ソースノードとターゲットノードとして指定される。通常、これらは枝に描かれた矢印で示される。^[23]

グラフの基本的な特性の 1 つに、接続があります。頂点に接続されている辺は、その頂点に接続していると言われています。グラフの接続は、接続行列と呼ばれる行列を使用して行列形式で表すことができます。実際、接続行列はグラフの別の数学的表現であり、描画の必要がありません。行列の行はノードに対応し、行列の列はブランチに対応します。行列の要素は、接続がない場合は 0、ノードとブランチ間の接続の場合は 1 です。有向グラフの方向は、要素の符号で示されます。^{[19] [24]}

グラフは、変形によって一方が他方に変換できる場合、同等である。変形には、並進、回転、反射、枝の曲げや伸張、枝の交差や結び目などの操作が含まれる。変形によって同等である2つのグラフは、合同であると言われる。^[25]

電気回路網の分野では、2 つの変換が、合同なグラフを生成しない同等のグラフを生み出すと考えられています。1 つ目は、直列接続されたブランチの交換です。これは、特別なルールを必要とせずに変形によって達成できる並列接続されたブランチの交換の双対です。2 つ目は、2 つ以上の別々の部分に分割されたグラフ、つまり、各セットのノードに接続するブランチを持たない 2 セットのノードを持つグラフに関するものです。このような 2 つの別々の部分は、各ノードを 1 つのノードに結合することによって部分が結合されたグラフと同等であると見なされます。同様に、ノードを 2 つに分割することで 2 つの別々の部分に分割できるグラフも同等であると見なされます。^[26]

ツリーとは、すべてのノードが直接的または間接的にブランチによって接続されているが、閉じたループを形成していないグラフです。閉じたループがないため、ツリーには電流はありません。ネットワーク分析では、スパニング ツリー、つまりネットワークのグラフ内のすべてのノードを接続するツリーに関心があります。この記事では、特に明記しない限り、スパニング ツリーは非限定的なツリーを意味します。特定のネットワーク グラフには、複数の異なるツリーを含めることができます。ツリーを形成するためにグラフから削除されたブランチはリンクと呼ばれ、ツリーに残っているブランチは小枝と呼ばれます。n個のノードを持つグラフの場合、各ツリーのブランチの数tは次のようになります。

${\displaystyle t=n-1\ }$

回路解析にとって重要な関係は次のとおりです。

${\displaystyle b=\ell +t\}$

ここでbはグラフの枝の数、ℓは木を形成するために削除されたリンクの数である。^[27]

回路解析の目的は、ネットワーク内のすべての分岐電流と電圧を決定することです。これらのネットワーク変数はすべて独立しているわけではありません。分岐電圧は、それらを構成する要素の伝達関数によって分岐電流と関連しています。したがって、ネットワークの完全な解は、分岐電流のみ、または分岐電圧のみのいずれかになります。また、すべての分岐電流が互いに独立しているわけではありません。完全な解に必要な分岐電流の最小数はlです。これは、ツリーからl 個のリンクが削除され、ツリーに電流が流れないという事実の結果です。ツリーの残りの分岐にはゼロ電流があるため、リンク電流から独立することはできません。独立変数のセットとして選択された分岐電流は、ツリーのリンクに関連付けられたセットである必要があります。任意のl個の分岐を任意に選択することはできません。^[28]

分岐電圧に関しては、ネットワークの完全な解はt個の分岐電圧で得られる。これは、ツリーのすべての分岐を短絡すると、どこでも電圧がゼロになるという事実の結果である。したがって、リンク電圧はツリーの分岐電圧から独立することはできません。^[29]

一般的な解析アプローチは、分岐電流ではなくループ電流を解くことである。分岐電流は、ループ電流に基づいて求められる。ここでも、ループ電流のセットは任意に選択できない。独立変数のセットを保証するには、ループ電流は特定のループ セットに関連付けられているものでなければならない。このループ セットは、解析する回路のグラフの特定のツリーの 1 つのリンクを置き換えることによって形成されるループで構成される。ツリー内の 1 つのリンクを置き換えると、正確に 1 つのループが形成されるため、このように定義されるループ電流の数はlに等しい。この文脈でのループという用語は、グラフ理論におけるループの通常の意味と同じではない。特定のループを形成する分岐のセットは、タイ セットと呼ばれる。^{[注 2]} ネットワーク方程式のセットは、ループ電流をタイ セットの分岐電流の代数和に等しくすることによって形成される。^[30]

ツリーやタイセットを参照せずに、独立したループ電流のセットを選択することができます。独立したループのセットを選択するための十分な条件ですが、必須ではありません。選択された各ループに、すでに選択されたループに含まれていなかったブランチが少なくとも 1 つ含まれていることを確認することです。特に簡単な選択は、ループがすべてメッシュになるように選択されるメッシュ解析で使用されるものです。 ^{[注 3]} メッシュ解析は、ブランチが交差することなくグラフを平面または球にマッピングできる場合にのみ適用できます。このようなグラフは平面グラフと呼ばれます。平面または球にマッピングできることは、同等の条件です。平面にマッピングされた任意の有限グラフは、球の小さな領域にマッピングされるまで縮小できます。逆に、球にマッピングされた任意のグラフのメッシュは、その内部のスペースが球のほぼすべてを占めるまで引き伸ばすことができます。すると、グラフ全体が球の小さな領域のみを占めることになります。これは最初のケースと同じなので、グラフも平面にマッピングされます。^[31]

電圧を持つネットワーク変数を選択するための、ループ電流法と類似かつ双対的なアプローチがあります。ここでは、ノードのペアに関連付けられた電圧が主要な変数であり、ブランチ電圧はそれらに基づいて求められます。この方法でも、すべての変数が独立していることを保証するために、グラフの特定のツリーを選択する必要があります。タイ セットの双対はカット セットです。タイ セットは、1 つを除くすべてのグラフ リンクを開回路にすることで形成されます。カット セットは、1 つを除くすべてのツリー ブランチを短絡にすることで形成されます。カット セットは、短絡されていないツリー ブランチと、他のツリー ブランチによって短絡されていないリンクのいずれかで構成されます。グラフのカット セットは、2 つの互いに素なサブグラフを生成します。つまり、グラフを 2 つの部分に分割し、そのために必要なブランチの最小セットです。ネットワーク方程式のセットは、ノード ペアの電圧をカット セット ブランチ電圧の代数和に等しくすることで形成されます。^[32] メッシュ解析の特殊なケースの双対は節点解析である。^[33]

s 個の別々の部分とb 個の枝を持つグラフのヌル性Nは次のように定義されます。

${\displaystyle N=b-n+s\}$

グラフのヌル度は、そのネットワーク方程式の集合の自由度の数を表します。平面グラフの場合、ヌル度はグラフ内のメッシュの数に等しくなります。^[34]

グラフの ランクRは次のように定義されます。

${\displaystyle R=ns\}$

ランクは、メッシュ解析におけるヌルリティと同じ役割を果たします。つまり、必要なノード電圧方程式の数を与えます。ランクとヌルリティは二重の概念であり、次のように関連しています。^[35]

${\displaystyle R+N=b\}$

幾何学的に独立した変数のセットが選択されると、ネットワークの状態はこれらの変数によって表現されます。その結果、ネットワーク変数の値を見つけるために同時に解く必要がある一連の独立した線形方程式が得られます。この方程式のセットは、ネットワークの特性パラメータ マトリックスにつながる行列形式で表現できます。パラメーター マトリックスは、方程式がループ解析ベースで形成されている場合はインピーダンス マトリックスの形を取り、方程式がノード解析ベースで形成されている場合はアドミタンス マトリックスの形を取ります。[ ^36]

これらの方程式は、よく知られたいくつかの方法で解くことができます。1つの方法は、変数の系統的消去です。^{[37]もう1つの方法は、}行列式 の使用です。これはクラメールの規則として知られており、行列式に関して未知の変数を直接表現します。これは、解のコンパクトな表現を提供するという点で便利です。ただし、最も単純なネットワーク以外では、手動で作業する場合、この方法ではより多くの計算作業が必要です。^[38]

2つのグラフが双対であるとは、一方のグラフの枝とノードのペアの関係が、もう一方のグラフの枝とループの関係と同じであるときである。グラフの双対は、完全にグラフィカルな方法で見つけることができる。^[39]

グラフの双対は別のグラフである。グラフ内の特定の木に対して、相補的な枝の集合（つまり木にない枝）は双対グラフ内の木を形成する。元のグラフと木のタイセットに関連付けられた電流ループ方程式の集合は、双対グラフのカットセットに関連付けられた電圧ノードペア方程式の集合と同一である。^[40]

次の表は回路理論に関連するトポロジーの双対概念を示している。^[41]

木の双対は迷路と呼ばれることもあります。^{[注 4]} 木が木の枝でつながれたノードで構成されているのと同じように、迷路はリンクでつながれた空間で構成さます。^[42]

双対はすべてのグラフに形成できるわけではない。双対性は、すべてのタイセットが双対グラフに双対カットセットを持つことを要求する。この条件は、グラフが枝が交差することなく球に写像できる場合にのみ満たされる。これを理解するには、タイセットはグラフを2つの部分に「結び付ける」必要があり、その双対であるカットセットはグラフを2つの部分に切断する必要があることに注意する。球に写像されない有限ネットワークのグラフには、n倍のトーラスが必要である。トーラスの穴を通過するタイセットは、グラフを2つの部分に結び付けることができない。その結果、双対グラフは2つの部分に切断されず、必要なカットセットを含まない。その結果、平面グラフのみが双対を持つ。^[43]

相互インダクタンスを含むネットワークでは、対応する容量要素がないため、デュアルを形成することはできません。デュアルを含む等価回路を開発することはできますが、相互インダクタンスから直接デュアルを形成することはできません。^[44]

ネットワーク方程式のセットに対する操作は位相的な意味を持ち、何が起こっているかを視覚化するのに役立つ。ネットワーク方程式のセットからノード電圧を削除することは、位相的にはグラフからそのノードを削除することに対応する。3つの他のノードに接続されたノードの場合、これはよく知られているY-Δ変換に対応する。この変換は、接続されたノードの数を増やすために拡張することができ、スターメッシュ変換として知られている。^[45]

この変換の逆はΔ-Y変換であり、これは解析的にはメッシュカレントの消去に対応し、位相的にはメッシュの消去に対応する。しかし、任意の数の他のメッシュと共通の分岐を持つメッシュのメッシュカレントの消去は、一般に実現可能なグラフにはならない。これは、一般的なスターの変換のグラフが球に写像されないグラフであるためである（スターポリゴンと複数の交差を含む）。このようなグラフの双対は存在できないが、一般化されたメッシュ消去を表すために必要なグラフである。^[45]

従来の回路のグラフ表現では、変圧器で発生するような相互誘導結合を明示的に表現する手段がなく、そのようなコンポーネントは、複数の独立した部分を持つ切断されたグラフになる可能性があります。分析の便宜上、複数の部分を持つグラフは、各部分の1つのノードを1つのノードに統合することにより、1つのグラフに結合できます。これにより回路の理論的な動作に違いはないため、これに対して実行される分析は依然として有効です。ただし、回路をこのように実装すると、部分間の絶縁が破壊されるため、実際上は違いが生じます。例として、一次側と二次側の両方が接地された変圧器が挙げられます。変圧器は同じ電圧比の変圧器として機能しますが、絶縁変圧器として使用できなくなります。^[46]

グラフ理論の最近の技術は、従来の理論では問題となっていた能動成分を扱うことができる。これらの新しい技術は相互結合も扱うことができる。^[47]

相互結合と能動部品を扱うには、2つの基本的なアプローチがあります。最初のアプローチとして、サミュエル・ジェファーソン・メイソンは1953年にシグナルフローグラフを導入しました。^[48] シグナルフローグラフは重み付けされた有向グラフです。彼はこれを使用して、相互結合と能動ネットワークを含む回路を分析しました。これらのグラフの有向エッジの重みは、アンプが持つようなゲインを表します。一般に、シグナルフローグラフは、上記の通常の有向グラフとは異なり、コンポーネントの物理的な配置のトポロジーに対応しません。^[47]

2 つ目のアプローチは、古典的な方法を拡張して相互結合と能動部品を含めることです。これを実現するにはいくつかの方法が提案されています。そのうちの 1 つでは、回路の電流を表すグラフと電圧を表すグラフの 2 つが作成されます。受動部品は両方のツリーで同じ枝を持ちますが、能動部品はそうではない場合があります。この方法は、両方のグラフに共通するスパニング ツリーを識別することに依存しています。1 つのグラフのみを必要とする古典的なアプローチを拡張する別の方法は、1965 年に Chen によって提案されました。 ^{[注 5] Chen の方法は}ルート付きツリー に基づいています。^[47]

能動部品向けに古典的なグラフ理論を拡張する別の方法は、ハイパーグラフを使用することです。一部の電子部品は、グラフを使用して自然に表現されません。トランジスタには3つの接続ポイントがありますが、通常のグラフブランチは2つのノードにしか接続できません。現代の集積回路には、これよりもはるかに多くの接続があります。この問題は、通常のグラフの代わりにハイパーグラフを使用することで克服できます。^[49]

従来の表現では、コンポーネントはエッジで表され、各エッジは 2 つのノードに接続します。ハイパーグラフでは、コンポーネントは任意の数のノードに接続できるハイパーエッジで表されます。ハイパーエッジには、ハイパーエッジをノードに接続する触手があります。ハイパーエッジのグラフィカル表現はボックス (エッジは線) で、触手の表現はボックスから接続されたノードへの線です。有向ハイパーグラフでは、触手はハイパーエッジのラベルによって決まるラベルを持ちます。従来の有向グラフは、ハイパーエッジが 2 本の触手を持つハイパーグラフと考えることができます。この 2 本の触手はソースとターゲットのラベルが付けられ、通常は矢印で示されます。触手がさらに多い一般的なハイパーグラフでは、より複雑なラベル付けが必要になります。^[50]

ハイパーグラフは接続行列によって特徴づけられる。2つの終端要素のみを含む通常のグラフは、各行にちょうど2つの非ゼロ要素を持つ。どの行にも2つ以上の非ゼロ要素を持つ接続行列は、ハイパーグラフの表現である。行の非ゼロ要素の数は対応する枝のランクであり、最高の枝ランクは接続行列のランクである。^[51]

古典的なネットワーク解析では、電流 (ループ解析) または電圧 (ノード解析) のいずれかでネットワーク変数が同質であるネットワーク方程式のセットを作成します。このようにして見つかったネットワーク変数のセットは、独立した方程式のセットを形成するために必要な最小限のものであるとは限りません。ループ解析とノード解析では変数の数が異なる可能性があります。場合によっては、同質性の要件が緩和され、電流変数と電圧変数の混合が許可されている場合、可能な最小数はこれらのいずれよりも少なくなることがあります。1967 年の Kishi と Katajini の結果^{[注 6]}によると、ネットワークの動作を記述するために必要な変数の絶対最小数は、ネットワーク グラフの任意の2 つのスパニングフォレスト^{[注 8]}間の最大距離^{[注 7]}によって決まります。^[47]

グラフ理論はネットワーク合成に応用できる。古典的なネットワーク合成では、必要なネットワークをいくつかの標準形式のうちの 1 つで実現する。標準形式の例としては、カウアーの標準ラダーネットワークによる駆動点インピーダンスの実現、フォスターの標準形式、またはブルーンの正実関数によるイミタンスの実現などがある。一方、位相的手法は、与えられた標準形式から始まるのではない。むしろ、形式は数学的表現の結果である。いくつかの標準形式は、その実現に相互インダクタンスを必要とする。ネットワーク合成の位相的手法の主な目的は、これらの相互インダクタンスの必要性をなくすことであった。位相幾何学から導き出された定理の 1 つは、相互結合のない駆動点インピーダンスの実現は、すべてインダクタまたはすべてコンデンサのループがない場合に限り、最小であるということである。^[52]

グラフ理論は、ネットワークの要素が実数（抵抗ネットワークなどの1要素ネットワーク）またはバイナリ状態（スイッチングネットワークなど）で表現できる場合に、ネットワーク合成において最も強力になります。^[47]

おそらく、研究対象となった最も初期の無限グラフを持つネットワークは、 1881年にオリバー・ヘヴィサイドによって最終形態が開発された、伝送線路を表すために使用されるラダーネットワークである。確かに、無限ネットワークに関する初期の研究はすべて、同じ要素が何度も繰り返されるラダーやグリッドなどの周期的な構造に限定されていた。任意のトポロジを持つ無限ネットワークを分析するためのツールが利用可能になったのは、20世紀後半になってからであった。^[53]

無限ネットワークは主に理論的な関心事であり、数学者の遊び道具である。現実世界の制約を受けない無限ネットワークは、非常に非物理的な特性を持つことがある。例えば、キルヒホッフの法則は場合によっては当てはまらず、無限遠での終端に依存する駆動点インピーダンスを持つ無限抵抗ラダーが定義されることがある。理論上の無限ネットワークのもう 1 つの非物理的な特性は、オームの法則やキルヒホッフの法則などの通常のネットワーク法則に加えて制約が課されない限り、一般に無限の電力を消費するということである。しかし、現実世界での応用もいくつかある。伝送線路の例は、無限小要素 (分散要素モデル) でモデル化できる実用的な問題の 1 つである。他の例としては、連続媒体への波の発射、フリンジング フィールドの問題、基板のポイント間またはボーリング ホールでの抵抗の測定などがある。 ^[54]

超有限ネットワークは無限ネットワークの考え方をさらに拡張します。無限ネットワークの末端にあるノードには、別のネットワークにつながる別のブランチが接続される場合があります。この新しいネットワーク自体が無限になる場合があります。したがって、ノードのペアの間に有限のパスがないトポロジを構築できます。このような無限ネットワークのネットワークは超有限ネットワークと呼ばれます。^[55]

• シンボリック回路解析
• ネットワークトポロジ　　　　　　
• トポロジカル量子コンピュータ

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