ノードアドミタンス行列

電力工学において、ノードアドミタンス行列（または単にアドミタンス行列）は、N個のバスを持つ線形電力システムを記述するN x N 行列である。これは、電力システム内のバスのノードアドミタンスを表す。何千ものバスを含む実際のシステムでは、アドミタンス行列は非常に疎である。実際の電力システムの各バスは通常、伝送線路を介して他のいくつかのバスとのみ接続されています。^[1] ノードアドミタンス行列は、電力潮流問題の定式化に使用されます。

電力システムのノードアドミタンス行列は、電力システムのノードアドミタンス図のラプラシアン行列の一種であり、キルヒホッフの法則を電力システムのアドミタンス図に適用して導出されます。電力システムの単線図から始めて、ノードアドミタンス図は次のように導出されます。

• 図中の各線を等価なアドミタンスに置き換え、
• すべての電圧源を同等の電流源に変換します。

バスのアドミタンス グラフを考えてみましょう。バス電圧のベクトルはベクトルで、はバス の電圧、バス電流注入のベクトル はベクトルで、はバスに接続されたすべての負荷とソースによってバスに注入される累積電流です。バスと間のアドミタンスは複素数 で、 はバスと を接続するすべてのラインのアドミタンスの合計です。バスとグランド間のアドミタンスは で、 はバスに接続されたすべての負荷のアドミタンスの合計です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N\times 1}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle I}$${\displaystyle N\times 1}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{ki}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle k}$

バスへの電流注入、を考える。キルヒホッフの電流法則を適用すると、${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N}I_{ki}}$

ここで、はバスからバスへの電流、はバス負荷を通るバスから接地への電流です。オームの法則をアドミタンス図に適用すると、バス電圧とラインおよび負荷電流は次の関係で結びつきます。 ${\displaystyle I_{ki}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k\neq i}$${\displaystyle I_{kk}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle I_{ki}={\begin{cases}V_{k}{y_{k}},&{\mbox{if}}\quad i=k\\(V_{k}-V_{i})y_{ki},&{\mbox{if}}\quad i\neq k.\end{cases}}}$

したがって、

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{(V_{k}-V_{i})y_{ki}}+V_{k}y_{k}=V_{k}\left(y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}y_{ki}\right)-\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}V_{i}y_{ki}}$

この関係は、アドミタンス行列を使用して行列形式で簡潔に記述できます。ノードアドミタンス行列は、バス電圧と電流注入がオームの法則を満たす行列です 。${\displaystyle Y}$${\displaystyle N\times N}$

${\displaystyle YV=I}$

ベクトル形式で。のエントリはバスへの電流注入の方程式によって決定され、結果として ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{kj}={\begin{cases}y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{y_{ki}},&{\mbox{if}}\quad k=j\\-y_{kj},&{\mbox{if}}\quad k\neq j.\end{cases}}}$

例として、図 1 の完全に接続された 3 つのバス ネットワークのアドミタンス図を考えてみましょう。図の 3 つのバス ネットワークから導出されるアドミタンス マトリックスは次のようになります。

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}+y_{12}+y_{13}&-y_{12}&-y_{13}\\-y_{12}&y_{2}+y_{ 12}+y_{23}&-y_{23}\\-y_{13}&-y_{23}&y_{3}+y_{13}+y_{23}\\\end{pmatrix}}}$

対角要素はネットワークノードの自己アドミタンスと呼ばれます。非対角要素は、要素の添え字に対応するノードの相互アドミタンスです。アドミタンス行列は通常、対称行列です。ただし、ラインモデルの拡張により非対称になる場合があります。たとえば、位相シフト変圧器をモデル化すると、エルミートアドミタンス行列になります。^[2]${\displaystyle Y_{11},Y_{22},...,Y_{nn}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y_{ki}=Y_{ik}}$${\displaystyle Y}$

アドミタンス行列は電力潮流問題の定式化に最もよく使われる。^{[3] [4]}

• アドミタンスパラメータ
• ノード解析
• ズバス

• Ybus および Zbus マトリックスを計算するための C/C++ プログラムとソース コード