インピーダンスパラメータ

インピーダンスパラメータまたはZ パラメータ(インピーダンス行列またはZ 行列の要素) は、電気工学、電子工学、通信システム工学において、線形電気ネットワークの電気的挙動を記述するために使用される特性です。また、非線形ネットワークの小信号 (線形化) 応答を記述するためにも使用されます。これらは、電子工学で使用される類似のパラメータ群のメンバーであり、他の例としては、S パラメータ^{[ 1 ]} 、Y パラメータ^{[ 2 ]} 、H パラメータ、T パラメータまたはABCD パラメータ^{[ 3 ] [ 4 ]}などがあります。

Zパラメータは、開回路条件下で計算されるため、開回路インピーダンスパラメータとも呼ばれます。つまり、I _x =0 であり、x=1、2 はそれぞれ（この場合は2ポートネットワークの）ポートを流れる入力電流と出力電流を表します。

Zパラメータ行列は、複数のポートを持つブラックボックスとみなせるあらゆる線形電気ネットワークの挙動を記述します。ここでいうポートとは、ネットワークに出入りする等しく逆向きの電流を流し、それらの間に特定の電圧を持つ一対の電気端子のことです。Z行列は、いずれかのポートの電流がこのように平衡していない場合（そのような場合）のネットワークの挙動に関する情報は提供しません。また、同じポートに属さない端子間の電圧に関する情報も提供しません。通常、ネットワークへの外部接続は、1つのポートの端子間のみで行われることが想定されているため、これらの制約は適切です。

一般的なマルチポートネットワークの定義では、各ポートには1 からNまでの整数nが割り当てられると想定されます。ここで、Nはポートの総数です。ポートnの場合、関連する Z パラメータの定義は、ポート電流とポート電圧で表されます。${\displaystyle I_{n}\,}$そして${\displaystyle V_{n}\,}$それぞれ。

すべてのポートについて、電圧はZパラメータ行列で定義され、電流は次の行列方程式で定義されます。

${\displaystyle V=ZI\,}$

ここで、ZはN × N行列であり、その要素は従来の行列表記を用いてインデックス付けできます。一般に、Zパラメータ行列の要素は複素数であり、周波数の関数です。1ポートネットワークの場合、Z行列は単一の要素に縮小され、それは2つの端子間で測定される通常のインピーダンスとなります。Zパラメータは、1つのポートに電流を流し、駆動されていないポートを開放回路にしたまま、すべてのポートにおける結果として生じる電圧を測定することによって測定または計算されるため、開放回路パラメータとも呼ばれます。

2ポートネットワークのZパラメータ行列はおそらく最も一般的なものです。この場合、ポート電流、ポート電圧、およびZパラメータ行列の関係は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$。

どこ

${\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

${\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}}$

Nポートネットワークの一般的な場合、

${\displaystyle Z_{nm}={V_{n} \over I_{m}}{\bigg |}_{I_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

ネットワークの Z パラメータは、次の式でS パラメータと関連付けられます^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {z}}(1_{\!N}+S)(1_{\!N}-S)^{-1}{\sqrt {z}}\\&={\sqrt {z}}(1_{\!N}-S)^{-1}(1_{\!N}+S){\sqrt {z}}\\\end{aligned}}}$ 

および^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}\\&=({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,+1_{\!N})^{-1}({\sqrt {y}}Z{\sqrt {y}}\,-1_{\!N})\\\end{aligned}}}$ 

どこ$1N$は単位行列です。${\displaystyle {\sqrt {z}}}$は、各ポートにおける特性インピーダンスの平方根を非ゼロ要素とする対角行列である。

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {z_{01}}}&\\&{\sqrt {z_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {z_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

そして${\displaystyle {\sqrt {y}}=({\sqrt {z}})^{-1}}$は、特性アドミタンスの平方根の対応する対角行列です。これらの式では、括弧内の因子で表される行列は可換であるため、上記のように、どちらの順序でも記述できます。^{[ 5 ] [注1 ]}

YパラメータからZパラメータへの変換は、Zパラメータ行列がYパラメータ行列の逆行列であるため、はるかに簡単です。2ポートの場合：

${\displaystyle Z_{11}={Y_{22} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{12}={-Y_{12} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{21}={-Y_{21} \over \Delta _{Y}}\,}$

${\displaystyle Z_{22}={Y_{11} \over \Delta _{Y}}\,}$

どこ

${\displaystyle \Delta _{Y}=Y_{11}Y_{22}-Y_{12}Y_{21}\,}$

これはYパラメータ行列の行列式です。

• デビッド・M・ポザール（2004年2月5日）。マイクロ波工学。ワイリー。ISBN 978-0-471-44878-5。
• Simon Ramo、John R. Whinnery、Theodore Van Duzer (1994年2月9日)。『通信エレクトロニクスにおける電磁場と波動』。Wiley。ISBN 978-0-471-58551-0。

• 散乱パラメータ
• アドミタンスパラメータ
• 2ポートネットワーク