ハイパスフィルター

ハイパスフィルタ（HPF ）は、特定のカットオフ周波数よりも高い周波数の信号を通過させ、カットオフ周波数よりも低い周波数の信号を減衰させる電子フィルタです。各周波数の減衰量はフィルタの設計によって異なります。ハイパスフィルタは通常、線形時不変システムとしてモデル化されます。オーディオエンジニアリングの文脈では、ローカットフィルタまたはベースカットフィルタと呼ばれることもあります。 ^[¹^]ハイパスフィルタには、平均電圧がゼロでない回路や無線周波数デバイスから直流を遮断するなど、多くの用途があります。また、ローパスフィルタと組み合わせてバンドパスフィルタを作成することもできます。

光学分野において、フィルターは周波数ではなく波長によって特徴づけられることが多い。ハイパスとローパスは正反対の意味を持ち、「ハイパス」フィルター（より一般的には「ショートパス」）は短い波長（高い周波数）のみを通過させ、「ローパス」フィルター（より一般的には「ロングパス」）はその逆である。

説明

電子工学において、フィルタとは、入力ポートに印加された信号（時間的に変化する電圧または電流）から周波数成分を除去する2ポート電子回路のことです。ハイパスフィルタは、カットオフ周波数と呼ばれる特定の周波数以下の周波数成分を減衰させ、より高い周波数成分を通過させます。これに対し、ローパスフィルタは特定の周波数より高い周波数を減衰させ、バンドパスフィルタは特定の周波数帯域を通過させ、その帯域より高い周波数と低い周波数の両方を減衰させます。

光学において、ハイパスフィルターとは、特定の波長よりも長い光を透過させ、それよりも短い波長の光を減衰させる、透明または半透明の着色材料でできた窓のことです。光は周波数ではなく波長で測定されることが多く、波長は周波数に反比例するため、カットオフ周波数以下の光の周波数を減衰させるハイパス光学フィルターは、しばしばショートパスフィルターと呼ばれます。つまり、より長い波長を減衰させるフィルターです。

連続時間回路

一次受動

抵抗器とコンデンサまたはインダクタのいずれかを組み合わせることで、一次ハイパスフィルタを構成できます。図1に示す単純な一次容量性ハイパスフィルタは、コンデンサと抵抗器の直列接続に入力電圧を加え、抵抗器の両端の電圧を出力として使用することで実現されます。この線形時不変システムの伝達関数は次のとおりです。

{\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {sRC}{1+sRC}}.

抵抗と容量の積 ( R × C )は時定数( τ ) であり、カットオフ周波数f _cに反比例します。つまり、

f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi RC}},\,

ここで、f _cはヘルツ、τは秒、Rはオーム、Cはファラッドです。カットオフ周波数では、フィルタの周波数応答は無限周波数でのゲインを基準として -3dB に達します。

一次活性

図2は、演算増幅器を用いた1次ハイパスフィルタのアクティブ電子回路による実装例を示している。この線形時不変システムの伝達関数は以下の通りである。

{\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.

この場合、フィルタの通過帯域ゲインは − R ₂ / R ₁であり、カットオフ周波数は

f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,

このフィルタはアクティブフィルタであるため_、通過帯域ゲインが 1にならない_場合があります。つまり、高周波信号は反転され、R2 / R1によって増幅されます。

これらの一次ハイパスフィルタはすべて微分器と呼ばれます。なぜなら、フィルタのカットオフ周波数よりも十分に低い周波数帯域の信号に対して微分処理を行うからです。

上位命令

高次フィルタは阻止帯域の傾斜が急峻で、n^次フィルタの傾斜は 10倍ごとに20n dBとなります。高次フィルタは、これらの1次フィルタをカスケード接続するだけで簡単に実現できます。受動フィルタを直列接続する場合はインピーダンス整合と負荷を考慮する必要がありますが、能動フィルタは各段でオペアンプの出力によって信号が復元されるため、容易に直列接続できます。高次フィルタにはさまざまなフィルタトポロジーやネットワーク合成フィルタが存在し、設計を容易にします。

離散時間実現

離散時間ハイパスフィルタも設計できます。離散時間フィルタの設計はこの記事の範囲外ですが、簡単な例として、上記の連続時間ハイパスフィルタを離散時間で実現する方法があります。つまり、連続時間の動作を離散化することができます。

上記の図1の回路から、キルヒホッフの法則と静電容量の定義に従って、次の式が成り立つ。

{\begin{cases}V_{\text{out}}(t)=I(t)\,R&{\text{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{\text{(I)}}\end{cases}}

どこ $Q_{c}(t)$ 時刻におけるコンデンサに蓄えられた電荷は $t$ 式（Q）を式（I）に代入し、次に式（I）を式（V）に代入すると、次の式が得られる。

V_{\text{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)

この方程式は離散化できます。簡単にするために、入力と出力のサンプルは、時間的に等間隔の時点で取得され、その間隔は $\displaystyle \Delta _{T}}$ 時間。 $V_{\text{in}}$ 数列で表される $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 、そして $V_{\text{out}}$ 数列で表される $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ これらは同じ時点に対応します。以下の置換を行います。

y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}\right)

項を並べ替えると、漸化式が得られる。

y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{\text{以前の入力からの減衰寄与}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)} ^{\text{入力の変化からの寄与}}

つまり、単純な連続時間RCハイパスフィルタの離散時間実装は

y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {\text{ただし}}\qquad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}

定義により、 $0\leq \alpha \leq 1$ パラメータの式 $\alpha$ 等価時定数が得られる $RC$ サンプリング期間に関して $\displaystyle \Delta _{T}}$ そして $\alpha$ :

RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }}\right)

。

思い出すと

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

それで

RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}

それから $\alpha$ そして $f_{c}$ 関係性は以下の通りである。

\alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}

そして

f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}

。

もし $\alpha =0.5$ すると、 $RC$ 時定数はサンプリング周期に等しい。 $\alpha \ll 0.5$ 、それから $RC$ サンプリング間隔よりもかなり小さく、 $RC\approx \alpha \Delta _{T}$ 。

アルゴリズムの実装

フィルタの再帰関係は、入力サンプルと直前の出力に基づいて出力サンプルを決定する方法を提供する。以下の擬似コードアルゴリズムは、等間隔のサンプルを仮定して、一連のデジタルサンプルに対するハイパスフィルタの効果をシミュレートする。

// 入力サンプルに基づいて、RCハイパスフィルタの出力サンプルを返します。 // 時間間隔dtと時定数RC関数highpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := RC / (RC + dt) y[1] := x[1] iが2からnまで y[i] := α × y[i−1] + α × (x[i] − x[i−1]) yを返す

それぞれの値を計算するループ $n$ 出力は、以下の同等の形式にリファクタリングできます。

iが2からnまで y[i] := α × (y[i−1] + x[i] − x[i−1])

しかし、前述の形式は、パラメータ α が以前の出力y[i-1]と現在の入力の変化(x[i] - x[i-1])の影響をどのように変化させるかを示しています。特に、

αが大きいということは、出力が非常にゆっくりと減衰する一方で、入力のわずかな変化にも強く影響されることを意味します。パラメータαと時定数の関係により $RC$ 上記では、大きなαは大きな $RC$ そのため、フィルタのコーナー周波数は低くなります。したがって、このケースは、非常に狭い阻止帯域を持つハイパスフィルタに対応します。小さな変化によって励起され、以前の出力値を長時間保持する傾向があるため、比較的低い周波数を通過させることができます。ただし、一定の入力（つまり、{{{1}}}の入力）は、大きなハイパスフィルタで予想されるように、常にゼロに減衰します。 $RC$ 。
αが小さいということは、出力が急速に減衰し、出力を大きく変化させるには入力に大きな変化（つまり、(x[i] - x[i-1])が大きい）が必要になることを意味します。パラメータαと時定数の関係により、 $RC$ 上記では、小さな α は小さな $RC$ そのため、フィルタのコーナー周波数は高くなります。したがって、このケースは、非常に広い阻止帯域を持つハイパスフィルタに相当します。大きな（つまり、速い）変化が必要で、以前の出力値をすぐに忘れてしまう傾向があるため、比較的高い周波数しか通過させることができません。これは、小さなハイパスフィルタで予想されることです。 $RC$ 。

アプリケーション

オーディオ

ハイパスフィルターには多くの用途があります。オーディオクロスオーバーの一部として使用され、高周波をツイーターに送りながら、スピーカーに干渉したり損傷を与えたりする可能性のある低音信号を減衰させます。このようなフィルターがスピーカーキャビネットに組み込まれる場合、通常はウーファー用のローパスフィルターも含むパッシブフィルターであり、コンデンサとインダクタの両方を使用することがよくあります（ただし、ツイーター用の非常にシンプルなハイパスフィルターは、直列コンデンサのみで構成される場合もあります）。例として、抵抗が 10 Ω のツイーターに上記の式を適用すると、カットオフ周波数が 5 kHz の場合のコンデンサの値が決定されます。 $C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28\times 5000\times 10}}=3.18\times 10^{-6}$ 、または約3.2μF 。

インダクタ（寄生結合を起こしやすく、高価で、内部抵抗が大きい場合がある）を使用せずに良質なサウンドを提供する代替案は、アクティブRCフィルタまたはアクティブデジタルフィルタを使用したバイアンプ方式で、各スピーカーに個別のパワーアンプを使用することです。このような低電流・低電圧のラインレベルクロスオーバーは、アクティブクロスオーバーと呼ばれます。^[¹^]

ランブルフィルターは、可聴域の下限付近またはそれ以下の不要な音を除去するために適用されるハイパスフィルターです。たとえば、ノイズ（足音、レコードプレーヤーやテープデッキからのモーター音など）は、不要な音であったり、プリアンプのRIAAイコライゼーション回路を過負荷にする可能性があるため、除去される場合があります。^[¹^]

ハイパスフィルターは、多くのオーディオパワーアンプの入力でAC結合にも使用され、アンプを損傷したり、アンプのヘッドルームを奪ったり、スピーカーのボイスコイルで廃熱を発生させたりする可能性のあるDC電流の増幅を防ぎます。 1960年代からCrown Internationalが製造していたプロオーディオモデルDC300というアンプには、ハイパスフィルターが全くなく、入力で一般的な9ボルト電池のDC信号を増幅して、緊急時にミキシングコンソールの電源として18ボルトのDCを供給することができました。^[²^]しかし、このモデルの基本設計は、1980年代後半に開発されたCrown Macro-Techシリーズのような新しい設計に取って代わられ、入力に10Hzのハイパスフィルター、出力に切り替え可能な35Hzのハイパスフィルターが搭載されています。^[³^]もう一つの例は、QSC Audio PLX アンプシリーズで、オプションの 50 Hz および 30 Hz ハイパスフィルターがオフになっているときに、入力に適用される内部 5 Hz ハイパスフィルターが含まれています。^[⁴^]

ミキシングコンソールには、各チャンネルストリップにハイパスフィルターが搭載されていることが多い。一部のモデルには、80 Hz または 100 Hz に固定傾斜、固定周波数のハイパスフィルターが搭載されており、これを有効にすることができる。他のモデルには、スイープ可能なハイパスフィルターが搭載されており、固定傾斜のフィルターを、Midas Heritage 3000の 20 ～ 400 Hz 、Yamaha M7CL デジタルミキシングコンソールの 20 ～ 20,000 Hzなどの特定の周波数範囲内で設定することができる。ベテランのシステムエンジニアでありライブサウンドミキサーでもあるブルース・メイン氏は、キックドラム、ベースギター、ピアノなど、有用な低周波サウンドを持つソースを除き、ほとんどのミキサー入力ソースにハイパスフィルターを有効にすることを推奨している。メイン氏は、DI ユニット入力 (マイク入力とは対照的に) は、サブウーファーやPAシステムからステージに回り込む低周波サウンドであるステージウォッシュによる変調を受けないため、ハイパスフィルターは不要であると述べている。メイン氏は、近接効果（非常に近い音源に対して低周波が強調される効果）を持つ指向性マイクには、ハイパスフィルターが一般的に使用されると指摘している。この低周波の強調は、通常200Hzまたは300Hzまで問題を引き起こすが、メイン氏は、コンソールで500Hzのハイパスフィルター設定が有効なマイクを見たことがあると述べている。^[⁵^]

画像

ハイパスフィルタとローパスフィルタは、デジタル画像処理において、空間領域または周波数領域で設計された画像修正、強調、ノイズ低減などを実行するためにも使用されます。^{[ 6 ]}画像編集ソフトウェアで使用されるアンシャープマスキング、またはシャープ化操作は、ハイパスフィルタの一般化であるハイブーストフィルタです。

参考文献

1 2 3ワトキンソン、ジョン（ 1998）。音響再生の芸術。フォーカルプレス。pp. 268、479。ISBN 0-240-51512-92010年3月9日に取得。
↑ Andrews, Keith; ssltech として投稿 (2010 年 1 月 11 日)。「Re: このような大規模なショーでミキサー卓を操作するには？」。レコーディング、エンジニアリング、プロダクション。ProSoundWeb。2011年 7 月 15 日のオリジナルからアーカイブ済み。2010年3 月 9 日取得。
↑ 「操作マニュアル：MA-5002VZ」（PDF）。マクロテックシリーズ。クラウンオーディオ。2007年。2010年1月3日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年3月9日に取得。
↑ 「ユーザーマニュアル：PLXシリーズアンプ」（PDF）。QSC Audio。1999年。2010年2月9日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。 2010年3月9日に取得。
↑メイン、ブルース（2010年2月16日）。「通過時にカットオフ：ハイパスフィルタリングの効果的な使用法」。Live Sound International。マサチューセッツ州フレイミングハム：ProSoundWeb、EH Publishing。
↑ Paul M. Mather (2004). Computer processing of remotely sensed images: an introduction (3rd ed.). John Wiley and Sons. p. 181. ISBN 978-0-470-84919-4。

外部リンク

一般的な衝動反応
ECE 209: LTIシステムとしての回路の復習(2009年3月19日にWayback Machineにアーカイブ)、(電気) LTIシステムの数学的解析に関する短い入門書。
ECE 209: 位相シフトの発生源(2011年7月16日にWayback Machineにアーカイブ) は、ハイパスフィルタにおける位相シフトの発生源を直感的に解説しています。また、三角関数の恒等式を用いて、単純な受動型LPFの伝達関数を検証しています。

[Watkinson1998-1] 1 2 3ワトキンソン、ジョン（ 1998）。音響再生の芸術。フォーカルプレス。pp. 268、479。ISBN 0-240-51512-92010年3月9日に取得。

[Andrews2010-2] Andrews, Keith; ssltech として投稿 (2010 年 1 月 11 日)。「Re: このような大規模なショーでミキサー卓を操作するには？」。レコーディング、エンジニアリング、プロダクション。ProSoundWeb。2011年 7 月 15 日のオリジナルからアーカイブ済み。2010年3 月 9 日取得。

[3] 「操作マニュアル：MA-5002VZ」（PDF）。マクロテックシリーズ。クラウンオーディオ。2007年。2010年1月3日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年3月9日に取得。

[4] 「ユーザーマニュアル：PLXシリーズアンプ」（PDF）。QSC Audio。1999年。2010年2月9日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。 2010年3月9日に取得。

[Main2010-5] メイン、ブルース（2010年2月16日）。「通過時にカットオフ：ハイパスフィルタリングの効果的な使用法」。Live Sound International。マサチューセッツ州フレイミングハム：ProSoundWeb、EH Publishing。

[6] Paul M. Mather (2004). Computer processing of remotely sensed images: an introduction (3rd ed.). John Wiley and Sons. p. 181. ISBN 978-0-470-84919-4。

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説明