しっかりと綴じられています

固体物理学において、タイトバインディングモデル（またはTBモデル）は、各原子位置にある孤立原子の波動関数の重ね合わせに基づく近似的な波動関数を用いて電子バンド構造を計算する手法です。この方法は、化学で用いられるLCAO法（原子軌道の線形結合法）と密接に関連しています。タイトバインディングモデルは、多種多様な固体に適用されています。多くの場合、このモデルは定性的に良好な結果をもたらし、タイトバインディングモデルではうまくいかない場合でも、より良い結果をもたらす他のモデルと組み合わせることができます。タイトバインディングモデルは1電子モデルですが、表面状態の計算や、様々な種類の多体問題および準粒子計算への応用など、より高度な計算の基礎も提供します。

この電子バンド構造モデルの「タイトバインディング」という名称は、この量子力学モデルが固体中の強く結合した電子の特性を記述していることを示唆しています。このモデルにおける電子は、所属する原子に強く結合しており、固体の周囲原子の状態や電位との相互作用は限定的であるはずです。その結果、電子の波動関数は、それが属する自由原子の原子軌道と非常によく似たものになります。また、隣接する原子の電位や状態との相互作用が限定的であるため、電子のエネルギーも自由原子またはイオン中の電子のイオン化エネルギーに非常に近いものになります。

1粒子タイトバインディングハミルトニアンの数式^{[ 1 ]}は一見複雑に見えるかもしれないが、このモデルは全く複雑ではなく、直感的に非常に簡単に理解できる。この理論において重要な役割を果たす行列要素は3種類しかない。そのうち2種類はゼロに近い値をとる必要があり、多くの場合無視できる。このモデルで最も重要な要素は原子間行列要素であり、化学者であればこれを単に結合エネルギーと呼ぶだろう。

一般的に、このモデルには多数の原子エネルギー準位と原子軌道が関わっています。軌道が異なる点群表現に属するため、複雑なバンド構造が生じる可能性があります。逆格子とブリルアンゾーンは、固体結晶とは異なる空間群に属することがよくあります。ブリルアンゾーン内の高対称点は、異なる点群表現に属します。元素の格子や単純な化合物のような単純な系を研究する場合、高対称点における固有状態を解析的に計算することはそれほど難しくありません。そのため、タイトバインディングモデルは、群論についてより深く学びたい人にとって良い例となるでしょう。

タイトバインディングモデルは長い歴史を持ち、さまざまな方法で、さまざまな目的と結果で適用されてきました。このモデルは単独で成り立つものではありません。モデルの一部は、ほぼ自由電子モデルなどの他の種類の計算やモデルによって補完または拡張することができます。モデル自体、またはその一部は、他の計算の基礎として使用できます。^{[ 2 ]}例えば、導電性ポリマー、有機半導体、分子エレクトロニクスの研究では、タイトバインディングのようなモデルが適用され、元の概念における原子の役割は共役系の分子軌道に置き換えられ、原子間行列要素は分子間または分子内ホッピングおよびトンネルパラメータに置き換えられます。これらの導体はほぼすべて非常に異方性があり、場合によってはほぼ完全に一次元です。

1928年までに、分子軌道の概念はフリードリヒ・フントの研究に大きく影響を受けたロバート・マリケンによって提唱された。分子軌道を近似するためのLCAO法は1928年にBNフィンケルシュタインとGEホロウィッツによって導入されたが、固体用のLCAO法は、LCAO-MOアプローチと同時期に独立して、フェリックス・ブロッホが1928年の博士論文の一部として開発した。特に遷移金属のdバンドの電子バンド構造を近似するためのはるかに単純な補間スキームは、 1954年にジョン・クラーク・スレーターとジョージ・フレッド・コスターによって考案されたパラメーター化タイトバインディング法^{[ 1 ]}であり、SKタイトバインディング法と呼ばれることもある。 SKタイトバインディング法では、固体上の電子バンド構造計算は、元のブロッホの定理のように厳密に行う必要はなく、高対称点においてのみ第一原理計算を行い、これらの点間のブリルアンゾーンの残りの部分についてバンド構造を補間すればよい。

このアプローチでは、異なる原子サイト間の相互作用は摂動として扱われます。考慮すべき相互作用にはいくつかの種類があります。結晶ハミルトニアンは、異なるサイトに位置する原子ハミルトニアンの近似的な和にすぎず、原子波動関数は結晶内の隣接する原子サイトと重なり合うため、正確な波動関数の表現ではありません。次のセクションでは、いくつかの数式を用いてさらに詳しく説明します。

近年の強相関物質に関する研究では、3d遷移金属電子のような高度に局在化した電子が時に強相関挙動を示すため、タイトバインディング近似が基本的な近似として用いられている。このような場合、多体物理学の記述を用いて電子間相互作用の役割を考慮する必要がある。

タイトバインディングモデルは、通常、静的領域における電子バンド構造とバンドギャップの計算に使用されます。しかし、ランダム位相近似（RPA）モデルなどの他の方法と組み合わせることで、システムの動的応答も研究できます。2019年、Bannwarthらは、主に構造と非共有結合相互作用エネルギーの計算のためにGFN2-xTB法を導入しました。^{[ 3 ]}

原子軌道を紹介します${\displaystyle \varphi _{m}(\mathbf {r} )}$これらはハミルトニアンの固有関数である。${\displaystyle H_{\rm {at}}}$単一の孤立原子の場合。原子が結晶中に置かれると、この原子波動関数は隣接する原子サイトと重なり合うため、結晶ハミルトニアンの真の固有関数ではありません。電子が強く結合している場合、重なりは小さくなり、これが「タイトバインディング」という記述子の由来です。原子ポテンシャルへの補正${\displaystyle \Delta U}$真のハミルトニアンを得るために必要${\displaystyle H}$システムのうち、小さいと想定されるもの：

${\displaystyle H(\mathbf {r} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R} _{n}\neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\デルタ U(\mathbf {r} )\ ,}$

どこ${\displaystyle V(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})}$は、サイトに位置する1つの原子の原子ポテンシャルを表します。$\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$結晶格子内。$\displaystyle \psi _{m}}$時間によらない単一電子シュレーディンガー方程式は、原子軌道の線形結合として近似される。${\displaystyle \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )}$:

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} _{n}}b_{m}(\mathbf {R} _{n})\ \varphi _{m}(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})}$、

どこ${\displaystyle m}$m番目の原子エネルギー準位を指します。

前述の通り、${\displaystyle \beta _{m}}$中心原子上の隣接原子の電位が制限されているため、行列要素はイオン化エネルギーに比べてそれほど大きくありません。${\displaystyle \beta _{m}}$が比較的小さいとは言えないということは、中心原子に対する隣接原子の電位も小さくないことを意味します。この場合、何らかの理由でタイトバインディングモデルがバンド構造の記述にあまり適していないことを示しています。例えば、原子間距離が小さすぎるか、格子内の原子やイオンの電荷が間違っている可能性があります。

原子間マトリックス要素${\displaystyle \gamma _{m,l}}$原子波動関数とポテンシャルが詳細に分かっている場合は、直接計算できます。しかし、ほとんどの場合、そうではありません。これらの行列要素のパラメータを取得する方法は数多くあります。パラメータは、化学結合エネルギーデータから取得できます。ブリルアンゾーン内のいくつかの高対称点におけるエネルギーと固有状態を評価し、行列要素の積分値を他のソースからのバンド構造データと照合することができます。

原子間重なり行列要素${\displaystyle \alpha _{m,l}}$はかなり小さいか無視できるはずです。それらが大きい場合は、タイトバインディングモデルが特定の目的には限定的な価値しかないことを示しています。大きな重なりは、たとえば原子間距離が短すぎることを示しています。金属および遷移金属では、次の最近接行列要素と重なり積分を導入することで、幅広いsバンドまたはspバンドを既存のバンド構造計算によりよく適合させることができますが、そのような適合では、金属の電子波動関数の非常に有用なモデルは得られません。高密度材料の幅広いバンドは、ほぼ自由電子モデルでよりよく記述されます。

タイトバインディングモデルは、dバンドやfバンドのようにバンド幅が小さく電子が強く局在している場合に特に有効です。また、ダイヤモンドやシリコンのように近傍の数が少ない開放型結晶構造の場合にも良好な結果が得られます。このモデルは、ハイブリッドNFE-TBモデルにおいて、ほぼ自由電子モデルと容易に組み合わせることができます。^{[ 2 ]}

ブロッホ関数は周期的な結晶格子内の電子状態を記述します。ブロッホ関数はフーリエ級数として表すことができます^{[ 5 ]。}

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {k} ,\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}{a_{m}(\mathbf {R} _{n},\mathbf {r} )}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\ ,}$

どこ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$は周期的な結晶格子における原子の位置を表し、${\displaystyle \mathbf {k} }$はブロッホ関数の波数ベクトル であり、${\displaystyle \mathbf {r} }$は電子の位置です。${\displaystyle m}$はバンドインデックスであり、合計はすべてのバンドインデックスについてです。${\displaystyle N}$原子サイト。ブロッホ関数は、周期的な結晶ポテンシャル内の電子の波動関数の正確な固有解であり、エネルギーに対応する。${\displaystyle E_{m}(\mathbf {k} )}$そして、結晶全体に広がっている。

フーリエ変換解析を用いることで、複数のブロッホ関数からm番目のエネルギーバンドの空間的に局在化した波動関数を構築することができる。

${\displaystyle a_{m}(\mathbf {R} _{n},\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{n}}\psi _{m}(\mathbf {k} ,\mathbf {r} )}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }{e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} _{n})}u_{m}(\mathbf {k} ,\mathbf {r} )}.}$

これらの実空間波動関数${\displaystyle {a_{m}(\mathbf {R} _{n},\mathbf {r} )}}$これらはワニエ関数と呼ばれ、原子サイトにかなり近い位置に局在している。${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$もちろん、正確なワニエ関数が得られれば、逆フーリエ変換を用いて正確なブロッホ関数を導出することができます。

しかし、ブロッホ関数やワニエ関数を直接計算することは容易ではありません。固体の電子構造を計算するには、近似的なアプローチが必要です。孤立原子という極端な場合を考えると、ワニエ関数は孤立原子軌道になります。この極限は、ワニエ関数の近似形式として原子波動関数を選択することを示唆しており、いわゆるタイトバインディング近似です。

tJモデルやハバードモデルのような電子構造の現代的な説明は、タイトバインディングモデルに基づいています。^{[ 6 ]}タイトバインディングは、第2量子化形式の下で作業することで理解できます。

原子軌道を基底状態として用いると、タイトバインディングフレームワークにおける第2量子化ハミルトニアン演算子は次のように表される。

${\displaystyle H=-t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }^{}+h.c.)}$、

${\displaystyle c_{i\sigma }^{\dagger },c_{j\sigma }}$- 生成演算子と消滅演算子

${\displaystyle \displaystyle \sigma }$- スピン偏極

${\displaystyle \displaystyle t}$- ホッピング積分

${\displaystyle \displaystyle \langle i,j\rangle }$- 最近傍インデックス

${\displaystyle \displaystyle h.c.}$- 他の項のエルミート共役

ここでは、ホッピング積分${\displaystyle \displaystyle t}$伝達積分に対応する${\displaystyle \displaystyle \gamma }$緊密な結合モデルにおいて。極端なケースを考慮すると、${\displaystyle t\rightarrow 0}$電子が隣接するサイトに飛び移ることは不可能です。これは孤立した原子系です。ホッピング項がオンになっている場合（${\displaystyle \displaystyle t>0}$電子は両方の場所に留まることができ、運動エネルギーが低下します。

強相関電子系では、電子間相互作用を考慮する必要がある。この項は次のように表される。

${\displaystyle \displaystyle H_{ee}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m,\sigma }\langle n_{1}m_{1},n_{2}m_{2}|{\frac {e^{2}}{|r_{1}-r_{2}|}}|n_{3}m_{3},n_{4}m_{4}\rangle c_{n_{1}m_{1}\sigma _{1}}^{\dagger }c_{n_{2}m_{2}\sigma _{2}}^{\dagger }c_{n_{4}m_{4}\sigma _{2}}c_{n_{3}m_{3}\sigma _{1}}}$

この相互作用ハミルトニアンには、電子間の直接クーロン相互作用エネルギーと交換相互作用エネルギーが含まれています。この電子間相互作用エネルギーから、金属-絶縁体転移（MIT）、高温超伝導、およびいくつかの量子相転移など、いくつかの新しい物理現象が引き起こされます。

ここでは、タイトバインディングモデルを、単一のs軌道を持つ原子が直線状に並び、原子間距離がaで、原子サイト間にσ結合を持つsバンドモデルを用いて説明する。

ハミルトニアンの近似固有状態を見つけるには、原子軌道の線形結合を用いることができる。

${\displaystyle |k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n=1}^{N}e^{inka}|n\rangle }$

ここで、N = サイトの総数、${\displaystyle k}$は実数パラメータで${\displaystyle -{\frac {\pi }{a}}\leqq k\leqq {\frac {\pi }{a}}}$（原子波動関数の重なりを無視すれば、この波動関数は主要因子 1/√N によって1に正規化される。）最近接原子の重なりのみを仮定すると、ハミルトニアンの非ゼロ行列要素は次のように表される。

${\displaystyle \langle n|H|n\rangle =E_{0}=E_{i}-U\ .}$

${\displaystyle \langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta \ }$

${\displaystyle \langle n|n\rangle =1\$ ;} ${\displaystyle \langle n\pm 1|n\rangle =S\ .}$

エネルギーE _iは選択された原子軌道に対応するイオン化エネルギーであり、U は隣接する原子のポテンシャルの結果として生じる軌道のエネルギーシフトである。${\displaystyle \langle n\pm 1|H|n\rangle =-\Delta }$スレーターとコスターの原子間行列要素である要素は、結合エネルギーです。${\displaystyle E_{i,j}}$この一次元sバンドモデルでは、${\displaystyle \sigma }$-s軌道間の結合エネルギー${\displaystyle E_{s,s}=V_{ss\sigma }}$隣接する原子上の状態間の重なりはSである。この状態のエネルギーを導出することができる。${\displaystyle |k\rangle }$上記の式を用いて：

${\displaystyle H|k\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{n}e^{inka}H|n\rangle }$

${\displaystyle \langle k|H|k\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n,\ m}e^{i(n-m)ka}\langle m|H|n\rangle }$${\displaystyle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle +{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}+{\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n+1|H|n\rangle e^{-ika}}$${\displaystyle =E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)\ ,}$

例えば、

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n|H|n\rangle =E_{0}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=E_{0}\ ,}$

そして

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|H|n\rangle e^{+ika}=-\Delta e^{ika}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=-\Delta e^{ika}\ .}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n}\langle n-1|n\rangle e^{+ika}=Se^{ika}{\frac {1}{N}}\sum _{n}1=Se^{ika}\ .}$

したがって、この状態のエネルギーは${\displaystyle |k\rangle }$エネルギー分散の馴染みのある形式で表すことができる。

${\displaystyle E(k)={\frac {E_{0}-2\Delta \,\cos(ka)}{1+2S\,\cos(ka)}}}$。

• のために${\displaystyle k=0}$エネルギーは ${\displaystyle E=(E_{0}-2\Delta )/(1+2S)}$そして、この状態はすべての原子軌道の総和から構成される。この状態は、結合軌道の連鎖と見なすことができる。
• のために${\displaystyle k=\pi /(2a)}$エネルギーは ${\displaystyle E=E_{0}}$そしてその状態は、因子である原子軌道の合計から構成される。${\displaystyle e^{i\pi /2}}$位相がずれている。この状態は、非結合軌道の連鎖として見ることができる。
• 最後に${\displaystyle k=\pi /a}$エネルギーは ${\displaystyle E=(E_{0}+2\Delta )/(1-2S)}$そして、この状態は原子軌道の交互の和から構成される。この状態は反結合性軌道の連鎖と見なすことができる。

この例は、例えば体心立方格子や面心立方格子など、3 次元に容易に拡張できます。これは、単にnaの代わりに最近接ベクトルの位置を導入することによって実現できます。^{[ 7 ]}同様に、この方法は、各サイトで複数の異なる原子軌道を使用することで、複数のバンドに拡張することもできます。上記の一般的な定式化は、これらの拡張がどのように実現できるかを示しています。

1954年にJC SlaterとGF Kosterは、主に遷移金属dバンドの計算のために、原子間行列要素の表を発表しました^{[ 1 ]。}

${\displaystyle E_{i,j}({\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'})=\langle n,i|H|n',j\rangle }$

これは、立方調和軌道から直接導出することもできます。表は、隣接する原子上の2 つの立方調和軌道iとjの間のLCAO 2 中心結合積分の関数として行列要素を表しています。結合積分は、例えば次のようになります。${\displaystyle V_{ss\sigma }}$、${\displaystyle V_{pp\pi }}$そして${\displaystyle V_{dd\delta }}$シグマ、パイ、デルタ結合の場合（これらの積分は原子間の距離にも依存することに注意してください。つまり、${\displaystyle (l,m,n)}$（毎回明示的に述べられているわけではないが。）

原子間ベクトルは次のように表される。

${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} }}_{n,n'}=(r_{x},r_{y},r_{z})=d(l,m,n)}$

ここで、 dは原子間の距離であり、 l、m、nは隣接する原子への方向余弦である。

${\displaystyle E_{s,s}=V_{ss\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,x}=lV_{sp\sigma }}$

${\displaystyle E_{x,x}=l^{2}V_{pp\sigma }+(1-l^{2})V_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{x,y}=lmV_{pp\sigma }-lmV_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{x,z}=lnV_{pp\sigma }-lnV_{pp\pi }}$

${\displaystyle E_{s,xy}={\sqrt {3}}lmV_{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}(l^{2}-m^{2})V_{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{s,3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{sd\sigma }}$

${\displaystyle E_{x,xy}={\sqrt {3}}l^{2}mV_{pd\sigma }+m(1-2l^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,yz}={\sqrt {3}}lmnV_{pd\sigma }-2lmnV_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,zx}={\sqrt {3}}l^{2}nV_{pd\sigma }+n(1-2l^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}l(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }+l(1-l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{y,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}m(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-m(1+l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{z,x^{2}-y^{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}n(l^{2}-m^{2})V_{pd\sigma }-n(l^{2}-m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{x,3z^{2}-r^{2}}=l[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}ln^{2}V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{y,3z^{2}-r^{2}}=m[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }-{\sqrt {3}}mn^{2}V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{z,3z^{2}-r^{2}}=n[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{pd\sigma }+{\sqrt {3}}n(l^{2}+m^{2})V_{pd\pi }}$

${\displaystyle E_{xy,xy}=3l^{2}m^{2}V_{dd\sigma }+(l^{2}+m^{2}-4l^{2}m^{2})V_{dd\pi }+(n^{2}+l^{2}m^{2})V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,yz}=3lm^{2}nV_{dd\sigma }+ln(1-4m^{2})V_{dd\pi }+ln(m^{2}-1)V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,zx}=3l^{2}mnV_{dd\sigma }+mn(1-4l^{2})V_{dd\pi }+mn(l^{2}-1)V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}lm(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+2lm(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[lm(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{yz,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}mn(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }-mn[1+2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }+mn[1+(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{zx,x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{2}}nl(l^{2}-m^{2})V_{dd\sigma }+nl[1-2(l^{2}-m^{2})]V_{dd\pi }-nl[1-(l^{2}-m^{2})/2]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{xy,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[lm(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }-2lmn^{2}V_{dd\pi }+[lm(1+n^{2})/2]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{yz,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[mn(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+mn(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[mn(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{zx,3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[ln(n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2)V_{dd\sigma }+ln(l^{2}+m^{2}-n^{2})V_{dd\pi }-[ln(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},x^{2}-y^{2}}={\frac {3}{4}}(l^{2}-m^{2})^{2}V_{dd\sigma }+[l^{2}+m^{2}-(l^{2}-m^{2})^{2}]V_{dd\pi }+[n^{2}+(l^{2}-m^{2})^{2}/4]V_{dd\delta }}$

${\displaystyle E_{x^{2}-y^{2},3z^{2}-r^{2}}={\sqrt {3}}\left[(l^{2}-m^{2})[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]V_{dd\sigma }/2+n^{2}(m^{2}-l^{2})V_{dd\pi }+[(1+n^{2})(l^{2}-m^{2})/4]V_{dd\delta }\right]}$

${\displaystyle E_{3z^{2}-r^{2},3z^{2}-r^{2}}=[n^{2}-(l^{2}+m^{2})/2]^{2}V_{dd\sigma }+3n^{2}(l^{2}+m^{2})V_{dd\pi }+{\frac {3}{4}}(l^{2}+m^{2})^{2}V_{dd\delta }}$

すべての原子間行列要素が明示的にリストされているわけではありません。この表にリストされていない行列要素は、表内の他の行列要素のインデックスとコサイン方向の置換によって構築できます。軌道インデックスの交換は空間反転と同じであることに注意してください。球面調和関数のパリティ特性によると、${\displaystyle Y_{M}^{L}(-\mathbf {r} )=(-1)^{l}Y_{M}^{L}(\mathbf {r} )}$結合積分は、2 つの実球面調和関数の積の積分に比例します。実球面調和関数 (例:${\displaystyle p_{x},p_{y},p_{z},d_{xy},\cdots }$関数）は複素球面調和関数と同じパリティ特性を持つ。すると結合積分は反転（つまり軌道の交換）の下で次のように変換される。 ${\displaystyle V_{L'LM}=(-1)^{L+L'}V_{LL'M}}$、 と${\displaystyle L,~L',~M}$角運動量と磁気量子数。例えば、${\displaystyle E_{x,s}=-lV_{sp\sigma }=-E_{s,x}}$そして ${\displaystyle E_{y,x}=E_{x,y}}$。

• NW Ashcroft および ND Mermin、『固体物理学』（Thomson Learning、トロント、1976 年）。
• スティーブン・ブランデル著『凝縮系物質における磁性』（オックスフォード大学出版局、2001年）。
• S.Maekawa et al.遷移金属酸化物の物理学（Springer-Verlag Berlin Heidelberg、2004年）。
• ジョン・シングルトン著『固体のバンド理論と電子特性』（オックスフォード大学出版局、2001年）。

• ウォルター・アシュリー・ハリソン（1989）。電子構造と固体の性質。ドーバー出版。ISBN 0-486-66021-4。
• NW Ashcroft および ND Mermin (1976).固体物理学. トロント: Thomson Learning.
• デイヴィス、ジョン・H. (1998).低次元半導体の物理学：入門. ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-48491-X。
• Goringe, CM; Bowler, DR; Hernández, E (1997). "材料のタイトバインディングモデリング". Reports on Progress in Physics . 60 (12): 1447–1512 . Bibcode : 1997RPPh...60.1447G . doi : 10.1088/0034-4885/60/12/001 . S2CID 250846071 . 
• Slater, JC; Koster, GF (1954). "周期ポテンシャル問題に対する簡略化されたLCAO法". Physical Review . 94 (6): 1498–1524 . Bibcode : 1954PhRv...94.1498S . doi : 10.1103/PhysRev.94.1498 .

• 結晶場理論、タイトバインディング法、ヤーン・テラー効果、 E. Pavarini、E. Koch、F. Anders、M. Jarrell 編著：相関電子：モデルから物質へ、ユーリッヒ 2012、ISBN 978-3-89336-796-2
• Tight-Binding Studio：タイトバインディングハミルトニアンのパラメータを求めるための技術ソフトウェアパッケージ