ランダム位相近似

ランダム位相近似（RPA ）は、凝縮物質物理学および原子核物理学における近似法である。これは、1952年と1953年の一連の独創的な論文の中で重要な結果として、デイビッド・ボームとデイビッド・パインズによって初めて導入された。 ^{[1] [2] [3]数十年にわたり、物理学者は}電子間の微視的な量子力学的相互作用の効果を物質理論に取り入れようとしてきた。ボームとパインズのRPAは、弱い遮蔽されたクーロン相互作用を考慮しており、電子システムの動的線形電子応答を記述するためによく使用されている。これは、ディラック方程式を解くことによって、相対論的形式（RRPA）にさらに発展した。^{[4] [5]}

RPAでは、電子は外部摂動電位V _ext ( r )と遮蔽電位V _sc ( r )の合計である全電位 V ( r )にのみ反応すると仮定される。外部摂動電位は単一周波数ωで振動すると仮定され、モデルは自己無撞着場（SCF）法^{[6]を介して}_εRPA ( k , ω )で表される動的誘電関数を生成する。

全電位からの誘電関数への寄与は平均化されると仮定され、波数ベクトルkにおける電位のみが寄与する。これがランダム位相近似の意味である。結果として得られる誘電関数はリンドハルト誘電関数とも呼ばれ、^{[7] [8]}プラズモンを含む電子ガスの多くの特性を正しく予測する。^[9]

RPAは1950年代後半に自由度を過剰に数えていると批判され、その正当性を求める声が理論物理学者の間で激しい研究につながった。マレー・ゲルマンとキース・ブルークナーは独創的な論文で、高密度電子ガスにおける主要次数チェーンファインマン図の和からRPAを導出できることを示した。 ^[10]

これらの結果の一貫性は重要な根拠となり、50 年代後半から 60 年代にかけて理論物理学の非常に大きな成長の原動力となりました。

ボソン系のRPA真空は、非相関ボソン真空 と元のボソン励起によって表現できる。${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle }$${\displaystyle \left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger}}$

${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$

ここでZは対称行列であり 、 ${\displaystyle |Z|\leq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}$

正規化は次のように計算できる。

${\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1}$

ここで はの特異値分解です。 ${\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$${\displaystyle Z_{ij}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle }$

${\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}}$

新しい励起と古い励起の関係は次のように表される。

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }}$。