オルリッツシーケンス空間

数学において、オルリッチ数列空間は、スカラー値数列の特定のクラスの線型空間のいずれかであり、以下に指定される特別なノルムを備え、その下ではバナッハ空間を形成します。オルリッチ数列空間は空間を一般化し、関数解析で重要な役割を果たします。オルリッチ数列空間はオルリッチ空間の特別な例です。 ${\displaystyle \ell_{p}}$

が実スカラー体または複素スカラー体を表すように修正します。関数が連続、非減少、(おそらく非厳密な意味で)凸であり、かつおよび である場合、その関数はオルリッチ関数と呼ばれます。すべての に対してが存在する特殊なケースでは、その関数は退化していると呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle M:[0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle M(0)=0}$${\textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle M(t)=0}$${\displaystyle t\in [0,b]}$

以下では、特に明記しない限り、すべての Orlicz 関数は非退化であると仮定します。これは、すべての に対して であることを意味します。 ${\displaystyle M(t)>0}$${\displaystyle t>0}$

各スカラーシーケンスセット について${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{M}=\inf \left\{\rho >0:\sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )\leqslant 1\right\}.}$

次に、 に関するオルリッチ数列空間を と書き、これを、ある に対して、ノルム が備わった となるようなすべての の線型空間として定義します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$

以降の議論では、他の2つの定義が重要になります。オルリツ関数は、次の場合に限り、 ゼロでΔ ₂条件を満たすと言われています。${\displaystyle M}$

${\displaystyle \limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}<\infty .}$

すべての に対してとなるスカラー列の部分空間を で表します。 ${\displaystyle h_{M}}$${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$${\displaystyle \rho >0}$

空間はバナッハ空間であり、古典空間を次の正確な意味で一般化します。、のとき、 は-ノルムと一致し、したがって になります。が退化したオルリッチ関数である場合、 は-ノルムと一致し、したがってこの特殊なケースでは となり、が退化しているとき になります。 ${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle M(t)=t^{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{p}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$${\displaystyle \ell _{\infty }}$${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{\infty }}$${\displaystyle h_{M}=c_{0}}$${\displaystyle M}$

一般に、単位ベクトルはの基底を形成しない可能性があるため、次の結果は非常に重要です。 ${\displaystyle \ell _{M}}$

定理1.がオルリツ関数である 場合、次の条件は同等である。${\displaystyle M}$

ゼロでΔ ₂条件を満たす2 つのオルリツ関数と は、すべての に対してとなる正の定数が存在するときは常に、同値であると呼ばれます。これは、との単位ベクトル基底が同値である場合に限ります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A,B,b>0}$${\displaystyle AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)}$${\displaystyle t\in [0,b]}$${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{N}}$

${\displaystyle \ell _{M}}$は、単位ベクトル基底が等しくなくても 同型になることができます。(2 つの等しくない対称基底を持つ Orlicz シーケンス空間の例を以下で参照してください。)${\displaystyle \ell _{N}}$

定理2. をオルリツ関数とする。このとき、が反射的であることは、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell _{M}}$

${\displaystyle \liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;}$そして。${\displaystyle \;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty }$

定理 3 (KJ Lindberg)。 を可分なオルリッチ数列空間 の無限次元閉部分空間とします。このとき、 は、ゼロでΔ ₂条件を満たす何らかのオルリッチ関数に対して、何らかのオルリッチ数列空間に同型な部分空間を持ちます。さらに が無条件基底を持つ場合、 をにおいて補完するように選択することができ、 が対称基底を持つ場合、自体は と同型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ell _{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell _{N}}$

定理 4 (リンデンシュトラウス/ツァフリリ)。すべての可分オルリッツ列空間には、何らかの に対してと同型な部分空間が含まれます。 ${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$

系。 可分なオルリッツ列空間のすべての無限次元閉部分空間には、何らかの に対してと同型なさらなる部分空間が含まれます。 ${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$

上記の定理 4 では、次の例に示すように、 のコピーが必ずしも補完対象として選択されるとは限らないことに注意してください。 ${\displaystyle \ell _{p}}$

例(リンデンシュトラウス/ツァフリーリ)。任意の に対しての補集合を含まない、可分かつ反射的なオルリッツ列空間が存在します。この同じ空間には、少なくとも 2 つの非等価な対称基底が含まれます。 ${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$${\displaystyle \ell _{M}}$

定理 5 (KJ Lindberg と Lindenstrauss/Tzafriri)。が を満たす Orlicz シーケンス空間である場合(つまり、両側極限が存在する場合)、次のすべてが真です。 ${\displaystyle \ell _{M}}$${\textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$

例: 各 に対して、Orlicz 関数は上記の定理 5 の条件を満たしますが、 と同等ではありません。 ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$${\displaystyle M(t)=t^{p}/(1-\log(t))}$${\displaystyle t^{p}}$

• リンデンシュトラウス、ヨラム、ツァフリリ、リオール（1977）、古典バナッハ空間I、シーケンス空間、ISBN 978-3-642-66559-2
• Lindenstrauss, ヨラム;ツァフリリ、リオル（1971年9月）。 「Orlicz シーケンス スペースについて」。イスラエル数学ジャーナル。10 (3): 379–390。土井：10.1007/BF02771656。
• Lindenstrauss, ヨラム;ツァフリリ、リオル（1972年12月）。 「Orlicz シーケンス空間について。II」。イスラエル数学ジャーナル。11 (4): 355–379。土井：10.1007/BF02761463。
• Lindenstrauss, ヨラム;ツァフリリ、リオル（1973年12月）。 「Orlicz Sequence Spaces III について」。イスラエル数学ジャーナル。14 (4): 368–389。土井: 10.1007/BF02764715。