コヒーレントトポロジー

位相幾何学において、コヒーレント位相とは、部分空間の族によって一意に決定される位相である。大まかに言えば、位相空間が部分空間の族とコヒーレントであるとは、部分空間の位相的和集合である場合である。これは部分空間の族によって生成される弱い位相とも呼ばれるが、これは写像の集合によって生成される弱い位相の概念とはまったく異なる。 ^[1]

を位相空間とし、をそれぞれの部分集合の族でその誘導部分空間位相を持つものとする。(通常、はの被覆となる。)の位相が によって共誘導される最終位相から来る位相として回復される場合、はと整合している(またはによって決定される) ^[2]と言われる。 定義により、これはの( の基本集合) 上で、包含写像が連続する最も細かい位相である。 は、次の 2 つの同値な条件のいずれかが成立する場合、 と整合している。${\displaystyle X}$${\displaystyle C=\left\{C_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle i_{\alpha }:C_{\alpha }\to X\qquad \alpha \in A.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

• 部分集合が で開いているのは、それぞれで開いている場合のみである。${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap C_{\alpha}}$${\displaystyle C_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha \in A.}$
• 部分集合が閉じているのは、それぞれに対してが閉じている場合のみである。${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap C_{\alpha}}$${\displaystyle C_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha \in A.}$

位相空間と任意の部分空間族が与えられたとき、 （の基礎となる集合）上の位相は一意に定まり、その位相は（の基礎となる集合）と整合する。この位相は、一般に、与えられた位相よりも細かくなる。${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle X.}$

• 位相空間はの任意の開被覆と首尾一貫しています 。より一般的には、は内部が を覆う任意の部分集合の族と首尾一貫しています。 この例として、弱局所コンパクト空間は、そのコンパクト部分空間の族と首尾一貫しています。また、局所連結空間は、その連結部分集合の族と首尾一貫しています。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• 位相空間は、局所有限閉被覆と整合している。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• 離散空間は、あらゆる部分空間族（空の族を含む）と一貫性があります。
• 位相空間が の分割と整合する場合、かつその分割の要素の互いに素な和に同相である場合に限ります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 有限生成空間は、すべての有限部分空間の族によって決定される空間です。
• コンパクトに生成される空間（その記事の定義 1 の意味で）は、すべてのコンパクト部分空間の族によって決定される空間です。
• CW複合体は、 その-骨格ファミリーと整合している。${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{n}.}$

を（必ずしも互いに素ではない）位相空間の族とし、誘導された位相が各交差点で一致するようにする。さらに、それぞれに対してが閉じていると 仮定する。 すると 、位相和は、 包含写像によって共誘導される最終位相を付与された集合論的和となる。包含写像は位相的埋め込みとなり、部分空間と整合する。${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X_{\alpha}\cap X_{\beta}.}$${\displaystyle X_{\alpha}\cap X_{\beta}}$${\displaystyle X_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{set}=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }}$$${\displaystyle i_{\alpha}:X_{\alpha}\to X^{set}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}.}$

逆に、が位相空間であり、を覆う部分空間の族と整合している場合、は族の位相的和に同相である。${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$

上記のように、任意の位相空間族の位相的和集合を形成できますが、位相が交差で一致しない場合は、包含は必ずしも埋め込みにはなりません。

位相和は、不連続和によって記述することもできます。具体的には、 が族 の位相和である場合、 は、 すべての について同値関係による族 の不連続和の商に同相です。つまり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$ $${\displaystyle (x,\alpha )\sim (y,\beta )\Leftrightarrow x=y}$$${\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}$$${\displaystyle X\cong \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }/\sim .}$$

空間がすべて互いに素である場合、位相的な和は単に互いに素な和になります。 ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

ここで、集合 A が、包含と両立する方法で、のときは常に 有向 であると仮定します。すると、からへの唯一の写像が存在し、これは実際には同相写像です。以下は、 カテゴリTopにおける の直接的（帰納的）極限（余極限）です。 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle X_{\alpha}\subset X_{\beta}}$${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}$${\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}$

が部分空間の族と整合しているとしよう。位相空間への関数が連続であるためには、制約が それぞれに対して連続であることが必要である。この普遍的性質は、空間が と整合するためには、この性質がすべての空間とすべての関数に対して成り立つことが必要であるという意味で整合位相を特徴づける。${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle f{\big \vert }_{C_{\alpha }}:C_{\alpha }\to Y\,}$$${\displaystyle \alpha \in A.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y.}$

カバーで決めましょう ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}.}$

• が被覆の精緻化である場合、 は次のように決定される。 特に、が のサブ被覆である場合、 は次のように決定される。${\displaystyle C}$${\displaystyle D,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle D.}$
• がの細分化であり、それぞれがに含まれるすべてのものの族によって決定される場合、は次のように決定される。${\displaystyle D=\{D_{\beta }\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle D_{\beta }}$${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D.}$
• を の開部分空間または閉部分空間、またはより一般的には の局所閉部分集合とすると、 は 次のように決定される。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left\{Y\cap C_{\alpha }\right\}.}$
• を商写像とする。すると、は次のように決定される。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left\{f(C_{\alpha })\right\}.}$

を全射写像とし、をによって決定するとする。各に対してをへの制限とすると、 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left\{D_{\alpha }:\alpha \in A\right\}.}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\textstyle f_{\alpha }:f^{-1}(D_{\alpha })\to D_{\alpha }\,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(D_{\alpha }).}$

• が連続で、それぞれが商写像である場合、 は商写像です。${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{\alpha }}$${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f}$それぞれが閉じている（それぞれ開いている）場合、かつその場合に限り、は閉じた写像（それぞれ開いた写像）である。${\displaystyle f_{\alpha }}$

位相空間と部分空間の族が与えられた場合、 と整合する上の唯一の位相が存在する。 位相は元の位相よりも細かく、がと整合しない場合は厳密にはより細かくなる。 しかし、位相と は族内ののそれぞれに同じ部分空間位相を誘導する。 そして、位相は常に と整合する。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}}$${\displaystyle \tau _{C}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle \tau _{C}}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle C.}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{C}}$${\displaystyle C_{\alpha }}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle \tau _{C}}$${\displaystyle C.}$

この最後の構成の例として、が位相空間のすべてのコンパクト部分空間の集合である場合、結果として得られる位相はのk 化を定義します。 空間とは同じコンパクト セットを持ち、それらの上に同じ誘導部分空間位相があります。そして、k 化はコンパクトに生成されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \tau _{C}}$ ${\displaystyle kX}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle kX}$

• 最終位相 – いくつかの関数を連続させる最も微細な位相

• 田中 良雄 (2004)。「商空間と分解」。KP Hart、J. Nagata、JE Vaughan (編)。一般位相幾何学百科事典。アムステルダム: Elsevier Science。pp. 43–46。ISBN 0-444-50355-2。
• ウィラード、スティーブン (1970)。一般位相幾何学。マサチューセッツ州レディング:アディソンウェスレー。ISBN 0-486-43479-6（ドーバー版）。