ベータデュアル空間

関数解析および関連する数学の分野において、ベータ双対またはβ双対は、数列空間の代数双対の特定の線型部分空間です。

系列空間Xが与えられたとき、Xのβ -双対は次のように定義される。

${\displaystyle X^{\beta }:=\left\{x\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\ :\ \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}{\text{収束する }}\quad \forall y\in X\right\}.}$

ここで、は実数または複素数のスカラー フィールドを表します。 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

XがFK空間である場合、 Xβの各yはX上の連続線型形式を定義する^。

${\displaystyle f_{y}(x):=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\qquad x\in X.}$

• ${\displaystyle c_{0}^{\beta}=\ell^{1}}$
• ${\displaystyle (\ell ^{1})^{\beta }=\ell ^{\infty }}$
• ${\displaystyle \omega ^{\beta }=\{0\}}$

FK 空間Eのベータ双対は、Eの連続双対の線型部分空間です。EがFK-AK 空間の場合、ベータ双対は連続双対と線型同型です。