モジュールのカテゴリ

代数学において、環 Rが与えられたとき、R上の左加群のカテゴリは、その対象がすべてR上の左加群であり、その射がすべて左R加群間の加群準同型であるカテゴリである。たとえば、R が整数Zの環である場合、それはアーベル群のカテゴリと同じものである。右加群のカテゴリも同様に定義される。

環R上の双加群のカテゴリを定義することもできますが、そのカテゴリはRの包絡代数上(またはその逆) の左 (または右) 加群のカテゴリと同等です。

注:一部の著者は、モジュールのカテゴリを表すためにモジュールカテゴリという用語を使用しています。この用語は、モノイドカテゴリアクションを持つカテゴリを指す場合もあるため、曖昧になる可能性があります。^[1]

プロパティ

左加群と右加群のカテゴリはアーベルカテゴリです。これらのカテゴリには十分な射影^[2]と十分な入射^[3] があります。ミッチェルの埋め込み定理は、すべてのアーベルカテゴリが、ある環上の加群のカテゴリの完全なサブカテゴリとして生じると述べています。

左加群と右加群のカテゴリには射影的極限と帰納的極限が存在する。 ^[4]

可換環上で、加群のテンソル積⊗と合わせると、加群のカテゴリは対称モノイドカテゴリになります。

オブジェクト

可換環R上の加群のカテゴリのモノイドオブジェクトは、まさにR上の結合代数です。

参照:コンパクトオブジェクト( R -mod内のコンパクトオブジェクトはまさに有限に提示されたモジュールです)。

ベクトル空間のカテゴリ

カテゴリK - Vect (一部の著者はVect _Kと表記)は、体K上のすべてのベクトル空間をオブジェクトとして持ち、K -線型写像を射として持ちます。体としてのK上のベクトル空間は環K上の加群と同じものなので、K - Vect は左R -加群のカテゴリであるR - Mod (一部の著者はMod _Rと表記)の特殊なケースです。

線型代数の多くはK - Vectの記述に関係しています。たとえば、ベクトル空間の次元定理によれば、K - Vectの同型類は基数に正確に対応し、K - Vect は、ベクトル空間K ⁿ （ nは任意の基数）を対象とするK - Vectのサブカテゴリと同値です。

一般化

環空間上の加群の層のカテゴリにも十分な数の入射子があります (ただし、射影子は常に十分であるとは限りません)。

参照

参考文献

^ 「nLabのモジュールカテゴリ」ncatlab.org。
^ 任意のモジュールは自由モジュールの商なので自明です。
^ Dummit & Foote、第10章、定理38。
^ ブルバキ、§6。

文献

ブルバキ。「アルジェブル・リネール」。アルジェブル。
ダミット、デイビッド; フット、リチャード。抽象代数。
Mac Lane, Saunders (1998 年 9 月)。Categories for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001 。

外部リンク

http://ncatlab.org/nlab/show/Mod

[1] 「nLabのモジュールカテゴリ」ncatlab.org。

[2] 任意のモジュールは自由モジュールの商なので自明です。

[3] Dummit & Foote、第10章、定理38。

[4] ブルバキ、§6。