シーケンシャルスペース

位相幾何学および関連する数学分野において、シーケンシャル空間とは、その位相が収束列／発散列によって完全に特徴づけられる位相空間のことである。シーケンシャル空間は、可算性の非常に弱い公理を満たす空間と考えることができ、すべての第一可算空間（特に距離空間）はシーケンシャル空間である。

任意の位相空間において${\displaystyle (X,\tau ),}$収束列が閉集合に含まれる場合${\displaystyle C,}$すると、その数列の極限は以下に含まれる必要がある${\displaystyle C}$同様に。この性質を持つ集合は、順次閉集合として知られています。順次空間とは、順次閉集合が実際に閉集合となるような位相空間のことです。（これらの定義は、順次開集合の観点から言い換えることもできます。下記を参照してください。）言い換えれば、任意の位相はネット（ムーア・スミス数列とも呼ばれる）で記述できますが、それらの数列は「長すぎる」（大きすぎる順序数でインデックス付けされる）ため、数列に圧縮できない場合があります。順次空間とは、可算長のネット（つまり数列）で位相を記述できるような位相空間のことです。

任意のトポロジーは、逐次的な共反射と呼ばれる逐次的なトポロジーに洗練（つまり、より細かく）することができる。${\displaystyle X.}$

フレシェ・ウリソン空間、T-シーケンシャル空間、および関連する概念${\displaystyle N}$シーケンシャル空間も、空間のトポロジーがシーケンスとどのように相互作用するかという観点から定義されますが、微妙に異なる特性を持っています。

連続する空間と${\displaystyle N}$-シーケンシャル空間はSPフランクリンによって導入された。^{[ 1 ]}

このような性質を満たす空間は長年にわたり暗黙のうちに研究されてきたが、最初の正式な定義は1965年のS・P・フランクリンによるものである。フランクリンは「収束列の知識によって完全に指定できる位相空間のクラス」を決定したいと考え、まず第一可算空間の研究から始めた。第一可算空間については、すでに列で十分であることが知られていた。フランクリンはその後、第一可算空間の必要な性質を抽象化することによって、現代的な定義にたどり着いた。

させて${\displaystyle X}$セットにして${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$シーケンスである${\displaystyle X}$;つまり、要素のファミリー${\displaystyle X}$自然数でインデックス付けされています。この記事では、${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$シーケンス内の各要素は${\displaystyle x_{\bullet }}$は${\displaystyle S,}$そして、もし${\displaystyle f:X\to Y}$地図であれば、${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$任意のインデックスに対して${\displaystyle i,}$尻尾${\displaystyle x_{\bullet }}$開始${\displaystyle i}$シーケンスは$${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$シーケンス${\displaystyle x_{\bullet }}$最終的には${\displaystyle S}$もし何らかの尾が${\displaystyle x_{\bullet }}$満たす${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

させて$\displaystyle \tau }$トポロジーである${\displaystyle X}$そして${\displaystyle x_{\bullet }}$その中のシーケンス。${\displaystyle x_{\bullet }}$一点に収束する${\displaystyle x\in X,}$書かれた${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$（文脈が許せば、${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$)、すべての近隣地域について${\displaystyle U\in \tau }$の${\displaystyle x,}$最終的に${\displaystyle x_{\bullet }}$は${\displaystyle U.}$${\displaystyle x}$は、${\displaystyle x_{\bullet }.}$

関数${\displaystyle f:X\to Y}$位相空間間の連続性は、${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$暗示する${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

させて${\displaystyle (X,\tau )}$を位相空間とし、${\displaystyle S\subseteq X}$部分集合とする。の位相閉包（または位相内部）${\displaystyle S}$で${\displaystyle (X,\tau )}$は、${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$(それぞれ)${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$)

順次閉鎖​${\displaystyle S}$で${\displaystyle (X,\tau )}$セットは$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{ある数列 }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{が存在し、}}s_{\bullet }\to x\right\}}$$これは、の冪集合上の写像、逐次閉包演算子を定義する。${\displaystyle X.}$明確化のために必要であれば、このセットは次のように書くこともできます。${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$または${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$常にそうである${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$しかし、その逆はうまくいかないかもしれない。

連続的な内部${\displaystyle S}$で${\displaystyle (X,\tau )}$セットは$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{x_{\bullet }\subseteq X かつ x_{\bullet }\to s のとき、x_{\bullet }{\text{ は最終的に }}S に含まれる}$$（必要に応じて、位相空間は添え字で再び示される。）

逐次閉包と内部は、位相閉包と内部の多くの優れた性質を満たします。すべての部分集合について${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$そして${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$そして${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$;
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; そして
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

つまり、逐次閉包は前閉包演算子である。位相閉包とは異なり、逐次閉包は冪等ではない。最後の包含関係は厳密である可能性がある。したがって、逐次閉包は（クラトフスキー）閉包演算子ではない。

前述のように、逐次閉包は一般に冪等ではないため、位相の閉包演算子ではありません。冪等な逐次閉包は、超限反復によって得ることができます。後続順序数に対して、${\displaystyle \alpha +1,}$定義する（通常通り）$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$そして、制限順序数の場合${\displaystyle \alpha ,}$定義する$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$このプロセスにより、順序インデックス付きの増加列が得られます。そして、その列は常にインデックスによって安定化することがわかっています。${\displaystyle \omega _{1}}$（最初の不可算序数）。逆に、${\displaystyle X}$は、任意の選択に対して最小の順序数である。${\displaystyle S,}$上記のシーケンスは安定するだろう。^{[ 2 ]}

超限逐次閉包${\displaystyle S}$上記の順序で端末セットが設定されていますか？${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$オペレーター${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$は冪等性を持つため、閉包演算子である。特に、逐次共反射という位相を定義する。逐次共反射では、逐次的に閉じているすべての集合は閉じている（そして逐次的に開いているすべての集合は開いている）。^{[ 3 ]}

T-逐次空間は、逐次順序が1の位相空間であり、これは以下のいずれかの条件と同等である。^{[ 1 ]}

• すべての部分集合の逐次閉包（または内部）${\displaystyle X}$順次閉じられる（または開かれる）。
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$または${\displaystyle \operatorname {sint} }$冪等性を持つ。
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$または${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• 任意の連続近傍${\displaystyle x\in X}$順次オープンセットに縮小することができ、${\displaystyle x}$厳密に言えば、逐次的に開かれた近隣領域は、逐次的な近隣領域の基盤となる。
• いかなる場合でも${\displaystyle x\in X}$および任意の連続する近傍${\displaystyle N}$の${\displaystyle x,}$連続的な近傍が存在する${\displaystyle M}$の${\displaystyle x}$すべての${\displaystyle m\in M,}$セット${\displaystyle N}$は、${\displaystyle m.}$

T-逐次空間であることと逐次空間であることは比較できません。T-逐次でない逐次空間も存在し、その逆もまた然りです。しかし、位相空間は${\displaystyle (X,\tau )}$と呼ばれる${\displaystyle N}$逐次的かつT逐次的である場合は、逐次的（または近傍逐次的）である。同等の条件は、すべての逐次的な近傍がオープン（古典的）近傍を含むことである。^{[ 1 ]}

すべての第一可算空間（したがってすべての距離化可能空間）は${\displaystyle N}$逐次的。逐次的だがそうでない位相ベクトル空間が存在する。${\displaystyle N}$-逐次的（したがってT-逐次的ではない）。^{[ 1 ]}

すべてのCW複体は、距離空間の商空間とみなせるため、逐次的な性質を持つ。

ザリスキ位相を持つ可換ネーター環の素スペクトルは逐次的である。^{[ 7 ]}

本当のラインを取る${\displaystyle \mathbb {R} }$そして集合を特定する${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数をある点に集積したもの。距離空間の商空間として考えると、結果は数列となるが、第一可算空間ではない。

すべての第一可算空間はフレシェ・ウリゾーン空間であり、すべてのフレシェ・ウリゾーン空間は逐次空間である。したがって、すべての距離化可能空間または擬距離化可能空間、特にすべての第二可算空間、距離空間、または離散空間は逐次空間である。  

させて${\displaystyle {\mathcal {F}}}$フレシェ・ウリゾーン空間から${\displaystyle X.}$そして最終的なトポロジーは${\displaystyle {\mathcal {F}}}$誘発する${\displaystyle X}$順次処理されます。

ハウスドルフ位相ベクトル空間は、同じ収束列を持つ厳密に細かい位相が存在しない場合のみ、逐次的である。^{[ 8 ] [ 9 ]}

すべてのシーケンシャル空間は可算タイトネスを持ち、コンパクトに生成される。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$が 2 つのハウスドルフ連続空間間の連続開射である場合、集合は${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$一意な逆像を持つ点の集合は閉じている。（連続性により、その逆像も閉じている。）${\displaystyle X,}$すべての点の集合${\displaystyle f}$（単射である。）

もし${\displaystyle f:X\to Y}$ハウスドルフ列空間への全射写像（必ずしも連続とは限らない）${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle {\mathcal {B}}}$トポロジーの基底${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての に対して、 が成り立つ場合に限り、オープン マップである。${\displaystyle x\in X,}$基本的な近隣地域${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$の${\displaystyle x,}$およびシーケンス${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$で${\displaystyle Y,}$サブシーケンスがあります${\displaystyle y_{\bullet }}$それは最終的には ${\displaystyle f(B).}$

すべてのシーケンシャル空間の完全なサブカテゴリSeq は、位相空間のカテゴリTopにおいて、以下の操作に関して閉じられています。

カテゴリSeq は、Topの以下の操作の下では閉じられていません。

位相和と位相商に関して閉じているため、シーケンシャル空間は位相空間の圏の共反射部分圏を形成します。実際、シーケンシャル空間は距離化可能空間の共反射包（つまり、和と位相商に関して閉じており、距離化可能空間を含む位相空間の最小クラス）です。

部分圏Seqは、自身の積 ( Topの積ではない) に関して、デカルト閉圏である。指数オブジェクトは、 (収束列)-開位相を備えている。

PI Booth と A. Tillotson は、SeqがTopの最小のデカルト閉部分圏であり、すべての距離空間、CW 複体、微分可能多様体の基礎となる位相空間を含み、余極限、商、およびNorman Steenrod が「便利」と表現したその他の「ある種の妥当な恒等式」の下で閉じていることを示した。^{[ 18 ]}

すべてのシーケンシャル空間はコンパクト生成され、Seqにおける有限積はコンパクト生成空間における有限積と一致する。なぜなら、コンパクト生成空間の圏における積は距離空間の商空間を保存するからである。

• 可算性の公理
• 閉グラフ特性– 位相における関数の特性 
• 第一可算空間– 各点が可算近傍基底を持つ位相空間 
• フレシェ・ウリゾーン空間– 位相空間の一種 
• シーケンスカバレッジマップ

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