配列カバーマップ

数学、特に位相幾何学において、シーケンス被覆写像（シーケンスこうぞうしょうぞう）は、定義がすべて何らかの形でコドメイン内のシーケンスをドメイン内のシーケンスに関連付ける位相空間間の写像のクラスのいずれかである。例として、順次商写像、シーケンス被覆、1-シーケンス被覆、および2-シーケンス被覆が挙げられる。^{[1] [2] [3] [4]これらの写像のクラスは、}シーケンシャル空間と密接に関連している。ドメインおよび/またはコドメインが特定の追加の位相特性を持つ場合（多くの場合、空間がハウスドルフかつ第1可算であることで十分である）、これらの定義は、たとえば開写像や商写像などの他のよく知られた写像のクラスと同等になる。このような状況では、収束シーケンスに関してそのような特性を特徴付けることは、たとえば、シーケンシャル連続性に関して連続性を特徴付けることや、シーケンシャルコンパクト性に関してコンパクト性を特徴付けること（そのような特徴付けが成り立つ場合）によって提供されるものと同様の利点をもたらす可能性がある。

の部分集合がで順次開いているとは、 内の数列が( 内) に属する点に収束するときはいつでも、その数列は必然的に内に入る(つまり、数列内で に属さない点は最大でも有限個) ことをいいます。のすべての順次開いている部分集合の集合は、上の位相を形成しますが、これは の与えられた位相よりも細かいものです。 定義により、 は のとき順次空間と呼ばれます。内の 数列と内の点が与えられた場合、かつ内の場合と同値です。さらに、は における数列収束のこの特徴付けが成り立つ 上の最も細かい位相です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).}$${\displaystyle \operatorname {SeqOpen} (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$

写像 はが連続する場合に順次連続であると呼ばれます。これは、 内の任意のシーケンス に対して、内の任意の であれば必ず内のである場合に限り成り立ちます 。すべての連続写像は順次連続ですが、一般にその逆は成り立たない場合があります。実際、空間が順次空間である場合、それは順次空間に対する次の普遍的性質を満たしている必要があります。 ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle (Y,\sigma ).}$${\displaystyle (X,\tau )}$

あらゆる位相空間とあらゆる写像に対して、写像が連続的であるためには、それが順次連続的である必要があります。${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

部分集合のにおける順次閉包とは、 から成り、においてに収束するにおける数列が存在する集合のことである。部分 集合が で順次閉包しているとは、 における数列が においてある点に収束するときはいつでも、 が必ず成り立つ場合である。 空間がフレシェ–ウリゾーン空間であるとは、任意の部分集合に対して が成り立つ場合であり、 のすべての部分空間が順次空間である場合である。任意の第 1 可算空間はフレシェ–ウリゾーン空間であり、したがって順次空間でもある。すべての擬距離化可能空間、距離化可能空間、および第 2 可算空間は、第 1 可算である。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in S.}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle (X,\tau )}$

集合内のシーケンスは 、定義により、における値が で表される関数です(ただし、関数で使用される通常の表記法、たとえば括弧や合成法は、読みやすさを向上させるために、特定の状況で使用される場合があります)。したがって、「シーケンスは単射である」や「シーケンスの像(つまり範囲)は無限である」などのステートメント、および関数に対して定義されているその他の用語や表記法は、シーケンスに適用できます。シーケンスが別のシーケンスのサブシーケンスであるとは、すべての に対してとなるような厳密に増加するマップ(代わりに で表される場合もあります)が存在する場合です。ここで、この条件は、関数合成の観点から次のように表現できます。 通常どおり、 が(定義などにより) のサブシーケンスであると宣言されている場合は、 が厳密に増加すると直ちに想定する必要があります。 および という表記法は、シーケンスが集合 に値を持つことを意味します。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet },}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle s_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle s_{k}=x_{l_{k}}}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \circ}$${\displaystyle s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.}$${\displaystyle x_{l_{\bullet}}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle S.}$

この関数は${\displaystyle f:X\to Y}$シーケンス被覆とは、任意の収束シーケンスに対して、 シーケンスが存在することを 言う。${\displaystyle y_{\bullet}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.}$1-シーケンス被覆とは、任意のシーケンスに対して、が収束するシーケンスが、 が収束するシーケンスが存在することを意味します 。${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (Y,\sigma ),}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$が射影的であり、また任意の任意のシーケンスに対して、およびがに収束する、がに収束するシーケンスが存在する マップコンパクト被覆任意のコンパクトに対してコンパクト部分集合が存在する場合である。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y),}$${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (Y,\sigma ),}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$${\displaystyle y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\subseteq Y}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle f(C)=K.}$

連続性の定義と同様に、マップは${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$逐次商マップの場合

${\displaystyle f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

は商写像であり、^[5]任意の部分集合に対してが順次開であることと、においてが成り立つことが等しい場合に限ります 。逐次商写像は Boone & Siwiec 1976 で導入され、上記のように定義されました。^[5]${\displaystyle S\subseteq Y,}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle f^{-1}(S)}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

すべての順次商写像は、連続ではない場合もありますが、必ず射影的かつ順次連続です。 が順次連続射影であり、その定義域が順次空間である場合、が商写像であるためには、 が順次空間であり、 が順次商写像である必要 があります。${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

がハウスドルフ空間であるとき、その空間を順次ハウスドルフと呼ぶ。^[6] 同様に、他のすべての分離公理の「順次バージョン」は、その空間がそれを持つかどうかという観点から定義することができる。すべてのハウスドルフ空間は必然的に順次ハウスドルフである。順次空間がハウスドルフであるのは、それが順次ハウスドルフである場合に限る。 ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$${\displaystyle (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))}$

が逐次連続な全射である場合、 が逐次ハウスドルフであると仮定すると、以下は同値です。 ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$

1. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$順次商です。
2. が収束する列であるときはいつでも、が の部分列となるような収束する列が存在する。${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet}}$${\displaystyle y_{\bullet }.}$
3. が の収束列であるときはいつでも、が の部分列となるような の収束列が存在する。${\displaystyle y_{\bullet}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\circ x_{\bullet}}$${\displaystyle y_{\bullet }.}$
   • この記述は、シーケンスの極限に要件が課されていないという点のみで上記(2)と異なります(これは、が順次ハウスドルフでない場合にのみ重要な違いになります)。${\displaystyle Y}$
   • が連続コンパクト空間への連続射影である場合、 が連続ハウスドルフでなくてもこの条件は成り立ちます。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

が逐次ハウスドルフであるという仮定が取り除かれた場合、ステートメント (2) は依然として他の 2 つのステートメントを暗示しますが、上記の特徴付けが成立することはもはや保証されません (ただし、共役領域内の点が逐次閉じていることが要求される場合、逐次商写像は必ず条件 (3) を満たします)。 の逐次連続性要件が(通常の) 連続性を要求するように強化された場合でも、これは当てはまります。元の定義を使用する代わりに、一部の著者は「逐次商写像」を条件 (2) または条件 (3) を満たす連続射影を意味するように定義しています。共役領域が逐次ハウスドルフである場合、これらの定義は、連続性という追加の要件 (単に逐次連続性を要求するのではなく) において のみ元の定義と異なります。${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

この地図は${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$が最終的にに等しくならないにおける集合が^[5]において順次閉じていない場合、前順次的とは、この集合は次のように記述することもできる。 ${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle y_{\bullet}}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)}$${\displaystyle (X,\tau ),}$

${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)}$

同様に、が前順次的であることは、 の任意の収束する列に対して、集合が で順次閉じていないことと同値である。${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$${\displaystyle (Y,\sigma )}$${\displaystyle y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},}$${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

ハウスドルフ空間間の射影写像が逐次商となるのは、それが逐次連続かつ前逐次写像である場合に限ります。^[5]${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

が2つの第一可算ハウスドルフ空間間の連続全射である場合、次の命題が成り立つ: ^{[7] [8] [9] [10] [11] [12] [3] [4]}${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$

• ${\displaystyle f}$は、1 シーケンス被覆である場合に限り、ほぼ開いています。
  • ほぼ開写像とは、任意のに対して開点となるようなものが存在するという性質を持つ射影写像であり、定義により、任意の開近傍に対して の近傍が の近傍となることを意味する。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle f}$は、2 シーケンス被覆である場合に限り、開写像となります。
• がコンパクト被覆写像である場合、 は商写像です。${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• 以下は同等です:
  1. ${\displaystyle f}$商マップです。
  2. ${\displaystyle f}$順次商マップです。
  3. ${\displaystyle f}$シーケンスカバーです。
  4. ${\displaystyle f}$擬似開写像です。
     • 写像が擬似開写像であるとは、の任意の開近傍（となる開部分集合を意味する）に対して、の内部（ に含まれる）に必ず属する場合をいう。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq U}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(U).}$

  さらに、とが両方とも可分距離空間である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

  5. ${\displaystyle f}$は遺伝的商マップです。

以下は、連続射影が順次開であるための十分条件であり、追加の仮定を加えると、開写像の特徴付けが得られる。 が正則空間からハウスドルフ空間への連続射影であると仮定する。制約がのすべての開部分集合に対して順次商である場合、の開部分集合を の順次開部分集合に写像する。したがって、とも順次空間である 場合、が開写像であるためには、のすべての開部分集合に対して が順次商である（または、商 である）ことが必要である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X.}$

連続関数（必ずしも全射ではない）の共役域内の元が与えられると、が の像に属するための十分条件が次によって与えられる：位相空間の部分集合の族が点で局所有限であるとは、集合が有限となるようなの開近傍が存在する場合をいう。 は2 つのハウスドルフ第一可算空間間の連続写像であると仮定し、 とおく。に(1) および (2) となるような 列が存在する場合、で局所有限ではないが存在する。 で局所的 に定数 となる点が存在しない、つまり を定数写像に制限するの空でない開部分集合が存在しない場合には逆が真である。 ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f:=f(X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{\bullet }\to y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle y\in \operatorname {Im} f=f(X).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

が第1可算空間からハウスドルフ空間への連続開射影であると仮定し、が任意の空でない部分集合であるとし 、がにおけるの閉包を表すとします。すると、 および に収束する における任意のシーケンスが与えられた場合、に収束するにおけるシーケンスと、すべてに対してとなるの部分シーケンスが存在することに なります。つまり、 となる収束シーケンスが与えられた場合、と同じファイバーに属する他の任意の に対して、 をによって「持ち上げて」に収束するシーケンスにできるような部分シーケンスを常に見つけることができることを意味します。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$${\displaystyle D\subseteq Y}$${\displaystyle y\in \operatorname {cl} _{Y}D}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle x,z\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle f^{-1}(D)}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle z_{\bullet }}$${\displaystyle f^{-1}(D)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle z\in f^{-1}(f(x))}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z.}$

以下は、ある条件下では、写像の繊維が可算集合であることで、開点 の存在が保証されることを示しています。 がハウスドルフ順次空間からハウスドルフ第一可算空間への列被覆であり、 が繊維が可算集合となるようなものである場合、に対して開点 となるようなものが存在します。したがって、 が2 つのハウスドルフ第一可算空間間の商写像であり、 のすべての繊維が可算である場合、 はほぼ開写像であり、したがって 1 列被覆でもあります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:X\to Y}$

• フレシェ・ウリゾーン空間 – 位相空間の性質
• オープンマップ – オープン（またはクローズ）サブセットをオープン（またはクローズ）サブセットに送信する関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 完全写像 – 連続した閉じた射影写像で、その各ファイバーもコンパクト集合である
• 適切な写像 – すべてのコンパクトな原像がコンパクトであるという性質を持つ位相空間間の写像
• シーケンシャル空間 – シーケンスによって特徴付けられる位相空間
• 連続コンパクト空間 – すべてのシーケンスに収束する部分シーケンスがある位相空間