インダクタンス

インダクタンス
一般的な記号	ら
SI単位	ヘンリー（H）
SI基本単位では	kg・m2・s −2・A − 2
他の量からの導出	L = V / ( I / t ) L = Φ /私
寸法	M 1 · L 2 · T −2 · I −2

インダクタンスとは、電気導体が、その中を流れる電流の変化に抵抗する傾向のことです。電流は導体の周囲に磁場を生成します。磁場の強さは電流の大きさによって決まり、電流の大きさの変化に応じて変化します。ファラデーの電磁誘導の法則によれば、回路を通る磁場の変化は導体に起電力(EMF) (電圧) を誘導します。このプロセスは電磁誘導と呼ばれます。変化する電流によって生じるこの誘導電圧には、電流の変化に抵抗する効果があります。これはレンツの法則によって示され、電圧は逆起電力と呼ばれます。

インダクタンスは、誘導電圧とそれを引き起こす電流の変化率の比として定義されます。^[1]これは、回路導体の形状（断面積や長さなど）と導体および近くの材料の透磁率に依存する比例定数です。 ^[1]回路にインダクタンスを追加するように設計された電子部品は 、インダクタと呼ばれます。通常はコイルまたはらせん状のワイヤ で構成されます。

インダクタンスという用語は、1884年5月にオリバー・ヘヴィサイドによって「自己誘導係数」を表す便利な方法として造られました。^{[2] [3]}物理学者ハインリッヒ・レンツに敬意を表して、インダクタンスの記号を使用するのが慣例となっています。^{[4] [5]} SIシステムでは、インダクタンスの単位はヘンリー（ H）で、これは電流が1アンペア/秒の速度で変化しているときに1ボルトの電圧を生じるインダクタンスの量です。^{[6]この単位は、ファラデーとは独立してインダクタンスを発見した}ジョセフ・ヘンリーにちなんで名付けられました。^[7]${\displaystyle L}$

電磁誘導の歴史は、電磁気学の一側面であり、電荷または静電気（琥珀に絹をこすりつける）、電流（雷）、磁気吸引力（磁石）といった古代人の観察から始まりました。これらの自然の力の統一性を理解し、電磁気学の科学理論が確立されたのは、19 世紀になってからです。

電磁誘導は、1831 年にマイケル ファラデーによって初めて説明されました。 ^{[8] [9]}ファラデーの実験では、彼は 2 本の電線を鉄の輪の反対側に巻き付けました。彼は、一方の電線に電流が流れ始めると、ある種の波が輪を伝わり、反対側に何らかの電気効果を引き起こすと予想しました。彼は検流計を使用して、電池が最初のコイルに接続または切断されるたびに、2 番目のコイルの電線に過渡電流が流れるのを観察しました。^[10]この電流は、電池が接続または切断されたときに発生する磁束の変化によって誘導されました。 ^[11]ファラデーは、電磁誘導のその他のいくつかの現れを発見しました。たとえば、彼はコイルの電線に棒磁石をすばやく出し入れしたときに過渡電流を観察し、また、スライド式の電気リード線 (「ファラデーのディスク」)で棒磁石の近くで銅のディスクを回転させて、定常 ( DC ) 電流を発生させました。^[12]

導体を流れる電流は、導体の周囲に磁場を発生させます。これは、アンペールの回路法則によって説明されます。回路を通る全磁束は、磁束密度の垂直成分と電流経路を覆う表面積の積に等しくなります。電流が変化すると、回路を通る磁束も変化します。ファラデーの電磁誘導の法則により、回路を通る磁束の変化は、磁束の変化率に比例した 起電力(EMF、)を回路に誘導します。${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$$

式の負の符号は、誘導電圧が、それを生み出した電流の変化に反対の方向にあることを示しています。これはレンツの法則と呼ばれます。したがって、電位は逆起電力と呼ばれます。電流が増加している場合、電流が流入する導体の端では電圧が正になり、電流が流出する端では電圧が負になり、電流が減少する傾向があります。電流が減少する場合、電流が流出する端では電圧が正になり、電流が維持される傾向があります。自己インダクタンスは、通常単にインダクタンスと呼ばれ、誘導電圧と電流の変化率の比率です 。${\displaystyle L}$

$${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$$

したがって、インダクタンスは導体または回路の特性であり、その磁場によって回路を流れる電流の変化に逆らう傾向があります。SI 単位系におけるインダクタンスの単位はヘンリー( H)で、ジョセフ・ヘンリーにちなんで名付けられました。これは、電流が 1アンペア/秒の速度で変化しているときに1ボルトの電圧を生成するインダクタンスの量です。

すべての導体はある程度のインダクタンスを持っており、実際の電気機器では好ましい効果または有害な効果をもたらす可能性があります。回路のインダクタンスは、電流経路の形状と近くの材料の透磁率に依存します。導体の近くにある鉄などの透磁率の高い強磁性材料は、磁場とインダクタンスを増大させる傾向があります。特定の電流によって生成される回路を通る磁束（総磁場）を増加させる回路の変更は、インダクタンスも増加させます。これは、インダクタンスが磁束と電流の比に等しいためです^{[13] [14] [15] [16]}

$${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$$

インダクタは、磁束を増加させ、回路にインダクタンスを追加するように形作られた導体で構成される電気部品です。通常、コイルまたはらせん状に巻かれたワイヤで構成されます。コイル状のワイヤは、磁力線が回路を複数回通過するため、複数の磁束鎖交があり、同じ長さの直線ワイヤよりもインダクタンスが高くなります。完全な磁束鎖交を想定すると、インダクタンスはコイルの 巻き数の 2 乗に比例します。

コイルのインダクタンスは、中央の穴に強磁性材料の磁気コアを配置することで増加できます。コイルの磁場がコアの材料を磁化して磁区を整列させ、コアの磁場がコイルの磁場に加わって、コイルを通る磁束が増加します。これを強磁性コアインダクタと呼びます。磁気コアはコイルのインダクタンスを数千倍に増加させることができます。

複数の電気回路が互いに近接している場合、一方の回路の磁場が他方の回路を通過することがあります。この場合、回路は誘導結合しているといわれます。ファラデーの電磁誘導の法則により、1 つの回路の電流の変化が別の回路の磁束の変化を引き起こし、別の回路に電圧を誘導します。この場合、インダクタンスの概念は、回路と回路の相互インダクタンスを 、回路に誘導される電圧と回路の電流の変化率の比として定義することで一般化できます。これが変圧器の原理です。${\displaystyle M_{k,\ell }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle k}$1つの導体がそれ自身に与える影響を表す特性は、より正確には自己インダクタンスと呼ばれ、1つの導体が変化する電流によって近くの導体に与える影響を表す特性は相互インダクタンスと呼ばれます。^[17]

インダクタンスのある導体を流れる電流が増加すると、導体の抵抗によって生じる電圧降下に加えて、電流と反対の極性の電圧が導体全体に誘導されます。回路を流れる電荷は位置エネルギーを失います。この「電位の丘」を克服するために必要な外部回路からのエネルギーは、導体の周囲の増加した磁場に蓄えられます。したがって、インダクタは磁場にエネルギーを蓄えます。任意の時点で磁場に流入する電力は、蓄積されたエネルギーの変化率に等しく、導体全体の電流と電圧の積です^{[18] [19] [20]}${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle i(t)}$${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$$

上記（１）より

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}}$$

電流が流れていないときは磁場も存在せず、蓄積されたエネルギーはゼロです。抵抗損失を無視すると、電流が流れるインダクタンスに蓄積されるエネルギー ( SI単位のジュールで測定)は、インダクタンスに流れる電流をゼロから開始するために必要な仕事量、つまり磁場に等しいです。これは次のように求められます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$$

インダクタンスが電流範囲にわたって一定である場合、蓄積されるエネルギーは^{[18] [19] [20]}${\displaystyle L(i)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}}$$

したがって、インダクタンスは、特定の電流に対して磁場に蓄えられたエネルギーにも比例します。このエネルギーは、電流が一定である限り蓄えられます。電流が減少すると、磁場も減少し、導体に反対方向の電圧が誘導されます。電流が流入する端では負の電圧、電流が流出する端では正の電圧です。これにより、蓄えられた磁気エネルギーが外部回路に戻ります。

磁気コアを持つインダクタのように、導体の近くに強磁性材料がある場合、上記の一定インダクタンス方程式は、強磁性材料が飽和するレベル以下の電流における磁束の線形領域に対してのみ有効であり、その場合インダクタンスはほぼ一定です。インダクタ内の磁場がコアが飽和するレベルに近づくと、インダクタンスは電流とともに変化し始めるため、積分方程式を使用する必要があります。

正弦 波交流電流（AC）が線形インダクタンスを通過するとき、誘導される逆起電力も正弦波になります。インダクタンスを流れる電流が の場合、（1）より上の式から、インダクタンスにかかる電圧は ${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、はアンペア単位の正弦波電流の振幅（ピーク値）、は交流電流の角周波数、 はヘルツ単位の周波数、はインダクタンスです。 ${\displaystyle I_{\text{peak}}}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$

したがって、インダクタンスにかかる電圧の振幅（ピーク値）は

$${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$$

誘導性リアクタンスは、交流電流に対するインダクタの抵抗である。^[21]これは、抵抗器の電気抵抗と同様に、交流電圧の振幅（ピーク値）と部品の電流 の比 として定義される。

$${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$$

リアクタンスの単位はオームです。インダクタの誘導リアクタンスは周波数に比例して増加するため、周波数が高くなると、一定の AC 電圧を印加してもインダクタに流れる電流は少なくなります。誘導電圧は電流が増加するときに最大になるため、電圧と電流の波形は位相がずれています。つまり、各サイクルで電圧のピークは電流のピークよりも早く発生します。電流と誘導電圧の位相差はラジアンまたは 90 度で、理想的なインダクタでは電流が電圧より 90° 遅れていることがわかります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

最も一般的なケースでは、インダクタンスはマクスウェル方程式から計算できます。多くの重要なケースは、簡略化を使用して解決できます。表皮効果を伴う高周波電流を考慮すると、表面電流密度と磁場はラプラス方程式を解くことによって得られます。導体が細いワイヤの場合、自己インダクタンスはワイヤの半径とワイヤ内の電流分布に依存します。この電流分布は、ワイヤ半径が他の長さスケールよりもはるかに小さい場合、ほぼ一定です (ワイヤの表面または体積内)。

実際のところ、長い電線はインダクタンスが大きく、太い電線はインダクタンスが小さくなります。これは電気抵抗に似ています (ただし、この関係は直線的ではなく、長さと直径が抵抗に及ぼす関係とは性質が異なります)。

配線を回路の他の部分から分離すると、式の結果に避けられない誤差が生じます。これらのインダクタンスは、省略されている回路全体のインダクタンスへの他の寄与を考慮する必要があるため、「部分インダクタンス」と呼ばれることがよくあります。

以下の式の導出については、Rosa (1908) を参照してください。^[22] 直線ワイヤの低周波インダクタンス（内部と外部の合計）は次のとおりです。

$${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$$

どこ

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$^{はナノヘンリー（nHまたは10 −9} H）単位の「低周波」またはDCインダクタンスです。
• ${\displaystyle \ell }$ワイヤーの長さ（メートル）
• ${\displaystyle r}$メートル単位のワイヤの半径（したがって非常に小さな小数）
• 定数は、一般に と呼ばれる自由空間の透磁率を で割ったものです。磁気反応絶縁がない場合、古典的な定義μ ₀ =を使用すると、値 200 が正確になります。${\displaystyle 200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$${\displaystyle 2\pi }$4π × 10 ⁻⁷  H/m、2019年に再定義されたSI値μ ₀ =を使用する場合は小数点以下7桁に修正されます。1.256 637 062 12 (19) × 10 ⁻⁶  H /m .

定数 0.75 は、いくつかのパラメータ値のうちの 1 つにすぎません。異なる周波数範囲、異なる形状、または極端に長いワイヤの長さでは、わずかに異なる定数が必要になります (以下を参照)。この結果は、半径が長さよりもはるかに小さいという仮定に基づいています。これは、ワイヤやロッドの場合に一般的です。ディスクや厚い円筒の場合は、式がわずかに異なります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \ell }$

十分に高い周波数では、表皮効果により内部電流が消え、導体の表面の電流だけが残ります。交流電流のインダクタンスは、非常によく似た式で表されます。 ${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

$${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$$ ここで、変数と は上記と同じです。定数項が上記の 0.75 から 1 に変更されていることに注意してください。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle r}$

日常的な経験から例を挙げると、ランプコードの導体の1本だけで10mの長さで18AWGのワイヤーを使用した場合 、インダクタンスは約まっすぐ伸ばすと 19μH 。

考慮すべきケースは 2 つあります。

1. 電流は各電線で同じ方向に流れ、
2. 電流は電線上を反対方向に流れます。

電線上の電流は必ずしも等しくなくてもよいが、1 本の電線がソースでもう 1 本の電線がリターンである完全な回路の場合のように、等しくなることもよくあります。

これは、均一な低周波電流を流す典型的な 2 ループ円筒コイルの一般化されたケースです。ループは独立した閉回路であり、長さが異なり、空間内で任意の方向を持ち、異なる電流を流すことができます。ただし、積分に含まれない誤差項は、ループの形状がほぼ滑らかで凸状である場合に限ります。ループには、あまり多くのねじれ、鋭角、コイル、交差、平行セグメント、凹状空洞、またはその他の位相的に「近い」変形があってはなりません。3 次元多様体積分式を二重曲線積分に縮小するために必要な条件は、電流経路がフィラメント回路、つまり、ワイヤの半径がその長さに比べて無視できるほど小さい細いワイヤであることです。

フィラメント回路によるフィラメント回路上の相互インダクタンスは、二重積分ノイマンの公式^{[23]で与えられる。}${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

どこ

${\displaystyle C_{m}}$そしてワイヤーがたどる曲線です。${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$は自由空間の透磁率（4π ×10−7H ^/ m）である。

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$回路内の電線の小さな増分C _m

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$宇宙における位置は${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$回路C _nのワイヤの小さな増分

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$空間内のの位置です。${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

どこ

• ${\displaystyle I_{j}}$は番目のワイヤを流れる電流であり、この電流は番目の表面を通る磁束を生成する。${\displaystyle j}$${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$は、次式で表される電気回路によるi番目の表面を通る磁束である：^[24]${\displaystyle C_{j}}$

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

どこ

3 番目の等式ステップでは、ストークスの定理が使用されています。最後の等式ステップでは、 の遅延ポテンシャル式を使用し、遅延時間の影響を無視します (回路の形状が、回路が運ぶ電流の波長に比べて十分に小さいと仮定します)。これは実際には近似ステップであり、細いワイヤで作られたローカル回路にのみ有効です。 ${\displaystyle A_{j}}$

正式には、ワイヤループの自己インダクタンスは、上記の式で与えられます。しかし、ここでは無限大となり、対数的に発散する積分となります。^[a] このため、有限のワイヤ半径とワイヤ内の電流分布を考慮する必要があります。すべての点における積分と補正項からの寄与が残ります。^[25]${\displaystyle \ m=n\ .}$${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$${\displaystyle \ a\ }$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

どこ

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$およびはそれぞれ曲線に沿った距離であり、${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$${\displaystyle \ C\ }$${\displaystyle \ C'\ }$

${\displaystyle \ a\ }$ワイヤーの半径

${\displaystyle \ \ell \ }$ワイヤーの長さです

${\displaystyle \ Y\ }$は、電線内の電流の分布に依存する定数です。

${\displaystyle \ Y=0\ }$電流が電線の表面を流れるとき（全表皮効果）、

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$電流が電線の断面全体に均一に流れている場合。

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$は誤差項であり、その大きさはループの曲線によって決まります。

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$ループに鋭い角がある場合、

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$滑らかな曲線の場合。

ワイヤの長さがその半径に比べて長い場合は、両方とも小さくなります。

ソレノイドは長くて薄いコイルです。つまり、コイルの長さは直径よりもはるかに大きいのです。このような条件で、磁性材料が使われていない場合、コイル内の磁束密度は 実質的に一定で、次のように表されます 。${\displaystyle B}$$${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

ここで、は磁気定数、は巻数、は電流、 はコイルの長さです。 端部効果を無視すると、コイルを通る全磁束は磁束密度と断面積を掛けて得られます。${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle l}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

これをインダクタンスの定義と組み合わせると、ソレノイドのインダクタンスは次のように表されます。 ${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

したがって、空芯コイルの場合、インダクタンスはコイルの形状と巻数の関数であり、電流とは無関係です。

内側導体の半径が で透磁率が 、内側導体と外側導体の間の誘電体の透磁率が、外側導体の内側半径が、外側半径が、透磁率がであるとします。しかし、一般的な同軸線路の用途では、抵抗性表皮効果が無視できない周波数で（非DC）信号を通過させることに関心があります。ほとんどの場合、内側導体と外側導体の項は無視できるため、次のように近似できます。 ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \mu _{d}}$${\displaystyle r_{o1}}$${\displaystyle r_{o2}}$${\displaystyle \mu _{0}}$

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

最も実用的な空芯インダクタは、巻線間の平均距離を最小限に抑えるために正方形の断面を持つ多層円筒形コイルです (円形断面の方が優れていますが、形成が困難です)。

多くのインダクタには、巻線の中心または巻線を部分的に囲む磁気コアが含まれています。これらは、十分に広い範囲にわたって、磁気飽和などの効果を伴う非線形透磁率を示します。飽和により、結果として得られるインダクタンスは、印加電流の関数になります。

セカントまたは大信号インダクタンスは磁束計算に使用されます。次のように定義されます。

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

一方、差動または小信号インダクタンスは電圧の計算に使用され、次のように定義されます。

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

非線形インダクタの回路電圧は、ファラデーの法則と微積分の連鎖律で示されるように、微分インダクタンスを介して得られます。

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

非線形相互インダクタンスについても同様の定義が導き出されます。

相互インダクタンスは、1 つのループまたはコイルに誘導される EMF と別のループまたはコイルの電流の変化率の比として定義されます。相互インダクタンスには記号Mが付けられます。

上記のインダクタンス方程式はマクスウェル方程式の結果です。細いワイヤで構成される電気回路の重要なケースでは、導出は簡単です。

1回または複数回の巻き線を持つワイヤループのシステムでは、ループの磁束鎖交数は次のように表される 。${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{m}}$$${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

ここで はループの巻き数、はループを流れる磁束、は以下に説明する定数です。この式はアンペールの法則から導かれます。磁場と磁束は電流の線形関数です。ファラデーの電磁誘導の法則により、 ${\displaystyle N_{m}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L_{m,n}}$

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

ここで、 は回路に誘導される電圧を表します。係数がインダクタンスの係数と同一視される場合、これは上記のインダクタンスの定義と一致します。全電流がに寄与するため、 は巻数の積に比例することもわかります。${\displaystyle v_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L_{m,n}}$${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$${\displaystyle \Phi _{m}}$${\displaystyle L_{m,n}}$${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

上記のv _mの式にi _m dtを掛けてmにわたって合計すると、時間間隔dtでシステムに伝達されるエネルギーが得られます。 $${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

これは電流によって引き起こされる磁場エネルギーWの変化と一致しなければならない。 ^[26]積分可能性条件

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

L _m,n  = L _n,mが必要である。したがって、インダクタンス行列L _m,nは対称である。エネルギー伝達の積分は、電流の関数としての磁場エネルギーである。 $${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

この方程式は、マクスウェル方程式の線形性から直接導かれた結果でもあります。電流の変化を磁場エネルギーの増加または減少と関連付けると役に立ちます。対応するエネルギー転送には電圧が必要または生成されます。 磁場エネルギー (1/2) Li ^2を伴うK = 1 の場合の機械的な類似点は、質量M、速度u、運動エネルギー (1/2) Mu ²を持つ物体です。速度 (電流) の変化率と質量 (インダクタンス) の積は、力 (電圧) が必要または生成します。

相互インダクタンスは、1 つのインダクタの電流の変化によって、近くにある別のインダクタに電圧が誘導されるときに発生します。これは、変圧器が動作するメカニズムとして重要ですが、回路内の導体間に不要な結合を引き起こす可能性もあります。

相互インダクタンスは、 2つのインダクタ間の結合の尺度でもあります。回路ごとの相互インダクタンスは、二重積分ノイマンの公式で与えられます。計算手法を参照してください。 ${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

相互インダクタンスには次の ような関係があります。 $${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$

相互インダクタンスが決定されれば、 回路 の動作を予測することができます。 ${\displaystyle M}$$${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$

マイナス記号は、図で電流が定義されている方向によって生じます。点に入る両方の電流が定義されているため、の符号は正になります（式ではプラス記号で表示されます）。^[27]${\displaystyle i_{2}}$${\displaystyle M}$

結合係数は、開回路の実際の電圧比と、すべての磁束が 1 つの磁気回路から他の磁気回路に結合された場合に得られる比の比です。結合係数は、相互インダクタンスと自己インダクタンスに次のように関連しています。2 ポート マトリックスで表現される 2 つの同時方程式から、開回路の電圧比は次のようになります。

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$ どこ

一方、すべての磁束が結合されている場合の比率は巻数の比率であり、したがってインダクタンスの平方根の比率である。

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

したがって、

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$ どこ

結合係数は、任意のインダクタンスを持つインダクタの特定の方向との関係を指定するのに便利な方法です。ほとんどの著者は範囲を と定義していますが、一部の著者^[28]はと定義しています。の負の値を許容すると、コイル接続の位相反転と巻線の方向を捉えることができます。^[29]${\displaystyle 0\leq k<1}$${\displaystyle -1<k<1\,}$${\displaystyle k}$

相互結合インダクタは、 2ポートネットワークパラメータ行列表現のいずれかで記述できます。最も直接的なのはzパラメータであり、 ^[30]で与えられます。

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}.}$$

yパラメータは次のように与えられる 。

$${\displaystyle [\mathbf {y} ]={\frac {1}{s}}{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}^{-1}.}$$ ここで、は複素周波数変数、はそれぞれ一次コイルと二次コイルのインダクタンス、 はコイル間の相互インダクタンスです。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle M}$

相互インダクタンスは複数のインダクタに同時に適用される場合がある。相互に結合された複数のインダクタの行列表現は^{[31]で与えられる。}$${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}&M_{12}&M_{13}&\dots &M_{1N}\\M_{12}&L_{2}&M_{23}&\dots &M_{2N}\\M_{13}&M_{23}&L_{3}&\dots &M_{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\M_{1N}&M_{2N}&M_{3N}&\dots &L_{N}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

相互に結合されたインダクタは、図に示すようにインダクタのT回路で等価的に表すことができます。結合が強く、インダクタの値が等しくない場合は、降圧側の直列インダクタが負の値を取る可能性があります。^[32]

これは2ポートネットワークとして解析できます。出力が任意のインピーダンスで終端されている場合、電圧ゲインは次のように表されます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle A_{v}}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$$

ここで は結合定数、 は上記のように複素周波数変数です。密結合インダクタの場合、これは次のように簡約されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$$

これは負荷インピーダンスとは無関係です。インダクタが同じコアに同じ形状で巻かれている場合、インダクタンスは巻数比の2乗に比例するため、この式は2つのインダクタの巻数比に等しくなります。

ネットワークの入力インピーダンスは次のように表される。

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}$$

これ は${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}$$

したがって、電流ゲインは、さらなる条件がない限り、負荷に依存しませ ん。${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$$

が満たされた場合、

$${\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$$

そして

$${\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}$$

あるいは、各ポートにオプションの理想変圧器を備えたπ等価回路を使用して、2つの結合インダクタをモデル化することもできます。この回路はT回路よりも複雑ですが、3つ以上の結合インダクタで構成される回路に一般化できます^{[33] 。等価回路要素}、は物理的な意味を持ち、それぞれ結合経路の磁気抵抗と漏れ経路の磁気抵抗をモデル化します。たとえば、これらの要素を流れる電流は、結合磁束と漏れ磁束に対応します。理想変圧器は、数式を簡略化するために、すべての自己インダクタンスを1ヘンリーに正規化します。 ${\displaystyle L_{\text{s}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$

等価回路要素の値は、結合係数から計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}}$$

ここで結合係数行列とその補因子は次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$そして${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

2つの結合インダクタの場合、これらの式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$そして${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

および3つの結合インダクタ（簡潔にするため、およびのみ表示） ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$${\displaystyle L_{\text{p1}}}$

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$そして${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

コンデンサがトランスの 1 つの巻線に接続され、その巻線が同調回路(共振回路) になっている場合、単同調トランスと呼ばれます。コンデンサが各巻線に接続されている場合は、複同調トランスと呼ばれます。これらの共振トランスは、共振回路と同様に振動する電気エネルギーを蓄えることができるため、バンドパス フィルタとして機能し、共振周波数に近い周波数を一次巻線から二次巻線に通過させ、他の周波数をブロックします。2 つの巻線間の相互インダクタンスの量と、回路のQ 値によって、周波数応答曲線の形状が決まります。複同調トランスの利点は、単純な同調回路よりも広い帯域幅を持つことができることです。複同調回路の結合は、結合係数の値に応じて、疎結合、臨界結合、または過剰結合として説明されます 。2つの同調回路が相互インダクタンスによって疎結合されている場合、帯域幅は狭くなります。相互インダクタンスの量が増加するにつれて、帯域幅は拡大し続けます。相互インダクタンスが臨界結合を超えて増加すると、周波数応答曲線のピークが 2 つのピークに分割され、結合が増加するにつれて 2 つのピークはさらに離れていきます。これをオーバーカップリングと呼びます。 ${\displaystyle k}$

強く結合した自己共振コイルは、中距離（最大2メートル）のデバイス間のワイヤレス電力伝送に使用できます。 ^[34]伝送される電力の割合を高めるには強い結合が必要であり、その結果、周波数応答のピークが分割されます。^{[35] [36]}

のとき、インダクタは密結合しているといわれます。さらに、自己インダクタンスが無限大になると、インダクタは理想的な変圧器になります。この場合、電圧、電流、巻数は次のように関係付けられます。 ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$$ どこ

逆に現在：

$${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$$ どこ

1 つのインダクタを流れる電力は、もう 1 つのインダクタを流れる電力と同じです。これらの式では、電流源または電圧源による強制は無視されます。

以下の表は、細い円筒形の導体（ワイヤ）で作られたさまざまな単純な形状の自己インダクタンスの計算式を示しています。一般に、これらの計算式は、ワイヤの半径が形状の寸法よりもはるかに小さく、近くに強磁性体（磁気コア）がない場合にのみ正確です。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Y}$は0から1の間のほぼ一定の値で、電流が電線の表面のみを流れる場合（完全表皮効果）、電流が電線の断面全体に均一に広がる場合（直流）など、電線内の電流の分布に依存します。丸い電線の場合、Rosa（1908）は次の式と同等の式を示しています。^[22]${\displaystyle Y=0}$${\displaystyle Y=1}$

$${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}}$$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$は、式を単純化するために、式から削除された小さな項を表します。この項は、 「プラス」の順序で変化する小さな補正として読みます(大文字の O 表記を参照)。 ${\displaystyle {}+{\mathcal {O}}(x)}$${\displaystyle x}$

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