アドミタンスパラメータ

アドミタンスパラメータまたはY パラメータ(アドミタンス行列またはY 行列の要素) は、電力、電子工学、電気通信など、電気工学の多くの分野で使用される特性です。これらのパラメータは、線形電気ネットワークの電気的動作を記述するために使用されます。また、非線形ネットワークの小信号(線形化) 応答を記述するためにも使用されます。Y パラメータは、短絡アドミタンスパラメータとしても知られています。これらは、電子工学で使用される類似のパラメータのファミリーのメンバーであり、他の例としては、S パラメータ^{[ 1 ]}、Z パラメータ^{[ 2 ]}、H パラメータ、T パラメータまたはABCD パラメータ^{[ 3 ] [ 4 ]}があります。

Yパラメータ行列は、複数のポートを持つブラックボックスとみなせるあらゆる線形電気ネットワークの挙動を記述します。ここでいうポートとは、ネットワークに出入りする等しく逆向きの電流を流し、それらの間に特定の電圧を持つ一対の電気端子のことです。Y行列は、いずれかのポートの電流がこのように平衡していない場合（そのような場合）のネットワークの挙動に関する情報は提供しません。また、同じポートに属さない端子間の電圧に関する情報も提供しません。通常、ネットワークへの外部接続はそれぞれ1つのポートの端子間のみで行われることが想定されているため、これらの制約は適切です。

一般的なマルチポートネットワークの定義では、各ポートには1からNまでの整数nが割り当てられると想定されます。ここでNはポートの総数です。ポートnの場合、関連するYパラメータの定義は、ポート電圧Vnとポート_電流Inによってそれぞれ表され_ます。

すべてのポートについて、電流はYパラメータ行列で定義され、電圧は次の行列方程式で定義されます。

${\displaystyle I=YV\,}$

ここで、YはN × N行列であり、その要素は従来の行列表記を用いてインデックス付けできる。一般に、Yパラメータ行列の要素は複素数であり、周波数の関数である。1ポートネットワークの場合、Y行列は単一の要素に縮小され、それは2つの端子間で測定される通常のアドミタンスとなる。

2ポートネットワークのYパラメータ行列はおそらく最も一般的なものです。この場合、ポート電圧、ポート電流、およびYパラメータ行列の関係は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}}$。

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

nポートネットワークの一般的な場合、

${\displaystyle Y_{nm}={I_{n} \over V_{m}}{\bigg |}_{V_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}}$

ネットワークの Y パラメータは、次の式で S パラメータと関連付けられます^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&={\sqrt {y}}(I_{N}-S)(I_{N}+S)^{-1}{\sqrt {y}}\\&={\sqrt {y}}(I_{N}+S)^{-1}(I_{N}-S){\sqrt {y}}\\\end{aligned}}}$

および^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}\\&=(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})\\\end{aligned}}}$

ここでI _Nは単位行列であり、${\displaystyle {\sqrt {y}}}$は、各ポートにおける特性アドミタンス（特性インピーダンスの逆数）の平方根を非ゼロ要素とする対角行列である。

${\displaystyle {\sqrt {y}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y_{01}}}&\\&{\sqrt {y_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {y_{0N}}}\end{pmatrix}}}$

そして${\displaystyle {\sqrt {z}}=({\sqrt {y}})^{-1}}$は、特性インピーダンスの平方根の対応する対角行列です。これらの式では、括弧内の因子で表される行列は可換であるため、上記のように、どちらの順序でも記述できます。^{[ 5 ] [注1 ]}

ZパラメータからYパラメータへの変換は、Yパラメータ行列がZパラメータ行列の逆行列であるため、はるかに簡単です。以下の式は、適用可能な関係を示しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle |Z|=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\,}$

この場合${\displaystyle |Z|}$これはZパラメータ行列の行列式です。

逆に、Yパラメータを使用してZパラメータを決定することもできます。基本的に同じ式を使用します。

${\displaystyle Y=Z^{-1}\,}$

そして

${\displaystyle Z=Y^{-1}.}$

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