運動インダクタンス

運動インダクタンスとは、交流電場における移動電荷キャリアの慣性質量が、等価直列インダクタンスとして現れる現象である。運動インダクタンスは、キャリア移動度の高い導体（例えば超伝導体）や非常に高い周波数において観測される 。

起電力（emf）の変化は、電荷キャリアの慣性によって妨げられます。なぜなら、質量を持つすべての物体と同様に、電荷キャリアは一定速度で移動することを好むため、粒子を加速するには有限の時間が必要となるからです。これは、起電力の変化がインダクタにおける磁束の有限な変化率によって妨げられるのと同様です。結果として生じる電圧の位相遅れは、どちらのエネルギー貯蔵メカニズムでも同じであるため、通常の回路では両者を区別することはできません。

運動インダクタンス（${\displaystyle L_{K}}$）は、直流伝導率だけでなく有限の緩和時間（衝突時間）も考慮したドルーデ電気伝導モデルにおいて自然に生じる。$\displaystyle \tau }$移動電荷キャリアが波周期 1/f に比べて小さくない場合。このモデルは、ラジアン周波数 ω=2πf における複素コンダクタンスを次のように定義します。${\displaystyle {\sigma (\omega )=\sigma _{1}-i\sigma _{2}}}$虚数部である -σ ₂は、運動インダクタンスを表します。ドルーデ複素導電率は、実数部と虚数部に展開できます。

${\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m(1+i\omega \tau )}}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}\left({\frac {1}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}-i{\frac {\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}\right)}$

どこ${\displaystyle m}$は電荷キャリアの質量（すなわち金属導体における有効電子質量）であり、${\displaystyle n}$はキャリア数密度です。通常の金属では、衝突時間は通常${\displaystyle \approx 10^{-14}}$s、したがって周波数が 100 GHz 未満の場合${\displaystyle {\omega \tau }}$は非常に小さいため無視できます。するとこの式は直流コンダクタンスに帰着します。${\displaystyle \sigma _{0}=ne^{2}\tau /m}$したがって、運動インダクタンスは光周波数でのみ重要であり、超伝導体では${\displaystyle {\tau \rightarrow \infty }}$。

断面積が の超伝導線の場合${\displaystyle A}$長さのセグメントの運動インダクタンス${\displaystyle l}$その領域におけるクーパー対の全運動エネルギーを、導線の電流による等価誘導エネルギーと等しくすることで計算できる。${\displaystyle I}$: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(2m_{e}v^{2})(n_{s}lA)={\frac {1}{2}}L_{K}I^{2}}$

どこ${\displaystyle m_{e}}$電子の質量は（${\displaystyle 2m_{e}}$（はクーパー対の質量）${\displaystyle v}$は平均クーパー対速度であり、${\displaystyle n_{s}}$はクーパー対の密度であり、${\displaystyle l}$はワイヤーの長さです。${\displaystyle A}$は電線の断面積であり、${\displaystyle I}$は電流です。電流が${\displaystyle I=2evn_{s}A}$、 どこ${\displaystyle e}$は電子の電荷であり、これにより次の式が得られます。^{[ 2 ]}

${\displaystyle L_{K}=\left({\frac {m_{e}}{2n_{s}e^{2}}}\right)\left({\frac {l}{A}}\right)}$

同じ手順で、通常の（つまり超伝導ではない）ワイヤの運動インダクタンスを計算することもできますが、${\displaystyle 2m_{e}}$に置き換えられました${\displaystyle m_{e}}$、${\displaystyle 2e}$に置き換えられました${\displaystyle e}$、 そして${\displaystyle n_{s}}$通常のキャリア密度に置き換えられる${\displaystyle n}$これにより、以下の結果が得られます。

${\displaystyle L_{K}=\left({\frac {m_{e}}{ne^{2}}}\right)\left({\frac {l}{A}}\right)}$

運動インダクタンスはキャリア密度が減少するにつれて増加する。物理的には、これは、同じ電流を生成するためには、キャリア数が少ない方がキャリア数が多い場合よりも比例的に大きな速度を持つ必要があるのに対し、キャリアのエネルギーは速度の二乗に比例して増加するためである。抵抗率もキャリア密度が増加するにつれて増加する。${\displaystyle n}$減少することで、特定の周波数におけるワイヤのインピーダンスの（運動）誘導成分と抵抗成分の間の一定の比率（したがって位相角）が維持されます 。その比率は、${\displaystyle \omega \tau }$は、テラヘルツ周波数までの通常の金属では非常に小さい。

有効電子質量が2次電子エネルギー分散を持つ2次元導体では${\displaystyle m_{e}}$運動インダクタンスは次のように与えられる。

${\displaystyle L_{K}=\left({\frac {m_{e}}{ne^{2}}}\right)\left({\frac {l}{W}}\right)}$

どこ${\displaystyle n}$は単位面積あたりの電子密度であり、${\displaystyle W}$は二次元導体の幅です。運動インダクタンスは二次元導体で特に顕著です。個々の電子の質量がゼロであるグラフェンでも、電子の集団慣性により運動インダクタンスが存在し、それは^{[ 3 ]で与えられます。}

${\displaystyle L_{K}=\left({\frac {\pi \hbar ^{2}}{e^{2}\epsilon _{F}}}\right)\left({\frac {l}{W}}\right)}$

ここ${\displaystyle \epsilon _{F}}$はフェルミエネルギーです。

運動インダクタンスは、運動インダクタンス検出器（KID）として知られる高感度光検出器の動作原理である。超伝導材料の帯状領域において、単一の光子が吸収されることで生じるクーパー対密度の変化が、運動インダクタンスの測定可能な変化を引き起こす。

運動インダクタンスは、超伝導フラックス量子ビットの設計パラメータとしても使用される。${\displaystyle \beta }$は、キュービット内のジョセフソン接合の運動インダクタンスとフラックスキュービットの幾何学的インダクタンスの比です。ベータ値が低い設計は単純な誘導ループのように振る舞いますが、ベータ値が高い設計はジョセフソン接合が支配的で、よりヒステリシス的な挙動を示します。^{[ 4 ]}

運動インダクタンスの測定の初期の試みは、 1880年にハインリヒ・ヘルツによって行われた。彼は、 1 mm ^{3の銅線に 1} emuの電流が流れるときの運動エネルギーが0.008 mg·mm 未満であることを発見した。^{[ 5 ]}

• ドルーデモデル
• 電気伝導
• 電子移動度
• 超伝導

• MITによる運動インダクタンスに関するYouTube動画