第一級制約

物理学において、第一級制約とは、他のすべての制約を含むポアソン括弧が位相空間の制約面（すべての制約が同時に消えることによって暗黙的に定義される面）上で消える制約ハミルトン系の力学量である。第一級制約を計算するには、第二級制約が存在しない、またはそれらが以前に計算され、それらのディラック括弧が生成されていると仮定する。^[1]

第一級および第二級の制約は、シンプレクティック形式が退化しているゲージ理論などの力学システムを量子化する方法としてディラック （1950、p.136、1964、p.17）によって導入されました。^{[2] [3]}

第一クラス制約と第二クラス制約の用語は、これらが生成される方法を反映して、主制約と二次制約の用語と紛らわしいほど似ています。これらの区分は独立しています。第一クラス制約と第二クラス制約はどちらも主制約または二次制約のいずれかであるため、合計で 4 つの異なる制約クラスが存在します。

滑らかなハミルトニアンを持つポアソン多様体 M を考えます(場の理論では、M は無限次元になります)。

制約があると仮定する

${\displaystyle f_{i}(x)=0,}$

n個の滑らかな関数 に対して

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}}$

これらは一般にチャート単位でのみ定義されます。制約されたセット上のどこでも、n個の関数のn個の導関数はすべて線形独立であり、またポアソン括弧が

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}}$

そして

${\displaystyle \{f_{i},H\}}$

制約された部分空間上ではすべて消えます。

つまり、

${\displaystyle \{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}}$

いくつかの滑らかな関数については、これを示す定理があります。 ${\displaystyle c_{ij}^{k}}$

${\displaystyle \{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}}$

いくつかのスムーズな機能のために。 ${\displaystyle v_{i}^{j}}$

これは、 1 の分割を使用してグローバルに行うことができます。この場合、既約な第一級制約があると言えます(ここでの既約は、表現理論で使用される意味とは異なります)。

よりエレガントな方法として、上のベクトル束が- 次元ファイバーとともに与えられているとします。このベクトル束に接続を装備します。また、この束の滑らかなセクションf があるとします。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

すると、接続に関するfの共変微分は、接線束からへの滑らかな線型写像となり、基点を保存します。この線型写像が、fの零点におけるすべてのファイバーに対して 右可逆である（つまり、 が恒等写像であるような線型写像が存在する）と仮定します。すると、暗黙の関数定理によれば、 fの零点の部分空間は 部分多様体です。 ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\Delta f)g}$

通常のポアソン括弧は、 M上の滑らかな関数の空間上でのみ定義されます。ただし、接続を使用して、Vテンソルの次数代数をファイバーとして含む代数バンドル を扱う場合、 fの滑らかなセクションの空間に拡張できます。 ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

また、このポアソン括弧の下では（この「拡張ポアソン括弧」では一般には は当てはまらないことに注意してください）、 fのゼロの部分多様体上では （これらの括弧もどこでもゼロになる場合、制約はシェルを閉じると言います）、正しい可逆条件とフローの可換条件は接続の選択に依存しないことがわかります。したがって、制限された部分空間のみで作業している場合は、接続を削除できます。 ${\displaystyle \{f,f\}=0}$${\displaystyle \{g,g\}=0}$${\displaystyle \{f,H\}=0}$

これらはすべて直感的に何を意味するのでしょうか? これは、ハミルトニアンと制約フローがすべて制約付きサブスペース上で互いに交換可能であることを意味します。または、制約付きサブスペース上の点から開始する場合、ハミルトニアンと制約フローはすべてその点を制約付きサブスペース上の別の点に導くことを意味します。

制約付き部分空間のみに制限したいので、ハミルトニアン、またはその他の物理的観測量は、その部分空間でのみ定義される必要があることを示唆しています。同様に、制約付き部分空間（つまり、 fによって生成された イデアルによる商代数）で一致する、シンプレクティック多様体上の滑らかな関数の同値類を見ることができます 。

問題は、制約された部分空間上のハミルトニアン フローはその値ではなく、そこにあるハミルトニアンの勾配に依存することです。しかし、これを回避する簡単な方法があります。

fによって生成されるシンプレクティック フローの作用下での制約付きサブスペースの軌道を見てみましょう。これは積分条件(フロベニウスの定理)を満たすため、サブスペースの 局所的な葉脈構造を与えます。制約付きサブスペース上の同じ軌道上の 2 つの異なる点から始めて、制約付きサブスペースで一致する 2 つの異なるハミルトニアンの下でそれぞれ両方を発展させると、それぞれのハミルトニアン フローの下での 2 つの点の時間発展は、常に同じ時間に同じ軌道上にあることがわかります。また、少なくとも制約付き部分空間（つまり、物理的観測量）上の軌道上で一定である2 つの滑らかな関数A ₁とB _{1 （つまり、制約付き部分空間上で {A 1} ,f}={B ₁ ,f}=0）があり、別の 2 つの滑らかな関数 A ₂と B ₂（これも軌道上で一定で、制約付き部分空間上で A ₁と B _{1 がそれ​​ぞれ A 2}と B ₂と一致する）がある場合、それらのポアソン括弧 {A ₁ , B ₁ } と {A ₂ , B ₂ } も軌道上で一定であり、制約付き部分空間上で一致することもわかります。

一般に、「エルゴード」フロー（基本的には、軌道が何らかの開集合内で密であることを意味します）や「サブエルゴード」フロー（軌道の次元よりも大きい次元の何らかの部分多様体内で軌道が密であることを意味します）を除外することはできません。自己交差軌道はあり得ません。

第一級制約の「実際的な」適用のほとんどでは、このような複雑さは見られません。fフローによる制限された部分空間の商空間(つまり、軌道空間) は、微分可能多様体として機能するのに十分適切に動作します。これは、M のシンプレクティック形式を投影することでシンプレクティック多様体に変換できます(これは適切に定義できる と示せます)。前述の物理的観測量に関する観察を考慮すると、このより「物理的」でより小さいシンプレクティック多様体で作業できますが、次元は 2n 少なくなります。

一般に、商空間は具体的な計算を行うときに扱いにくいため (微分同相制約を扱うときに非局所的であることは言うまでもありません)、代わりに通常行われるのは同様のことです。制限部分多様体は商多様体上のバンドル(一般にファイバーバンドルではありません) であることに注意してください。したがって、商多様体を扱う代わりに、バンドルのセクションを扱うことができます。これはゲージ固定と呼ばれます。

主な問題は、この束が一般にグローバルセクションを持たない可能性があることです。たとえば、ここでグローバル異常の「問題」が発生します。グローバル異常は、ゲージ固定がゲージを一意に固定できない場合のグリボフの曖昧性とは異なります。グローバル異常では、ゲージ場の一貫した定義はありません。グローバル異常は、1980 年にウィッテンによって発見された量子ゲージ理論を定義する際の障壁です。

これまで述べてきたのは、既約な第一級の制約です。もう 1 つの複雑な点は、Δf が、余次元が 1 以上の制限部分多様体のサブスペース上で正しく逆変換できない可能性があることです (これは、この記事の前半で述べたより強い仮定に違反します)。これは、たとえば、一般相対性理論のコテトラッド定式化において、コテトラッド フィールドと接続形式が空間のいくつかの開いたサブセット上でたまたまゼロになる構成のサブスペースで発生します。ここで、制約は微分同相写像制約です。

これを回避する 1 つの方法は次のとおりです。 簡約可能な制約の場合、 Δ fの右可逆性に関する条件を次のように緩和します。 fのゼロで消える任意の滑らかな関数は、制約ベクトル空間Vへの双対ベクトル空間である-ベクトル束の (一意でない) 滑らかなセクションによる f のファイバー単位の縮約です。これは正則性条件と呼ばれます。 ${\displaystyle {\bar {V}}}$${\displaystyle {\bar {V}}}$

まず、作用は場の一次導関数までしか依存しない局所ラグランジアン積分であると仮定します。より一般的なケースの分析は可能ですが、より複雑です。ハミルトン形式に移行すると、制約があることがわかります。作用形式には、オンシェル構成とオフシェル構成があることを思い出してください。オフシェルを保持する制約はプライマリ制約と呼ばれ、シェルのみを保持する制約はセカンダリ制約と呼ばれます。

計量gを持つ擬リーマン時空多様体 S内を運動する、内部自由度を持たない質量mの単一点粒子のダイナミクスを考えます。また、粒子の軌道を記述するパラメータ τ は任意であると仮定します（つまり、再パラメータ化不変性を主張します）。すると、そのシンプレクティック空間は、標準シンプレクティック形式 ωを持つ余接バンドルT*Sになります。

T * S を基本多様体S内の位置xと余接空間p内の位置で座標化すると、制約条件が成立する。

f = m ² − g ( x ) ⁻¹ ( p , p ) = 0 です。

驚くべきことに、 ハミルトニアンHはH = 0 です。ハミルトニアンは制約付きサブスペースに一致する滑らかな関数の同値類までしか定義されないという観察に照らして、代わりに新しいハミルトニアン H '= fを使用できます。すると、ハミルトニアンが制約と同じになる興味深いケースが生まれます。詳細については、 ハミルトニアン制約を参照してください。

ここで、実スカラー場 σに極小結合した実単純リー代数L（負定値キリング形式η ）に対するヤン・ミルズ理論の場合を考えよう。 これは、ミンコフスキー時空( d − 1) + 1におけるLの下の 基底ベクトル空間 Vとの直交表現 ρとして変換される。L内の lに対して、次のように書く。

ρ(l)[σ]

として

l[σ]

簡単にするために、A を理論のL値接続形式と します。ここでのAは物理学者が使用するAとはiと gの係数だけ 異なることに注意してください。これは数学者の慣例と一致しています。

作用 Sは次のように与えられる 。

${\displaystyle S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma ,D\sigma ))}$

ここでgはミンコフスキー計量、Fは曲率形式である。

${\displaystyle d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

（ iや gはなし！）ここで2番目の項はリー括弧が交換子であると仮定するための形式的な省略形であり、 Dは共変微分である。

Dσ = dσ − A [σ]

αは ρの直交形式です 。

このモデルのハミルトン版とは何でしょうか? まず、A を非共変的に時間成分 φと空間部分 A →に分割する必要があります。すると、結果として得られるシンプレクティック空間には、共役変数 σ、π _σ ( の基底ベクトル空間、 ρの双対表現 で値を取る)、 A →、 π → _A、 φ、π _{φ が}含まれます。各空間点に対して、 π _φ =0 という制約とガウス制約が あります。${\displaystyle {\bar {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0}$

ここで ρは絡み合うものなので

${\displaystyle \rho :L\otimes V\rightarrow V}$、

ρ ' は双対化された絡み合い子である

${\displaystyle \rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L}$

（Lはηを介して自己双対である）。ハミルトニアンは、

${\displaystyle H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).}$

最後の 2 つの項はガウス制約の線形結合であり、 fによってパラメータ化された (ゲージ等価の) ハミルトニアンの族全体が得られます。実際、最後の 3 つの項は制約された状態では消えるため、省略できます。

制約付きハミルトン系では、少なくとも 1 つの制約を持つポアソン括弧がゼロでない場合、動的量は第 2 クラスです。したがって、少なくとも 1 つの他の制約を持つ非ゼロのポアソン括弧を持つ制約は、第 2 クラスの制約です。

さまざまな図については、 ディラック括弧を参照してください。

一般的な理論に進む前に、一般的な分析の根拠となる具体的な例を段階的に検討します。

まず、均一な重力場g内の半径Rの球面に拘束された質量mのニュートン粒子の作用を記述する動作から始めます。ラグランジュ力学で作業する場合、制約を実装する方法はいくつかあります。制約を明示的に解決する一般化座標に切り替えるか、制約された冗長な座標を保持したままラグランジュ乗数を使用できます。

この場合、粒子は球形に拘束されているため、自然な解決法としては、直交座標ではなく角度座標を使用して粒子の位置を記述し、その方法で（自動的に制約を解消して）解決する（最初の選択肢）ことになります。教育上の理由から、代わりに、制約を強制するラグランジュ乗数項を使用して、（冗長な）直交座標で問題を検討します。

アクションは次のように与えられます

${\displaystyle S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]}$

ここで最後の項は制約を強制する ラグランジュ乗数項です。

もちろん、前述のように、異なる冗長性のない球面座標を使用して次のように記述する こともできます。

${\displaystyle S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]}$

代わりに、追加の制約はありません。ただし、制約を説明するために前者の調整を検討しています。

共役運動量は次のように与えられる。

${\displaystyle p_{x}=m{\dot {x}}}$、、、。​​${\displaystyle p_{y}=m{\dot {y}}}$${\displaystyle p_{z}=m{\dot {z}}}$${\displaystyle p_{\lambda }=0}$

判断できないことに注意してください •λ 勢いから。

ハミルトニアンは次のように与えられる 。

${\displaystyle H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})}$。

排除することはできない •λ まだこの段階ではありません。私たちはここで治療しています •λは、独立変数としてで はなく、まだ決定されていないシンプレクティック空間 の関数の省略形として定義されます。表記の一貫性を保つために、 u ₁ = と定義します。 •λ これからは、p _λ項を持つ上記のハミルトニアンは「素朴ハミルトニアン」です。オンシェルでは制約が満たされる必要があるため、オンシェルでは素朴ハミルトニアンと未定係数を持つ上記のハミルトニアンを区別できないことに注意してください。 •λ = u ₁。

私たちには主要な制約がある

pλ =0_です。

一貫性の理由から、ハミルトニアンのすべての制約のポアソン括弧が制約付き部分空間で消えることを要求します。言い換えると、制約が運動方程式に沿って完全にゼロになる場合、制約は時間とともに変化してはなりません。

この一貫性条件から、二次制約が直ちに得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}}$

この制約は、未定の（必ずしも定数ではない）係数u ₂とともにハミルトニアンに追加され、ハミルトニアンは次のように拡大される。

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.}$

同様に、この二次制約から三次制約が導かれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}}$

再び、この制約をハミルトニアンに加えるべきである。なぜなら、シェル上では​​、誰も違いを区別できないからである。従って、これまでのところ、ハミルトニアンは次のようになる。

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,}$

ここで、 u ₁、u ₂、および u ₃はまだ完全に未定です。

多くの場合、一貫性条件から見つかるすべての制約は二次制約と呼ばれ、二次、三次、四次などの制約は区別されないことに注意してください。

我々はクランクを回し続けて、この新しい制約がポアソン括弧を消滅させることを要求します

${\displaystyle 0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.}$

絶望して、これには終わりがないと思うかもしれませんが、新しいラグランジュ乗数の 1 つが登場したため、これは新しい制約ではなく、ラグランジュ乗数を固定する条件です。

${\displaystyle u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).}$

これをハミルトニアンに当てはめると（少し代数計算すると）

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}$

ハミルトニアンに新しい項ができたので、戻って第1および第2の制約条件の整合性条件を確認する必要があります。第2の制約条件の整合性条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.}$

繰り返しますが、これは新しい制約では ありません。

${\displaystyle u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.}$

この時点では、チェックする制約や一貫性条件はもうありません。

すべてをまとめると、

${\displaystyle H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }}$。

運動方程式を求めるときは、上記のハミルトニアンを使用し、ポアソン括弧で導関数を取る前に制約条件を使用しないように注意すれば、正しい運動方程式が得られます。つまり、運動方程式は次のように与えられます。

${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.}$

ハミルトニアンを分析する前に、3つの制約を考慮する。

${\displaystyle \varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.}$

制約条件の非自明なポアソン括弧構造に注意してください。特に、

${\displaystyle \{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.}$

上記のポアソン括弧は、予想通りオフシェルでは消えないだけでなく、オンシェルでもゼロではありません。したがって、φ ₂とφ ₃は第2クラスの制約であり、φ _{1 は}第1クラスの制約です。これらの制約は正則性条件を満たしていることに注意してください。

ここでは、制約付き部分空間上でポアソン括弧が「優れた特性」を持たないシンプレクティック空間があります。しかし、ディラックは、ディラック括弧と呼ばれる彼の名を冠した修正括弧を使用して、シンプレクティック空間の基礎となる微分多様体をポアソン多様体に変換できることに気付きました。これにより、第 2 クラスの制約のいずれかを持つ任意の (滑らかな) 関数のこのディラック括弧は常に が消えます。

事実上、これらの括弧（ディラック括弧の記事でこの球面について説明されている）は、システムを制約面上に投影し直します。このシステムを標準的に量子化したい場合は、標準ポアソン括弧ではなく、標準ディラック括弧^{[4] を} 交換関係に昇格させる必要があります。

上記のハミルトニアンを調べると、興味深いことがいくつか起こっていることがわかります。注目すべき点の 1 つは、オンシェルで制約が満たされている場合、拡張ハミルトニアンは要求どおりにナイーブ ハミルトニアンと同一であることです。また、 拡張ハミルトニアンからλ が 削除されていることにも注意してください。φ _{1 は}第一級のプライマリ制約であるため、ゲージ変換の生成元として解釈する必要があります。ゲージの自由とは、粒子のダイナミクスに何の影響も及ぼさなくなった λ を選択する自由です。したがって、 ハミルトニアンからλ が削除されたこと、 u _{1 が}未決定であること、φ ₁ = p _λが第一級であることは、すべて密接に関連しています。

ラグランジュ乗数を持つラグランジアンから始めるのではなく、r ² − R ² を主要な制約として取り、形式論を進める方が自然であることに注意してください。その結果、余分なλ動的量が除去されます。ただし、この例は現在の形式の方がよりわかりやすいです。

もう1つの例として、 Procaアクションを使用します。フィールドは、アクションは ${\displaystyle A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )}$

${\displaystyle S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$

どこ

${\displaystyle {\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}}$

そして

${\displaystyle B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}}$。

${\displaystyle ({\vec {A}},-{\vec {E}})}$およびは標準変数である。第2クラスの制約は ${\displaystyle (\phi ,\pi )}$

${\displaystyle \pi \approx 0}$

そして

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0}$。

ハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]}$。

• ディラックブラケット
• ホロノミック制約
• フローの分析

• Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). 「制約付き非線形システムのディラックブラケット量子化: 剛体回転子」. European Journal of Physics . 4 (1): 5–9. Bibcode :1983EJPh....4....5F. doi :10.1088/0143-0807/4/1/003. S2CID  250845310.
• 本間 孝文; 稲本 孝文; 宮崎 孝文 (1990). 「曲がった空間の超曲面上に拘束された非相対論的粒子のシュレーディンガー方程式」. Physical Review D. 42 ( 6): 2049–2056. Bibcode :1990PhRvD..42.2049H. doi :10.1103/PhysRevD.42.2049. PMID  10013054.