グリボフの曖昧さ

ゲージ理論、特に非アーベルゲージ理論では、ゲージ固定におけるグローバルな問題にしばしば遭遇する。ゲージ固定とは、各ゲージ軌道から代表を選ぶこと、つまりファイバーバンドルのセクションを選ぶことである。代表の空間は（バンドル全体の）サブ多様体であり、ゲージ固定条件を表す。理想的には、すべてのゲージ軌道はこのサブ多様体と 1 回だけ交差する。残念ながら、位相的な障害のため、非アーベルゲージ理論ではグローバルにこれが不可能な場合が多く、できる最善のことは、この条件をローカルに満たすことである。ゲージ固定サブ多様体は、ゲージ軌道とまったく交差しないこともあれば、複数回交差することもある。困難が生じるのは、ゲージ固定条件が通常、たとえば発散がゼロになる（ランダウゲージやローレンツゲージの場合など）などの何らかの微分方程式として指定されるためである。この方程式の解は、複数のセクションを指定することになる場合もあれば、まったくセクションを指定しないこともある。これはグリボフの曖昧性（ウラジミール・グリボフにちなんで名付けられました） と呼ばれます。

グリボフの曖昧さは、とりわけ BRST対称性の非摂動的な破綻につながります。

グリボフの曖昧さの問題を解決する方法は、関連する関数積分を、境界がグリボフ地平線と呼ばれる単一のグリボフ領域に制限することです。それでも、領域を最初のグリボフ領域に縮小しても、この問題は解決されないことがわかります。この曖昧さが解決される唯一の領域は、基本モジュラー領域( FMR )です。

ゲージ理論で計算を行う際には、通常、ゲージを選択する必要があります。ゲージの自由度は、直接的な物理的意味を持ちませんが、問題の理論を扱うために使用する数学的記述の産物です。物理的な結果を得るためには、これらの冗長な自由度を適切な方法で破棄する必要があります。

アーベルゲージ理論（すなわちQED）では、ゲージを選択するだけで十分です。人気のあるゲージはローレンツゲージで、ローレンツ不変であるという利点があります。非アーベルゲージ理論（ QCDなど）では、非アーベルゲージ群の構造がより複雑なため、状況はより複雑になります。 ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

ルドヴィク・ファデーエフとヴィクトル・ポポフによって開発されたファデーエフ・ポポフ形式は、非アーベル理論におけるゲージ選択を扱う方法を提供する。この形式は、ゲージ場を所望のゲージにするために必要な変換のヤコビ行列式であるファデーエフ・ポポフ演算子を導入する。いわゆるランダウゲージ^[注1] では、この演算子は次の形式をとる。 ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\;,}$

ここで、 は随伴表現における共変微分です。この Faddeev–Popov 演算子の行列式は、ゴースト フィールドを使用して経路積分に導入されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}}$

しかし、この形式論では、ゲージの選択（ など）は一意であると仮定しています。つまり、各物理的構成に対して、それに対応し、ゲージ条件に従うものが正確に1つ存在します。しかし、ヤン・ミルズ型の非アーベルゲージ理論では、多くのゲージクラスではこれは当てはまりません。^{[1] [2] [3]}これは、グリボフによって最初に指摘されました。^[4]${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$${\displaystyle A_{\mu}^{a}}$

グリボフは、ある物理的構成が与えられたとき、この構成の異なるゲージコピーがいくつランダウゲージ条件に従うかという問題を考察した。代表例のない構成は知られていない。^[5]しかし、複数の構成が存在する可能性は十分にある。 ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$

2 つのゲージ場と を考え、これらが両方ともランダウ ゲージ条件に従うと仮定します。 がのゲージ コピーである場合、次の式が得られます (これらが互いに無限に近いと仮定)。 ${\displaystyle A_{\mu}^{a}}$${\displaystyle {A_{\mu}^{a}}'}$${\displaystyle {A_{\mu}^{a}}'}$${\displaystyle A_{\mu}^{a}}$

${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'=A_{\mu }^{a}+{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}}$

ある関数に対して。^[注2]両方の場がランダウゲージ条件に従う場合、 ${\displaystyle \omega^{b}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}=0\;,}$

そして、ファデーエフ・ポポフ演算子は少なくとも1つのゼロモードを持つ。^[5]ゲージ場が無限小の場合、この演算子はゼロモードを持たない。ファデーエフ・ポポフ演算子が最初のゼロモードを持つゲージ場の集合（原点から開始した場合）は「グリボフ地平線」と呼ばれる。ファデーエフ・ポポフ演算子がゼロモードを持たない（つまり、この演算子は正定値である）すべてのゲージ場の集合は「第1グリボフ領域」と呼ばれる。^[6]${\displaystyle \オメガ}$

ゲージ場がゲージのコピーを持つ場合、これらの場は経路積分で過剰にカウントされます。この過剰カウントに対抗するために、グリボフは経路積分を最初のグリボフ領域に制限すべきだと主張しました。そのために、彼はゴーストプロパゲーターを考慮しました。これは、ファデエフ-ポポフ演算子の逆の真空期待値です。この演算子が常に正定値である場合、ゴーストプロパゲーターは極を持つことができません。これは「無極条件」と呼ばれます。通常の摂動論（通常のファデエフ-ポポフ形式を使用）では、プロパゲーターは極を持ちます。つまり、最初のグリボフ領域を離れ、いくつかの構成を過剰にカウントしたことになります。^[7]

グリボフはゴーストプロパゲーターの摂動表現を導出し、この無極条件が次の形式の条件につながることを発見した^{[7] [8]}

${\displaystyle \langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d }q}{(2\pi )^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a}(q)\right\rangle <1\;,}$

ここで、Nは色の数 (QCD では 3)、g はゲージ結合の強さ、V は時空の体積 (ほとんどのアプリケーションでは無限大)、d は時空の次元数 (現実世界では 4) です。関数は、山括弧内の式の省略形です。この条件を課すために、グリボフは、上記を含むヘヴィサイドのステップ関数を経路積分に導入することを提案しました。ヘヴィサイド関数のフーリエ表現は次のとおりです。 ${\displaystyle \sigma [A]}$

${\displaystyle H(1-\sigma [A])=\int _{-i\infty +\epsilon }^{+i\infty +\epsilon }{\frac {d\beta }{2\pi i\beta }}e^{\beta (1-\sigma [A])}\;.}$

この式では、パラメータは「グリボフパラメータ」と呼ばれます。このグリボフパラメータの積分は、最急降下法を使用して実行されます。この方法により、ギャップ方程式と呼ばれるグリボフパラメータの方程式が得られます。この方程式の解を経路積分に代入すると、修正されたゲージ理論が得られます。 ${\displaystyle \beta}$

グリボフパラメータに起因する修正により、グルーオンプロパゲーターは次のように修正されることが判明した^{[7] [9]}

${\displaystyle D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\delta ^{ab}\left(\delta _{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {2Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}{\frac {\beta _{0}}{k^{2}}}}}\;,}$

ここで、ギャップ方程式を解くの値である。ゴーストプロパゲータも修正され、1ループオーダーでは の挙動を示す。^[10]${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \propto 1/k^{4}}$

数年後、ダニエル・ツヴァンツィガーもグリボフ問題を考察した。彼は異なるアプローチを採用した。ゴーストプロパゲーターを考慮する代わりに、グルーオン場における摂動級数としてファデエフ・ポポフ演算子の最小の固有値を計算した。これにより、彼が「地平線関数」と呼んだ特定の関数が得られ、この地平線関数の真空期待値は、最初のグリボフ領域内に留まるために、最大で 1 に制限されなければならない。^[11]この条件は、地平線関数を経路積分に導入し (グリボフが行ったのと類似した方法で)、結果として得られる理論の真空エネルギーに特定のギャップ方程式を課すことで表現できる。^[12]これにより、修正された作用を持つ新しい経路積分が得られたが、これは非局所的である。主要順序では、結果はグリボフが以前に見つけたものと同じである。

ツヴァンツィガーは、発見した作用をより簡単に扱うために、局所化場を導入した。作用が局所化されると、結果として得られる理論が再正規化可能であることを証明することが可能になった^[13]。つまり、ループ図によって生成されるすべての無限大は、理論にすでに存在する内容（結合定数、場の正規化、グリボフパラメータ）を乗法的に変更することで吸収でき、追加の追加は必要ない。

ツヴァンツィガーはさらに、結果として得られるグルーオン伝播関数はケレン・レーマンスペクトル表現を許容しないことを指摘し、これはグルーオンがもはや物理的な粒子ではあり得ないことを示しています。^{[13]これはしばしば}色の閉じ込めを示すものとして解釈されます。

第一グリボフ領域はグリボフの曖昧さを解決する上で極めて重要な役割を果たすため、グリボフの最初の論文以来、さらに注目を集めている。ランダウゲージは、関数を極限まで引き出すゲージとして定義できる。

${\displaystyle ||A||^{2}=\int d^{d}xA_{\mu }^{a}(x)A_{\mu }^{a}(x)\;.}$

この関数の単純な極値（最大値または最小値）は通常のランダウゲージです。最小値を要求すると（ファデーエフ・ポポフ演算子が正であることを要求するのと同等）、最初のグリボフ領域に到達します。^[6]

しかし、この条件には依然として相対的最小値が含まれています。最初のグリボフ領域内には、位相的に自明なゲージ変換によって互いに関連しているグリボフコピーがまだ存在することが示されています。^[14]上記で定義された関数を絶対的に最小化するゲージ関数の空間は、「基本モジュラー領域」と呼ばれます。ただし、経路積分をこの領域に制限する方法は不明です。 ${\displaystyle ||A||^{2}}$

第一グリボフ領域はすべての方向に制限されていることが示されており^[15]、経路積分をこの領域に制限する際には、任意に大きな場の構成は考慮されません。^[16]さらに、第一グリボフ領域は凸状であり、すべての物理的構成にはその中に少なくとも1つの代表が存在します。^[17]

2013年に、グリボフとツヴァンツィガーの2つの形式論が摂動論のすべての順序と同等であることが証明されました。^[18]

グリボフ・ツヴァンツィガー形式論の課題の1つは、BRST対称性が破れていることである。^{[19]この破れは、}動的対称性の破れとして解釈できる。^[20]この破れは「ソフト」 (つまり、正の質量次元を持つパラメータ、この場合はグリボフパラメータに比例) であるため、繰り込み可能性は依然として証明できる。しかし、ユニタリ性は依然として問題である。しかし、最近では、BRSTが保存されたグリボフ・ツヴァンツィガー作用の主張が文献でなされている。

長い間、格子シミュレーションは、グリボフとツヴァンツィガーによって提案された修正グルーオンおよびゴーストプロパゲーターが正しいことを示しているように思われた。しかし、2007年にコンピュータはプロパゲーターが最も修正される低運動量領域を調査できるほど強力になり、グリボフ-ツヴァンツィガーの描像は正しくないことが判明した。代わりに、グルーオンプロパゲーターは運動量がゼロになると一定値になり、ゴーストプロパゲーターは低運動量でも1/ k ²のように進む。^[21]これは、3次元および4次元時空の両方に当てはまります。^[22]この矛盾に対する解決策が提案され、グリボフ-ツヴァンツィガー作用に凝縮体を追加した。^[23]

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