同変マップ

数学において、同変とは、対称性を持つ 1 つの空間から別の空間 (対称空間など)への関数の対称性の一種です。関数の定義域と余域に同じ対称群が作用し、関数が群の作用と可換である場合、その関数は同変写像であると言われます。つまり、対称変換を適用してから関数を計算すると、関数を計算してから変換を適用するのと同じ結果が生成されます。

同変写像は、引数の対称変換によって値が変わらない関数である 不変量の概念を一般化します。同変写像の値は、しばしば（不正確に）不変量と呼ばれます。

統計的推論では、データの統計的変換における同値性は、さまざまな推定方法の重要な特性です。詳細については、不変推定量を参照してください。純粋数学では、同値性は、同値位相幾何学とそのサブトピックである同値コホモロジーおよび同値安定ホモトピー理論における中心的な研究対象です。

三角形の幾何学では、三角形の面積と周囲はユークリッド変換に対して不変です。つまり、三角形を平行移動、回転、鏡映しても、面積や周囲は変化しません。しかし、重心、外心、内心、垂心などの三角形の中心は不変ではありません。三角形を動かすと、その中心も動くからです。その代わり、これらの中心は同変です。つまり、三角形にユークリッド合同（平行移動と回転の組み合わせ）を適用してからその中心を構成すると、最初に中心を構成してから同じ合同をその中心に適用した場合と同じ点が生成されます。より一般的には、すべての三角形の中心は相似変換（平行移動、回転、鏡映、拡大縮小の組み合わせ）に対しても同変であり、^[1] 重心はアフィン変換に対しても同変です。^[2]

同じ関数が、ある対称性グループでは不変で、別の対称性グループでは同変である場合があります。たとえば、合同変換ではなく相似変換では、面積と周囲は不変ではなくなります。三角形を拡大縮小すると、面積と周囲も変わります。ただし、これらの変化は予測可能な方法で発生します。三角形がs倍に拡大縮小されると、周囲もs倍になり、面積はs ²倍になります。このように、各三角形を面積または周囲にマッピングする関数は、正の実数に対する拡大縮小変換の乗法群作用に対して同変であると見なすことができます。

もう一つの簡単な例は、統計的推定から来ています。サンプル（実数の集合）の平均は、サンプルの中心傾向としてよく使用されます。平均は実数の線形変換に対して等変であるため、たとえば数値を表すのに使用する単位の選択によって影響を受けません。対照的に、平均は指数などの非線形変換に対しては等変ではありません。

サンプルの中央値は、はるかに大きな変換群、つまり実数の（厳密に）単調関数に対しては等変です。この分析は、中央値がデータセットに対する特定の種類の変更に対してより堅牢であり、（平均とは異なり）順序データに対して意味があることを示しています。^[3]

このスタイルの分析を形式化するために、 不変推定量と等変推定量の概念が使用されてきました。

有限群の表現論では、空間の線型変換によって作用する群を備えたベクトル空間は、群の線型表現と呼ばれる。作用と可換な線型写像は、インタートワイナーと呼ばれる。つまり、インタートワイナーは、2つの表現間の同変線型写像にすぎない。あるいは、体K上の群Gの表現のインタートワイナーは、K [ G ]をGの群環としたとき、K [ G ] -加群の加群準同型と同じものである。^[4]

ある条件下では、XとY が両方とも既約表現である場合、2 つの表現が同等である (つまり、加群として同型である) 場合にのみ、絡み合わせ (ゼロ写像以外) が存在する。その絡み合わせは、乗法因子 ( Kからの非ゼロのスカラー)を除いて一意である。これらの特性は、 K [ G ]の像がK を中心とする単純代数である場合に成立する(いわゆるシューアの補題による:単純加群を参照)。結果として、重要な場合には、絡み合わせの構成だけで、表現が実質的に同じであることを示すのに十分である。^[5]

同変性は、群GのG集合の概念を使って形式化できます。これは、数学的な集合Sと、Sに対するGの群作用（左側）からなる数学的な対象です。XとYが両方とも同じ群GのG集合である場合、関数f  : X → Yは次の場合に同変であると言えます。

f ( g · x ) = g · f ( x )

全てのg∈Gと全てのxがXに属する場合。^[6]

アクションの 1 つまたは両方が正しいアクションである場合、同値条件は適切に修正される可能性があります。

f ( x · g ) = f ( x )· g ; (右-右)

f ( x · g ) = g ⁻¹ · f ( x ) ; (右-左)

f ( g · x ) = f ( x )· g ⁻¹ ; (左から右)

同変写像は、G集合のカテゴリにおける準同型写像である（固定されたGに対して）。^{[7]そのため、} G射、^[7]、Gマップ、^[8]、またはG準同型写像^[9]とも呼ばれます。G集合の同型写像は、単に全単射な同変写像です。^[7]

同値条件は、次の可換図として理解することもできます。 は、要素を取ってを返すマップを表すことに注意してください。 ${\displaystyle g\cdot}$${\displaystyle z}$${\displaystyle g\cdot z}$

同変写像は、任意のカテゴリに簡単に一般化できます。すべてのグループGは、単一のオブジェクトを持つカテゴリとして見ることができます (このカテゴリの射は、 Gの要素にすぎません)。任意のカテゴリCが与えられた場合、カテゴリCでのGの表現は、 GからCへの関数です。このような関数は、 Cのオブジェクトとそのオブジェクトの自己同型の部分群を選択します。たとえば、G集合は、Gから集合のカテゴリ Set への関数と同等であり、線型表現は、体上のベクトル空間のカテゴリVect _Kへの関数と同等です。

CにおけるGの 2 つの表現 ρ と σ が与えられた場合、それらの表現間の同変写像は単にρ から σ への自然変換です。自然変換を射として使用して、 CにおけるGのすべての表現のカテゴリを形成できます。これは単に関数カテゴリC ^Gです。

別の例として、位相空間のカテゴリC = Topを取ります。 TopにおけるGの表現は、 G が連続的に作用する位相空間です。同変写像は、 Gの作用と可換な表現間の連続写像f  : X → Yです。

• カーティス・ヘドランド・リンドン定理、同変写像によるセルオートマトンの特徴づけ