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理論物理学において、スカラー・テンソル理論とは、特定の相互作用を表すためにスカラー場とテンソル場の両方を含む場の理論である。例えば、ブランズ・ディッケの重力理論は、重力相互作用を媒介するためにスカラー場とテンソル場の両方を使用している。
現代物理学は、可能な限り少ない原理からすべての物理理論を導き出そうと試みています。このようにして、ニュートン力学も量子力学も、ウィリアム・R・ハミルトンの最小作用の原理から導き出されます。このアプローチでは、系の挙動は力ではなく、系のエネルギーを表す関数によって記述されます。最も重要なのは、ハミルトニアン関数とラグランジアン関数と呼ばれるエネルギー量です。これらの関数の空間微分は、ハミルトニアン密度とラグランジアン密度と呼ばれます。これらの量に着目すると、場の理論へと至ります。
現代物理学では、現実を説明するために場の理論が用いられます。これらの場は、スカラー場、ベクトル場、テンソル場に分類されます。スカラー場の例としては、温度場が挙げられます。ベクトル場の例としては、風速場が挙げられます。テンソル場の例としては、連続体力学で用いられる、応力を受けた物体の応力テンソル場が挙げられます。
物理学では、力（ベクトル量）は、ポテンシャルと呼ばれるスカラー量の導関数（勾配）として与えられます。アルバート・アインシュタイン以前の古典物理学では、重力は、粒子の質量に依存するスカラーポテンシャル場によって与えられる重力（ベクトル量）の結果として、同じように与えられていました。したがって、ニュートン重力はスカラー理論と呼ばれます。重力は、質量のある物体同士の距離r（より正確には、それらの重心）に依存します。質量はパラメータであり、空間と時間は不変です。
アインシュタインの一般相対性理論（GR）は、性質が異なります。GRは、空間と時間を時空と呼ばれる4次元多様体で統一します。GRでは重力は存在せず、代わりに、私たちが力として考えていた作用は、時空の局所的な曲率の結果です。この曲率は、いわゆる計量によって数学的に定義され、計量は、その領域内の質量を含む全エネルギーの関数です。計量の導関数は、ほとんどの場合、古典的なニュートン力に近似する関数です。計量は2次のテンソル量です（4x4行列、つまり2つの添え字を持つオブジェクトとして表すことができます）。
この文脈で重力を説明するもう一つの可能性は、テンソル場（次数n>1）とスカラー場の両方を用いることである。つまり、重力はスカラー場のみによっても、計量のみによっても説明されない。これらはスカラー・テンソル重力理論と呼ばれる。
一般相対性理論の場の理論的な出発点は、ラグランジュ密度によって与えられます。これは、スカラー曲率Rに依存するスカラーかつゲージ不変量（ゲージ理論を参照）です。このラグランジアンは、ハミルトンの原理に従って、デイヴィッド・ヒルベルトとアインシュタインの場の方程式へと導きます。ラグランジアンにおいて、曲率（またはそれに関連する量）にスカラー場の二乗を掛けると、重力のスカラー・テンソル理論の場の理論が得られます。これらの理論では、アイザック・ニュートンの重力定数G はもはや実定数ではなく、スカラー場に依存する量となります。
このような重力スカラーテンソル理論の作用は、次のように記述できる。
どこは計量行列式であり、リッチスカラーは計量から構成される、は次元を持つ結合定数である。、はスカラー場ポテンシャルであり、物質ラグランジアンであり、は非重力場を表す。ここで、ブランズ・ディッケパラメータは関数に一般化されている。はしばしば次のように書かれる基本定数はそこには、例えばキャベンディッシュ型の実験で測定できるような重力定数は存在しない。実際、経験的な重力定数は、スカラーテンソル理論においては一般的に定数ではなく、スカラー場の関数となる。計量方程式とスカラー場方程式はそれぞれ次のように表される。
そして
また、この理論は以下の保存方程式を満たしており、これは試験粒子が一般相対性理論におけるような時空測地線に従うことを示唆している。
どこ応力エネルギーテンソルは次のように定義されます。
ミンコフスキー背景の周りで前述の作用によって定義された理論を摂動的に展開し、非相対論的な重力源を仮定すると、一次近似で理論のニュートン近似が得られる。この近似では、ポテンシャルのない理論の場合、計量は次のように表される。
と近似の最低次において、以下の通常のポアソン方程式を満たす。
どこは重力源の密度であり、（添え字）（これは、対応する値が現在の宇宙論的時間と場所で取得されたものであることを示しています。）したがって、経験的重力定数は、スカラー場背景の現在の値の関数です。したがって理論的には時間と場所に依存する。[ 1 ]しかし、ニュートン重力定数の一定性からの逸脱は測定されておらず、[ 2 ]スカラー場背景は時間の経過とともにかなり安定している。このような安定性は理論的には一般的に期待されるものではないが、いくつかのメカニズムによって理論的に説明することができる。[ 3 ]
次のレベルで理論を展開すると、いわゆる第1次ポストニュートン次数に至ります。ポテンシャルがなく、弱い等方性条件[ 4 ]（すなわち、）、この指標は次の形式をとります。
どこ座標ゲージに依存する関数です
これは、弱い等方性条件によって固定されていない残りの微分同相写像の自由度に対応する。ソースは次のように定義される。
いわゆるポストニュートンパラメータは
そして最後に、経験的な重力定数は
どこは、結合定数に現れる（真の）定数です。既に定義済み。
現在の観測結果によると、[ 2 ]これはつまりオリジナルのブランズ・ディッケ理論の文脈でそのような値を説明することは不可能だが、ティボー・ダモールとケネス・ノルトヴェットは、一般理論の場の方程式がしばしば関数の発展につながることを発見した。宇宙の進化の過程で無限大に向かって。[ 3 ]したがって、彼らによれば、関数の現在の高い値はそれは宇宙の進化の単純な結果かもしれない。
NASA MESSENGERミッションの7年間のデータにより、ポストニュートンパラメータが制約される水星の近日点移動のために[ 6 ]
これらの制約はどちらも、この理論が一般相対性理論に取って代わる可能性のある候補である一方で、現在の観測結果を説明するためにはスカラー場が非常に弱く結合していなければならないことを示している。
宇宙の加速膨張の説明として一般化されたスカラーテンソル理論も提案されているが、重力波イベントGW170817による重力速度の測定により、これは否定されている。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]
アインシュタインとヒルベルトによる一般相対性理論の提唱後、1920年代には、テオドール・カルツァとオスカー・クラインの研究に基づき、5次元多様体における一般化であるカルツァ＝クライン理論が発展した。この理論は5次元計量（ゲージポテンシャルに依存するコンパクト化された定数の第5計量成分を持つ）を持ち、重力と電磁気学を統一する、すなわち電気力学の幾何学化を実現している。
この理論は1955年にパスカル・ジョルダンによって射影相対性理論において修正された。ジョルダンは群論的な推論に基づき、可変の重力定数Gにつながる関数的な第5の計量成分を採用した。彼のオリジナルの研究では、ポール・ディラックの考えに従って、エネルギー保存則も変更するためにスカラー場の結合パラメータを導入した。
適合等価理論によれば、多次元重力理論は、追加のスカラー場を持つ通常の4次元一般相対性理論と適合等価である。この例の1つがジョルダンの理論であり、エネルギー保存則を破ることなく（マイクロ波背景放射が黒体であることから当然有効であるはずである）、1961年のカール・H・ブランズとロバート・H・ディッケの理論と等価であるため、通常はブランズ・ディッケ理論と呼ばれる。ブランズ・ディッケ理論は、ヒルベルト・アインシュタイン理論をマッハの原理と整合するように修正するという考え方に基づいている。このためには、ニュートンの重力定数は、宇宙の質量分布に依存し、ラグランジアンの場として結合されたスカラー変数の関数として可変でなければならなかった。この理論は無限長スケール（すなわち長距離）のスカラー場を用いるため、湯川秀樹の原子核物理学の理論で言えば、このスカラー場は質量のない場となる。スカラー場のパラメータの値が大きい場合、この理論はアインシュタイン理論に合致する。
1979年、R.ワゴナーは、スカラー曲率に結合した複数のスカラー場を用いたスカラーテンソル理論の一般化を提案した。
ジョルダン・ブランズ・ディッケ（JBD）理論は、試験粒子の測地線方程式自体は変更しないものの、複合体の運動をより複雑なものへと変化させる。普遍的なスカラー場を重力場に直接結合させることで、重力エネルギーが大きく寄与する物質配置の運動に、観測可能な効果が生じる可能性がある。これはディッケ・ノルトヴェット効果として知られており、拡張質量に対して強い等価原理と弱い等価原理の両方が破られる可能性を示唆している。
湯川の理論によれば、短距離スカラー場を持つ JBD 型理論は質量を持つスカラー場を使用する。この理論の最初のものは1979 年にアンソニー・ジーによって提案された。彼はブランズとディッケの考えと自発的対称性の破れの考えを組み合わせた、対称性の破れた重力理論を提案した。自発的対称性の破れは素粒子の標準模型(SM)において不可欠であり、いわゆる自発的対称性の破れは質量生成 (粒子がヒッグス場と相互作用する結果として)につながる。ジーは SM のヒッグス場をスカラー場として提案し、ヒッグス場が重力定数を生成するとした。
ヒッグス場と、それを通して質量を得る粒子との相互作用は、標準模型内でも短距離（つまり湯川型）で重力に似ており（そこからポアソン方程式が得られる）、そのため、1992年にジーのアイデアがヒッグス場を持つスカラーテンソル理論として採用され、ヒッグス機構を持つスカラー場として扱われるようになった。そこでは、質量を持つスカラー場が質量と結合し、その質量は同時にスカラーヒッグス場の源であり、対称性の破れを通して素粒子の質量を生成する。スカラー場がゼロの場合、これらの理論は通常、標準一般相対性理論につながり、質量を持つ場の性質上、このような理論では、スカラー場のパラメータ（結合定数）が標準JBD理論ほど高くなくてもよい可能性がある。しかし、これらのモデルのうちどれが自然界に見られる現象をよりよく説明できるのか、またそのようなスカラー場が自然界で実際に存在するのか、あるいは必要なのかどうかはまだ明らかではありません。それにもかかわらず、JBD理論はビッグバン後のインフレーション（質量のないスカラー場の場合はインフラトン場と呼ばれます）やクインテッセンスを説明するために用いられています。さらに、標準的な冷たい暗黒物質モデル、MOND、アクシオン（対称性の破れからも）、MACHOSなどによって通常説明されるダイナミクスを説明する選択肢の一つでもあります。
すべての弦理論モデルの一般的な予測は、スピン2の重力子にはダイラトンと呼ばれるスピン0のパートナーが存在するというものである。[ 12 ]したがって、弦理論は、実際の重力理論は一般相対性理論ではなくスカラーテンソル理論であると予測している。しかし、対応する非摂動計算を扱うための数学的ツールがないため、そのような理論の正確な形式は現在知られていない。さらに、理論の正確な有効4次元形式は、いわゆるランドスケープ問題にも直面している。
![{\displaystyle S={\frac {1}{c}}\int {d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {1}{2\mu }}}\times \left[\Phi R-{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}-V(\Phi )+2\mu ~{\mathcal {L}}_{m}(g_{\mu \nu },\Psi )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d519c41f8aa7e68e94492dfbadfd94f70cd1d96)
![{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {\mu }{\Phi }}T_{\mu \nu }+{\frac {1}{\Phi }}[\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\Box ]\Phi +{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi ^{2}}}(\partial _{\mu }\Phi \partial _{\nu }\Phi -{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\left|\partial _{\alpha }\Phi \right|^{2})-g_{\mu \nu }{\frac {V(\Phi )}{2\ファイ }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7615cd8ca84c9c97f8936ba8842a982e53d7e1)
