スーパー楕円

超楕円は、ガブリエル・ラメにちなんでラメ曲線とも呼ばれ、楕円に似た閉じた曲線であり、長半径と短半径の幾何学的特徴とそれらの対称性を保持していますが、長方形と楕円の間のさまざまな形状を可能にする方程式によって定義されます。

2次元直交座標系では、超楕円は、次式を満たす曲線上のすべての点の集合として定義されます。ここで、および は、超楕円の半直径または半軸と呼ばれる正の数であり、 は形状を定義する正のパラメータです。 のとき、超楕円は通常の楕円です。 の場合、形状は角が丸い長方形に近くなり、 の場合、形状はより尖ったものになります。^{[1] [2] [3]}${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle 0<n<2}$

極座標系 では、超楕円方程式は次のようになります（曲線上のすべての点の集合は方程式を満たします）。${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle r=\left(\left|{\frac {\cos \theta }{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin \theta }{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.}$$

この式は、長方形− a ≤ x ≤ + aおよび− b ≤ y ≤ + bに含まれる閉曲線を定義します。パラメータと は、曲線の半径または半軸です。曲線の全体的な形状は、次の表に示すように、指数 の値によって決まります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

の場合には、図形は亜楕円とも呼ばれ、 の場合には超楕円とも呼ばれます。 およびの場合には、超楕円は-ノルムにおける球の境界です。 超楕円の端点は ( ) と ( ) であり、その 4 つの「角」は ( , ) です。ここで(「超楕円性」と呼ばれることもあります^[4] )。 ${\displaystyle n<2}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pm a,0}$${\displaystyle 0,\pm b}$${\displaystyle \pm s_{a}}$${\displaystyle \pm s_{b}}$${\displaystyle s=2^{-1/n}}$

nが正の有理数（ 最小の項で）のとき、超楕円の各象限は次数の平面代数曲線です。^[5]特に、でnが偶数の整数のとき、それはn次フェルマー曲線です。その場合、それは非特異ですが、一般には特異になります。分子が偶数でない場合、曲線は同じ代数曲線の異なる方向の部分から組み立てられます。 ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle a=b=1}$

曲線はパラメトリック方程式（パラメータには基本的な幾何学的解釈がない）によって与えられ、各は別々に選択することができ、各値は曲線上の4つの点を与える。同様に、符号関数がである範囲を とすると、 ここでは、正の水平軸と原点から点までの光線との間の角度ではない。この角度の正接は に等しいが、パラメトリック式では${\displaystyle t}$$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$$${\displaystyle \pm}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq t<2\pi ,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle y/x}$${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

超楕円の内側の面積は、ガンマ関数で次のように表すことができる。また、ベータ関数で次のように表すこともできる。 $${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},}$$

${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).}$^[6]

楕円と同様に、超楕円の周​​囲長は、純粋に基本関数を使用した閉じた形式の解を許容しません。超楕円の周​​囲の正確な解は、無限和を使用することで存在します。^[7]これらを切り捨てて近似解を得ることができます。数値積分は、任意の精度で周囲の推定値を取得するもう1つのオプションです。

記号回帰によって得られる閉形式の近似も、簡素さと精度のバランスが取れた選択肢です。2D 平面の原点を中心とした超楕円を考えてみましょう。ここで、超楕円 (形状パラメータ) が引き伸ばされ、第 1 象限 (例: 、 )が からへの弧 ( )になっているとします。すると、その単一象限内の超楕円の弧の長さは、 との次の関数として近似されます。^[8]${\displaystyle n}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle y>0}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,h)}$${\displaystyle h\geq 1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

この単一象限の弧の長さの近似値は、 のすべての値にわたって ±0.2% 以内の精度であり、超楕円の全周囲を効率的に推定するために使用できます。 ${\displaystyle n}$

ペダル曲線の計算は比較的簡単です。具体的には、ペダルは極座標で次のように表されます^[9]$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$$${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$$

これらの形状の一般化には、いくつかのアプローチが考えられます。高次元でのスーパー楕円の一般化では、スーパー楕円の基本的な数学的構造が保持されながら、さまざまなコンテキストやアプリケーションに適応されます。

高次元における超楕円の一般化は、超楕円の基本的な数学的構造を保持しながら、それをさまざまなコンテキストやアプリケーションに適応させます。^[10]

• 超楕円体は、超楕円体を3次元に拡張し、楕円体と角が丸い直方体の間のさまざまな形状を作成します。超楕円体は、次の式を満たすすべての点の集合として定義されます。ここで、およびは超楕円体の半軸と呼ばれる正の数であり、は形状を定義する正のパラメータです。^[6]${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1,}$$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$
• 超楕円体は楕円体（拡張すると超楕円体）の次元類似体である。これは、次式を満たすすべての点の集合として定義される。ここで、は超楕円体の半軸と呼ばれる正の数であり、は形状を定義する正のパラメータである。^[11]${\displaystyle d}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})}$$${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1,}$$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{d}}$${\displaystyle n}$

方程式の各項に異なる指数を使用することで、形状形成の柔軟性が向上します。^[12]

2次元の場合、方程式はであり、 は と等しいか、 と異なります。 の場合、それはラメの超楕円です。 の場合、曲線はより柔軟な動作を持ち、いくつかの実験情報を説明するのにより適している可能性があります。^[11]${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;m,n>0,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m\neq n}$

3次元の場合、3つの異なる正の累乗、を式で使用できます。 の場合、超楕円体が得られます。 2つまたは3つの累乗すべてが互いに異なる場合、超楕円体よりも実際の構造データを表すのに柔軟性を持つ立体が得られます。、 および半径 の3次元超楕円体は、 中国国家大劇院の構造を表しています。^[11]${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1}$${\displaystyle m=n=p}$${\displaystyle m=n=2.2}$${\displaystyle p=2.4}$${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle c=0.5}$

一般的な-次元の場合、方程式は であり、一般には は互いに異なる場合があります。 の場合にのみ超楕円体になります。^[11]${\displaystyle N}$${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{N_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{N_{2}}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{N_{N}}\!=1}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}$${\displaystyle n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{N}=n}$

超二次曲面は、超楕円体を特別なケースとして含む形状のグループです。コンピュータグラフィックスや幾何学的モデリングで、パラメータを簡単に調整できる複雑で滑らかな形状を作成するために使用されます。^[13]超楕円を直接一般化したものではありませんが、超球体も幾何学的形状を高次元に拡張するという概念を共有しています。これらの関連する形状は、超楕円の根底にある基本原理の汎用性と幅広い適用性を示しています。

異方性スケーリングでは、異なる軸に沿って形状を異なる方法でスケーリングし、ジオメトリをさらに制御します。このアプローチは、超楕円、超楕円体、およびそれらの高次元類似体に適用でき、より多様な形状を作成し、コンピューターグラフィックス、構造設計、データ視覚化などのアプリケーションの特定の要件に適合させることができます。たとえば、異方性スケーリングでは、各軸に沿って比率を個別に調整することで、現実世界のオブジェクトをより正確にモデル化できる形状を作成できます。^[14]

この形式の一般的な直交座標表記法は、楕円の方程式を一般化した フランスの数学者ガブリエル・ラメ(1795–1870) に由来します。

1952 年に発表されたHermann Zapfの書体 Melior では、 oなどの文字にスーパー楕円が使用されています。30 年後、Donald Knuth は、真の楕円とスーパー楕円 (どちらも3 次スプラインで近似)を選択できる機能をComputer Modern書体ファミリー に組み込みました。

スーパー楕円は、デンマークの詩人で科学者のピート・ハイン（1905年 - 1996年）によって命名されたが、時々主張されるように彼が発見したわけではない。1959年、スウェーデンのストックホルムの都市計画者は、市の広場セルゲル広場のラウンドアバウトの設計コンテストを発表した。ピート・ハインの優勝した提案は、 n = 2.5、a / b = 6/5のスーパー楕円に基づいていた。^[15]彼は次のように説明した。

人間は線を引いた後、自分でつまずいてしまう動物です。文明全体のパターンには 2 つの傾向があり、1 つは直線と長方形のパターンに向かう傾向、もう 1 つは円形に向かう傾向です。両方の傾向には、機械的および心理的な理由があります。直線で作られたものは互いによくフィットし、スペースを節約します。そして、私たちは円形で作られたものの周りを物理的にまたは精神的に簡単に移動できます。しかし、私たちは拘束衣の中にいて、どちらか一方を受け入れなければなりませんが、中間的な形の方が良い場合がよくあります。ストックホルムで試されたパッチワークの環状交差点のような何かをフリーハンドで描くことは適切ではありません。それは固定されておらず、円や四角のように明確ではありません。それが何であるかわかりません。美的に満足のいくものではありません。スーパー楕円がその問題を解決しました。それは丸くもなく長方形でもなく、その中間です。それでも固定されており、明確であり、統一性があります。

セルゲル広場は1967年に完成した。一方、ピート・ハインはベッド、皿、テーブルなど他の工芸品にもスーパー楕円形を使用した。 ^[16] スーパー楕円形を最長軸を中心に回転させることにより、平らな面に直立できる卵のような形状のスーパーエッグを作り出し、珍しい玩具として販売された。

1968年、ベトナム戦争の交渉官たちがパリで交渉テーブルの形状について合意できなかったとき、バリンスキー、キーロン・アンダーウッド、ホルトはニューヨークタイムズに宛てた手紙の中で超楕円形のテーブルを提案した。^{[15]この超楕円形は、1968年に}メキシコシティで開催されたアステカオリンピックスタジアム の形状に採用された。

ニューヨーク市に あった元のワールド トレード センターの 2 階は、大きな楕円形の張り出したバルコニーで構成されていました。

ウォルド・R・トブラーは、子午線が超楕円弧となる 地図投影法、トブラー超楕円投影法を開発し、1973年に発表しました^{[17] 。}

ニュース会社The Localのロゴは、セルゲルス・トーリの比率に合わせた傾いた超楕円で構成されています。ピッツバーグ・スティーラーズのロゴには、3 つの連結した超楕円が使用されています。

コンピューティングの世界では、モバイルオペレーティングシステムiOSは、バージョン6まで使用されていた丸い角のスタイルに代わって、アプリアイコンにスーパー楕円曲線を使用しています。^[18]

• n  =  2 ⁄ 3およびa  =  bの超楕円であるアストロイドは、4つの尖端を持つ内サイクロイドです。
  • 三角筋曲線、 3つの尖端を持つ下サイクロイド。
• n  = 4 かつa  =  bの超楕円であるスクワール(Squircle) は、「四角い車輪」のように見えます。
  • ルーローの三角形、「三角の車輪」。
• スーパー楕円の一般化であるスーパーフォーミュラ。
• 超二次曲面:超楕円体と超トロイド、超楕円の 3 次元「類似体」。
• 超楕円曲線、形式Y ⁿ = f ( X ) の方程式。
• L ^pスペース

ウィキメディア・コモンズには、 Superellipseに関連するメディアがあります。

• ソコロフ、DD (2001) [1994]、「ラメ曲線」、数学百科事典、EMS プレス
• MathCurve の「Lamé Curve」。
• Weisstein、Eric W.「Superellipse」。MathWorld。
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「Lame Curves」、MacTutor 数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 2dcurves.com の「スーパー楕円」
• スーパー楕円計算機とテンプレートジェネレーター
• MATLAB のスーパー楕円フィッティング ツールボックス
• スーパー楕円をフィッティングする C コード