スーパートロイド

幾何学およびコンピュータグラフィックスにおいて、スーパートロイドまたはスーパートーラスは、通常、形状がスーパー楕円体を定義する数式に類似した数式によって定義されるドーナツ状の表面(技術的には、位相トーラス)の族であると理解されています。「スーパートーラス」の複数形は、 supertoriまたはsupertorusesです。

この科は1994年にアラン・バーによって記載され命名された。^[1]

バーのスーパートロイドは、長方形の物体の滑らかなフレームなど、多くのオブジェクトの便利なモデルとしてコンピュータグラフィックスでかなり人気があります。スーパートロイドの 4 分の 1 は、2 つのスーパー 2 次円筒の間に滑らかでシームレスな 90 度の接合部を提供できます。ただし、それらは代数面ではありません(特殊な場合を除く)。

数式

アラン・バーのスーパートロイドは、正弦項と余弦項が任意のべき乗されることを除いて、トーラスの三角方程式に似たパラメトリック方程式によって定義されます。つまり、表面の一般的な点 $P$ $($ $u$ $,$ $v$ $) は$ 次のように与えられます。ここで、 $sgn は$ 符号関数であり、パラメータ $u、v の$ 範囲は 0 から 360 度 (0 から 2 πラジアン) です。 $P(u,v)=\left({\begin{array}{c}X(u,v)\\Y(u,v)\\Z(u,v)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(a+C_{u}^{s})C_{v}^{t}\\(b+C_{u}^{s})S_{v}^{t}\\S_{u}^{s}\end{array}}\right)$ ${\begin{aligned}C_{\theta }^{\varepsilon }&=\operatorname {sgn} (\cos \theta )\,\left|\,\cos \theta \,\right|^{\varepsilon },\\S_{\theta }^{\varepsilon }&=\operatorname {sgn} (\sin \theta )\ \left|\,\sin \theta \ \right|^{\varepsilon },\end{aligned}}$

これらの式では、パラメータ $s > 0 は$ 垂直セクションの「直角度」を制御し、 $t > 0 は$ 水平セクションの直角度を制御し、 $a 、 b \geq 1は$ $x$ 方向と $y$ 方向の主半径です。 $s = t = 1$ および $a = b = R$ $の場合、主半径R$ および副半径 1 を持ち、中心が原点にあり、 $z$ 軸を中心に回転対称である通常のトーラスが得られます。

一般に、上記のように定義されたスーパートーラスは、間隔にまたがります。全体の形状は、 $x$ $= 0$ 、 $y$ $= 0$ 、 $z$ $= 0の$ 平面について対称です。穴は $z$ 方向に走り、間隔にまたがります。 ${\begin{array}{rcccl}-(a+1)&\leq &x&\leq &+(a+1)\\[4pt]-(b+1)&\leq &y&\leq &+(b+1)\\[4pt]-1&\leq &z&\leq &+1\end{array}}$ ${\begin{array}{rcccl}-(a-1)&\leq &x&\leq &+(a-1)\\[4pt]-(b-1)&\leq &y&\leq &+(b-1)\\[4pt]-\infty &\leq &z&\leq &+\infty \end{array}}$

この表面上の定数 $u$ の曲線は、指数⁠ ⁠が $x$ と $y$ で拡大縮小され、 $z方向に変位された水平$ ラメ曲線です。 $x$ $= 0$ または $y$ $= 0$ 平面に投影された定数 $vの曲線は、指数$ ⁠ ⁠が拡大縮小され、水平方向にシフトされたラメ曲線です。 $v$ $= 0$ の場合、曲線は平面であり、間隔を張ります。 $v$ $= 90°、180°、270°$ の場合も同様です。 $a$ $=$ $b$ の場合も曲線は平面です。 ${\tfrac {2}{t}},$ ${\tfrac {2}{s}},$ ${\begin{array}{rcccl}a-1&\leq &x&\leq &a+1\\[4pt]-1&\leq &z&\leq &+1\end{array}}$

一般に、 $a \neq b$ かつ $v$ が90 度の倍数でない場合、定数 $v$ の曲線は平面にはなりません。また、逆に、スーパートーラスの垂直平面断面はラメ曲線にはなりません。

上記で定義した基本的なスーパートロイドの形状は、多くの場合、特定の幅、長さ、垂直厚さのスーパートロイドを生成するために、不均一なスケーリングによって変更されます。

プロットコード

次のGNU Octaveコードはスーパートーラスのプロットを生成します。

 関数スーパートロイド( epsilon,a ) n = 50 ; d = .1 ;エタマックス=円周率;エタミン= - pi ; wmax =パイ; wmin = - pi ;デタ=(エタマックス-エタミン) / n ; dw =( wmax - wmin ) / n ; k = 0 ; l = 0 ; i = 1の場合: n + 1 eta ( i )= etamin + ( i - 1 ) * deta ; j = 1 の場合: n + 1 w ( j )= wmin + ( j - 1 ) * dw ; x ( i , j )= a ( 1 ) * ( a ( 4 ) + sign ( cos ( eta ( i ))) * abs ( cos ( eta ( i ))) ^ epsilon ( 1 )) * sign ( cos ( w ( j ))) * abs ( cos ( w ( j ))) ^ epsilon ( 2 ); y ( i , j )= a ( 2 ) * ( a ( 4 ) + sign ( cos ( eta ( i )) ) * abs ( cos ( η ( i ))) ^イプシロン( 1 )) 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
    
     
      
      
      * sign ( sin ( w ( j ))) * abs ( sin ( w ( j ))) ^ epsilon ( 2 ); 
z ( i , j )= a ( 3 ) * sign ( sin ( eta ( i ))) * abs ( sin ( eta ( i ))) ^ epsilon ( 1 ); endfor ; endfor ; mesh ( x , y , z ); endfunction ;

参照

参考文献

^ Alan H. Barr (1981) 「スーパー二次曲面と角度保存変換」IEEE Computer Graphics and Applications、第1巻第1号、pp. 11-23。

[barr-1] Alan H. Barr (1981) 「スーパー二次曲面と角度保存変換」IEEE Computer Graphics and Applications、第1巻第1号、pp. 11-23。