正則接束

数学、特に複素幾何学において、複素多様体の正則接束は、滑らかな多様体の接束の正則類似体である。点上の正則接束の繊維は、複素多様体の概複素構造を介して複素ベクトル空間の構造が与えられた場合の、基礎となる滑らかな多様体の接空間である正則接空間である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$

複素次元 の複素多様体 が与えられたとき、滑らかなベクトル束としてのその接バンドルは上の実階数ベクトル束になります。多様体 上の複素構造に対応する積分可能な概複素構造は、という性質を持つ自己準同型です。実接バンドルを に複素化した後、その自己準同型は内のベクトルに対して によって定義される自己準同型に複素線型的に拡張できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J:TM\to TM}$${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} \to M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle TM}$

は複素接線バンドル上に固有値を持つので、直和として分解される。 ${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i,-i}$${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M}$

ここで、は-固有束、 は- 固有束です。の正則接束はベクトル束、反正則接束はベクトル束です。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T^{0,1}M}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T^{0,1}M}$

ベクトル束と は、当然、複素ベクトル束の複素ベクトル部分束であり、それらの双対をとることができます。正則余接束は、正則接束 の双対であり、 と書きます。同様に、反正則余接束は、反正則接束 の双対であり、 と書きます。正則 (余) 接束と反正則 (正則) 接束は共役によって交換され、実線型 (複素線型ではありません!) 同型 が得られます。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T^{0,1}M}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$${\displaystyle T^{1,0}M\to T^{0,1}M}$

正則接束は、階数の実ベクトル束として正則接束に同型である。同型性は、複素接束への包含の合成と、-固有束への射影によって与えられる。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M}$${\displaystyle i}$

標準バンドルはによって定義されます。 ${\displaystyle K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M}$

の局所正則チャートには、各 に対してによって定義される区別された実座標があります。これらは上の区別された複素数値1 形式を与えます。これらの複素数値 1 形式の双対は、複素数値ベクトル場 (つまり、複素化された接線バンドルのセクション) です。 ${\displaystyle \varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

これらのベクトル場を合わせると、 のフレーム、つまり複素接線束の への制限が形成されます。そのため、これらのベクトル場は複素接線束を 2 つの部分束に分割します。 ${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.}$

座標の正則変換の下では、 のこれら 2 つのサブバンドルは保存されるため、 を正則チャートによって覆うことにより、複素化接線バンドルの分割が得られます。これは、前に説明した正則接線バンドルと反正則接線バンドルへの分割とまったく同じです。同様に、複素数値 1 形式と は、複素化余接バンドルを正則余接バンドルと反正則余接バンドルに 分割します。${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle dz^{j}}$${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$

この観点から、正則接線バンドルという名前は明らかになります。つまり、 によって生成された局所フレームを持つ正則接線バンドルの遷移関数は、の遷移関数のヤコビ行列によって与えられます。明示的に、 2つの座標セットを持つ2つのチャートがある場合、 ${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$${\displaystyle z^{j},w^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.}$

座標関数は正則なので、それらの導関数も正則であり、したがって正則接線バンドルの遷移関数も正則です。したがって、正則接線バンドルは真の正則ベクトルバンドルです。同様に、正則余接線バンドルは真の正則ベクトルバンドルであり、遷移関数はヤコビ行列の逆転置によって与えられます。反正則接線バンドルと反正則余接バンドルには正則遷移関数はなく、反正則遷移関数があることに注意してください。

記述された局所フレームの観点から見ると、ほぼ複素構造は次のように作用する。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

または実座標では

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

正則接線束と正則余接線束は正則ベクトル束の構造を持つため、区別できる正則切断が存在します。正則ベクトル場は の正則切断です。正則 1 形式はの正則切断です。 の外冪をとることで、整数 の正則-形式を定義できます。のCauchy-Riemann 演算子は関数から複素数値微分形式に拡張することができ、正則余接線束の正則切断は によって消滅する複素数値微分 -形式と一致します。詳細については、複素微分形式を参照してください。 ${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

• ほぼ複素多様体
• エルミート多様体

• ハイブレヒト、ダニエル(2005)。複雑な幾何学: 入門。スプリンガー。ISBN 3-540-21290-6。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523