大域的双曲多様体

数理物理学において、大域的双曲性は時空多様体（つまり、ローレンツ多様体）の因果構造に関する特定の条件である。これは、システムの将来の状態が初期条件によって指定される波動伝播の線形理論との類似性から双曲的と呼ばれる。（同様に、波動演算子の主要な記号は双曲面の記号である。）これは、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論と関連しており、他の計量重力理論にも関連している可能性がある。

大域的双曲性には、同等の定義がいくつかあります。Mを境界のない滑らかに接続されたローレンツ多様体とします。次のような予備的な定義を行います。

• Mが非全悪性であるとは、閉じた時間的曲線が通過しない点が少なくとも 1 つ存在する場合です。
• M は、閉じた因果曲線を持たない場合、因果関係があります。
• コンパクト セットに拡張不可能な因果曲線が含まれていない場合、M は非完全拘束です。このプロパティは因果関係を意味します。
• M は、すべての点pとpの任意の近傍Uに対して、 Uに含まれるpの因果凸近傍Vが存在する場合、強く因果的です。ここで、因果凸性とは、 Vに端点を持つ任意の因果曲線がVに完全に含まれることを意味します。この特性は、非完全な監禁を意味します。
• M内の任意の点pが与えられた場合、[resp. ] は、 pから始まる未来指向の[resp. 過去指向の]連続因果曲線によって到達できる点の集合です。${\displaystyle J^{+}(p)}$${\displaystyle J^{-}(p)}$
• MのサブセットS が与えられた場合、Sの従属領域は、 p を通るすべての拡張不可能な因果曲線がS と交差するようなM内のすべての点pの集合です。
• MのサブセットS は、時間的曲線がS と2 回以上交差しない場合は非時的である。
• Mのコーシー面は、依存領域がMである閉じた非時的集合です。

以下の条件は同等です。

1. 時空は因果的であり、M内の点pとqのすべてのペアに対して、 pからqへの連続した未来指向因果曲線の空間は位相的にコンパクトです。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$
2. 時空にはコーシー面がある。
3. 時空は因果的であり、M内の点pとqのすべてのペアに対して、その部分集合はコンパクトです。${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$
4. 時空は非完全な拘束性を持ち、M内の点pとqのすべてのペアに対して、その部分集合はコンパクト集合に含まれます（つまり、その閉包はコンパクトです）。${\displaystyle {J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}}$

これらの条件のいずれかが満たされる場合、M は大域的に双曲的であると言います。M が境界を持つ滑らかに接続されたローレンツ多様体である場合、その内部が大域的に双曲的であれば、 Mは大域的に双曲的であると言います。

グローバル双曲性の他の同等の特徴付けは、点を結ぶ因果曲線すべてにわたって最大値をとるロレンツ距離の概念を利用する （慣例により、そのような曲線がない場合はd=0）。それらは、 ${\displaystyle d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )}$${\displaystyle C^{1}}$

• 有限値を持つ強い因果性を持つ時空。^[1]${\displaystyle d}$
• 元の計量の共形クラスにおけるあらゆる計量選択に対して連続となるような非全拘束時空。${\displaystyle d}$

上に示した最初の形式の大域的双曲性は、多様体上の波動方程式のコーシー問題の適切性を考慮するために、ルレイ^{[2]によって導入された。1970 年にジェロック[3] は定義 1 と定義 2 の同値性を証明した。強い因果関係を仮定した定義 3 と最初の 2 つとの同値性は、ホーキングとエリス[4]}によって与えられた。

前述のように、古い文献では、上記の大域双曲性の第 1 および第 3 の定義における因果関係の条件は、より強い条件である強い因果関係に置き換えられています。2007 年に、Bernal と Sánchez ^{[5] は、}強い因果関係の条件を因果関係に置き換えることができることを示しました。特に、3 で定義されている大域双曲多様体は強い因果関係があります。その後、Hounnonkpe と Minguzzi ^[6]は、非常に合理的な時空、より正確には、非コンパクトまたは非全悪である 3 次元より大きい時空では、「因果関係」条件を定義 3 から削除できることを証明しました。

定義 3 では、 の閉包は強いように見えます (実際、集合の閉包は因果の単純さ を 意味し、これは時空の因果階層^{[7]のレベルであり、大域双曲性のすぐ下に留まります)。2009 年に Minguzzi [8]} によって提案された定義 4 のように因果条件を強化することで、この問題を解決することが可能です。このバージョンでは、大域双曲性が因果関係とコンパクト性の概念の間に適合条件を設定することを明確にしています。つまり、すべての因果ダイヤモンドはコンパクト集合に含まれ、すべての拡張不可能な因果曲線はコンパクト集合から逃れます。コンパクト集合の族が大きくなるほど、因果ダイヤモンドが何らかのコンパクト集合に含まれやすくなりますが、因果曲線がコンパクト集合から逃れるのが難しくなることに注意してください。したがって、大域双曲性は、因果構造に関連してコンパクト集合の豊富さのバランスを設定します。より細かい位相では集合がコンパクトでなくなるため、因果関係が与えられた場合の開集合の数にバランスがあるとも言える。定義4は計量の摂動に対してもロバストである（原理的には閉因果曲線を導入する可能性がある）。実際、このバージョンを使用すると、グローバル双曲性は計量の摂動に対して安定していることが示された。^[9]${\displaystyle J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$${\displaystyle J^{\pm }(p)}$

2003 年に、Bernal と Sánchez ^{[10] は}、任意の大域双曲多様体M には滑らかな埋め込まれた 3 次元コーシー面があり、さらにMの任意の 2 つのコーシー面は微分同相であることを示しました。特に、M はコーシー面と の積に微分同相です。大域双曲多様体の任意のコーシー面は埋め込まれた 3 次元部分多様体であり、そのうちの任意の 2 つは同相であり、多様体はコーシー面と の積として位相的に分割されることは、以前からよく知られていました。特に、大域双曲多様体はコーシー面によって葉理化されています。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

アインシュタイン方程式の初期値の定式化を考慮すると、任意の初期データが与えられた場合、アインシュタイン方程式の唯一の最大のグローバル双曲型解が存在するという意味で、グローバル双曲性は一般相対性理論の文脈では非常に自然な条件であると考えられます。

• 因果関係の条件
• 因果構造
• 光円錐

• ホーキング、スティーブン、エリス、GFR（1973）。『時空の大規模構造』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09906-4。
• ウォルド、ロバートM. (1984)。一般相対性理論。シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-87033-2。