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一般相対性理論の初期値定式化は、時間とともに進化する宇宙を記述するアルバート・アインシュタインの一般相対性理論を再定式化したものである。
アインシュタイン場の方程式の各解は、宇宙の全歴史を包含します。それは単に物事の現状のスナップショットではなく、時空全体、つまりその特定の宇宙のあらゆる場所とあらゆる瞬間の物質と幾何学の状態を包含する記述です。この点において、アインシュタインの理論は、物理系の進化方程式を指定する他のほとんどの物理理論とは異なっているように見えます。システムが特定の瞬間に特定の状態にある場合、物理法則によってその過去または未来を外挿することができます。アインシュタイン方程式には、他の場と比較して微妙な違いがあるようです。それらは自己相互作用的であり（つまり、他の場が存在しない場合でも非線形です）、微分同相不変であるため、一意の解を得るには、固定された背景計量とゲージ条件を導入する必要があります。最後に、計量は時空構造、したがって任意の初期データのセットに対する依存領域を決定するため、特定の解が定義される領域は、事前に定義されていません。[ 1 ]
しかしながら、これらの問題を克服するアインシュタイン方程式の再定式化の方法が存在する。まず、時空を「空間」の時間的変化として書き換える方法がある。この方法の初期バージョンはポール・ディラックによるものであり、より単純な方法は、その考案者であるリチャード・アーノウィット、スタンリー・デザー、チャールズ・ミスナーにちなんでADM形式として知られている。これらの定式化は「3+1」アプローチとも呼ばれ、時空は内部計量を持つ3次元超曲面と、外部曲率を持つ時空への埋め込みに分割される。これら2つの量は、超曲面の時間的変化を追跡するハミルトニアン定式化における動的変数である。 [ 2 ] このような分割により、一般相対性理論の初期値定式化を述べることが可能となる。これは、任意に指定することはできず、特定の制約方程式を満たす必要のある初期データを含み、そのデータは適切に滑らかな3次元多様体上で定義される。他の微分方程式の場合と同様に、存在定理と一意性定理を証明することが可能です。すなわち、アインシュタイン方程式の解であり、大域的に双曲的な一意の時空が存在し、はコーシー面である（つまり、過去のすべての出来事が、その上で起こることに影響を与える）、そして将来のすべての出来事は、その上で起こることによって影響を受ける）、そして指定された内部計量と外的曲率を持つ。これらの条件を満たすすべての時空は等長変換によって関連付けられる。[ 3 ]
3+1分割による初期値定式化は数値相対性理論の基礎であり、コンピュータを使用して相対論的時空の進化（特にブラックホールの合体や重力崩壊）をシミュレートしようとする試みである。 [ 4 ] しかし、数値相対性理論を特に困難にしているのは、他の物理的進化方程式のシミュレートとは大きく異なる点であり、特に、進化する動的オブジェクトには空間と時間自体が含まれること（そのため、例えば重力波を表す摂動を評価するための固定された背景がない）、および特異点の発生（シミュレートされた時空部分内で発生することが許されると、コンピュータモデルで表現しなければならない任意に大きな数値につながる）である。[ 5 ]
