ジョンソン・ナイキスト雑音

ジョンソン・ナイキスト雑音（熱雑音、ジョンソン雑音、またはナイキスト雑音）は、平衡状態にある電気導体内部の電荷キャリア（通常は電子）の熱運動によって発生する電圧または電流雑音であり、印加電圧に関係なく発生します。熱雑音はすべての電気回路に存在し、高感度電子機器（ラジオ受信機など）では微弱な信号をかき消してしまう可能性があり、電気計測機器の感度を制限する要因となることがあります。熱雑音は絶対温度に比例するため、電波望遠鏡受信機などの高感度電子機器は、信号対雑音比を改善するために極低温まで冷却されます。この雑音の一般的な統計的物理的導出は、ゆらぎ散逸定理と呼ばれ、媒体の特性を表すために一般化インピーダンスまたは一般化感受率が用いられます。

理想的な抵抗器における熱雑音はほぼ白色雑音であり、その電力スペクトル密度は周波数スペクトル全体にわたってほぼ一定である（図2）。有限の帯域幅に限定し、時間領域で見た場合（図1に概略図を示す）、熱雑音はほぼガウス型の振幅分布を示す。^{[ 1 ]}

一般的に、この定義は抵抗器だけでなく、あらゆる種類の導電性媒体（例えば電解質中のイオン）における電荷キャリアにも適用されます。熱雑音はショット雑音とは異なり、ショット雑音は電圧が印加され、巨視的な電流が流れ始めたときに発生する追加の電流変動で構成されます。

1905年、アルベルト・アインシュタインの「奇跡の年」論文の一つで、ブラウン運動の理論が熱ゆらぎの観点から初めて解明された。翌年、ブラウン運動に関する2番目の論文で、アインシュタインは同じ現象を応用して熱的に揺動する電流を導出できると示唆したが、検証不可能だと考えたため計算は行わなかった。^{[ 2 ]}

ヘンドリック・ローレンツの娘であるゲルトルーダ・デ・ハース＝ローレンツは、 1912年の博士論文でアインシュタインの確率論を拡張し、それを初めて電子の研究に適用して、熱電流の平均二乗値の公式を導出した。^{[ 2 ] [ 3 ]}

ウォルター・H・ショットキーは、1918年にアインシュタインの熱雑音理論を研究している際にショット雑音を発見した。 ^{[ 2 ]}

電気計測学の研究をしていたフリッツ・ゼルニケは、高感度検流計を使用している際に、異常なランダムな偏向を発見した。彼はノイズが機械的なものであるという考えを否定し、熱的な性質のものであると結論付けた。1927年、彼は電気計測に自己相関の概念を導入し、時間検出限界を計算した。彼の研究は、デ・ハース＝ローレンツの予測と一致した。^{[ 2 ]}

同年、ベル研究所に勤務していたジョン・B・ジョンソンは、ゼルニケの研究を知らずに独自に研究を進め、通信システムで同様のノイズを発見したが、それを周波数の観点から説明した。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 2 ]}彼は、同じくベル研究所に勤務していたハリー・ナイキストにその発見を伝え、ナイキストは熱力学と統計力学の原理を用いてその結果を説明し、1928年に発表した。^{[ 6 ]}

ジョンソンの実験（図1）では、抵抗からの熱雑音が${\displaystyle R}$ケルビン温度で${\displaystyle T}$帯域幅の周波数帯域に制限されている${\displaystyle \Delta f}$（図3）の平均二乗電圧は次のようになります。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\overline {V_{n}^{2}}}=4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}$

どこ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$はボルツマン定数（1.380 649 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ )。この式は、極端でない周波数と温度での理想的な抵抗器（つまり、周波数依存性のない純粋な抵抗）に適用されますが、より正確なジョンソン・ナイキスト雑音§ 一般化形式は、複素インピーダンスと量子効果を考慮しています。従来の電子機器は一般的に、より限られた帯域幅で動作するため、ジョンソンの式で十分な場合が多いです。

RMSノイズ電圧

平均二乗電圧の平方根は、帯域幅全体で観測される実効値（RMS）電圧を示す。${\displaystyle \Delta f}$:

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {\overline {V_{n}^{2}}}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR\,\Delta f}}\,.}$

熱雑音のある抵抗器は、上記の実効電圧を持つガウス雑音電圧源と直列に接続された雑音のない抵抗器で構成されるテブナン等価回路（図4B）で表すことができる。

室温付近では、3 kΩ は 20 kHz (人間の可聴域 )でほぼ 1 マイクロボルトの RMS ノイズを提供し、60 Ω·Hz では  ${\displaystyle R\,\Delta f}$これは、実効値でほぼ1ナノボルトのノイズに相当する。

理想的なコンデンサは損失のないデバイスであるため、熱雑音を持ちません。しかし、抵抗とコンデンサの組み合わせ（RC回路、一般的なローパスフィルタ）には、 kTC雑音と呼ばれるものがあります。RC回路の等価雑音帯域幅は${\displaystyle \Delta f{=}{\tfrac {1}{4RC}}.}$^{[ 7 ]}これを熱雑音方程式に代入すると、抵抗値(R) が方程式から消えるため、結果は非常に単純な形になります。これは、R がほど帯域幅が狭くなるのと同様に、通過帯域の雑音のスペクトル密度が増加するためです。

このようなフィルタで発生する平均二乗および実効値ノイズ電圧は次のとおりです。^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\overline {V_{\text{n}}^{2}}}={4k_{\text{B}}TR \over 4RC}={k_{\text{B}}T \over C}}$

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {4k_{\text{B}}TR \over 4RC}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

騒音料金${\displaystyle Q_{n}}$静電容量と電圧の積は、次のようになります。

${\displaystyle Q_{n}=C\,V_{n}=C{\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}={\sqrt {k_{\text{B}}TC}}}$

${\displaystyle {\overline {Q_{n}^{2}}}=C^{2}\,{\overline {V_{n}^{2}}}=C^{2}{k_{\text{B}}T \over C}=k_{\text{B}}TC}$

この電荷ノイズが「 kTCノイズ」という用語の由来です。kTCノイズは抵抗値とは無関係ですが、すべて抵抗器内で発生します。したがって、抵抗器の熱ノイズとそれに伴うkTCノイズの両方を二重にカウントするのは誤りであり^{[ 7 ]}、抵抗器とコンデンサの温度が異なる場合でも、抵抗器の温度のみを使用する必要があります。いくつかの値を以下の表に示します。

ジョンソン・ナイキスト雑音は精密測定に応用されており、一般的に「ジョンソン雑音温度測定」と呼ばれている。^{[ 9 ]}

例えば、NISTは2017年にジョンソンノイズ温度測定法を用いて、 3 ppm未満の不確かさでボルツマン定数を測定した。これは、ジョセフソン電圧標準と量子ホール抵抗器を水の三重点温度に保つことで実現した。電圧は100日間にわたって測定され、積分される。^{[ 10 ]}

これは、水の三重点の温度が 定義により 273.16 K であり、ボルツマン定数が実験的に測定可能であった 2017 年に行われました。音響ガス温度計の 不確かさが 0.2 ppm、ジョンソンノイズが 2.8  ppm に達したため、再定義の前提条件が満たされました。2019年の再定義後、ボルツマン定数が正確な値 (1.380 649 × 10 ⁻²³  J⋅K ⁻¹ )、水の三重点が実験的に測定可能になった。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

インダクタはコンデンサの双対です。kTCノイズに類似して、インダクタを備えた抵抗器は${\displaystyle L}$その結果、抵抗に依存しないノイズ電流が生じる。 ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\overline {I_{\text{n}}^{2}}}={k_{\text{B}}T \over L}\,.}$

抵抗器で発生するノイズ${\displaystyle R_{\text{S}}}$残りの回路に電力を伝達できます。最大電力伝達は、テブナン等価抵抗が${\displaystyle R_{\rm {L}}}$残りのサーキットマッチ${\displaystyle R_{\text{S}}}$[ ^{14 ]}この場合、2つの抵抗器はそれぞれ、自身と他方の抵抗器の両方でノイズを消散します。これらの抵抗器のいずれか一方にかかる電圧降下は電源電圧の半分だけなので、この最大ノイズ電力伝送は次のようになります^。

${\displaystyle P_{\text{max}}=k_{\text{B}}\,T\Delta f\,.}$

この最大値は抵抗値に依存せず、抵抗器から得られるノイズ電力と呼ばれます。 ^{[ 14 ]}

ナイキストの1928年の論文「導体中の電荷の熱運動」^{[ 6 ]}は、ボルツマンとマクスウェルのエネルギー等分配法則^{[ 16 ]}からの位置エネルギーと調和振動子に関する概念を用いて、ジョンソンの実験結果を説明した。ナイキストの思考実験は、 2つの等しい抵抗器間の長い無損失伝送線路上の各定在波振動モードのエネルギー寄与を合計した（${\displaystyle R_{1}{=}R_{2}}$図5の結論によれば、帯域幅全体で伝送される総平均電力は${\displaystyle \Delta f}$から${\displaystyle R_{1}}$そして吸収される${\displaystyle R_{2}}$以下のように判断された：

${\displaystyle {\overline {P_{1}}}=k_{\rm {B}}T\,\Delta f\,.}$

オームの法則を単純に適用すると、電流は${\displaystyle V_{1}}$（熱電圧ノイズは${\displaystyle R_{1}}$）合成抵抗は${\textstyle I_{1}{=}{\tfrac {V_{1}}{R_{1}+R_{2}}}{=}{\tfrac {V_{1}}{2R_{1}}}}$なので、${\displaystyle R_{1}}$に${\displaystyle R_{2}}$この電流の二乗に${\displaystyle R_{2}}$、これは次のように簡略化されます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle P_{\text{1}}=I_{1}^{2}R_{2}=I_{1}^{2}R_{1}=\left({\frac {V_{1}}{2R_{1}}}\right)^{2}R_{1}={\frac {V_{1}^{2}}{4R_{1}}}\,.}$

これを設定する${\textstyle P_{\text{1}}}$先の平均電力表現と等しい${\textstyle {\overline {P_{1}}}}$平均を求めることができる${\textstyle V_{1}^{2}}$その帯域幅上で：

${\displaystyle {\overline {V_{1}^{2}}}=4k_{\text{B}}T{R_{1}}\,\Delta f\,.}$

ナイキストは同様の推論を用いて、不等インピーダンスや複素インピーダンスにも適用できる一般化された式を提供した。そして、上記のナイキストは${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$古典理論によれば、ナイキストはプランク定数を取り入れたより複雑な式を用いることで論文を締めくくった。${\displaystyle h}$（量子力学の新理論より）^{[ 6 ]}

の${\displaystyle 4k_{\text{B}}TR}$上述の電圧ノイズは、低周波から中周波における純粋な抵抗性コンポーネントの特殊なケースです。一般に、熱電気ノイズは、ゆらぎ散逸定理の結果として、より一般的な多くの電気的ケースにおいて抵抗応答と関連付けられ続けます。以下に、さまざまな一般化を示します。これらの一般化はすべて、検討対象の電気コンポーネントが純粋に受動的で線形である場合にのみ適用されるという共通の制限を共有しています。

• ゆらぎ散逸定理
• ショットノイズ
• ピンクノイズ
• ランジュバン方程式
• 熱上昇

 この記事は、連邦規格1037C（一般調達局）からのパブリックドメイン資料を組み込んでいます。 2022年1月22日にオリジナルからアーカイブされました。 （ MIL-STD-188に準拠）

• RFシステムにおけるアンプノイズ（2008年7月4日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• 熱雑音（学部レベル）詳細な数式