図1。抵抗、電圧源、電流源のみを含むブラックボックスは 、等価電圧源と等価抵抗が直列に接続されたテブナン等価回路 に置き換えることができる。 テブナンの定理は 、もともと直流抵抗 回路のみに関して述べられていたように、「 電圧源 、 電流源 、 抵抗 のみを含む任意の 線形 電気ネットワークは、端子 A-B において、電圧源Vthと抵抗Rthの直列接続による等価な組み合わせに 置き換える こと が できる 」 と 述べ ている 。
等価電圧Vth は 、端子A-B を開放した状態 でネットワークの端子A-B で得られる電圧です。 等価抵抗Rth は 短絡回路に、すべての理想的な電流源を開放回路に置き換えた場合（つまり、電源がゼロ電圧および ゼロ 電流を供給するように設定された場合）に、端子Aと端子B間の回路が持つ抵抗値です。 端子A とB が互いに接続されている（短絡している）場合、A とB から流れる電流はV t h R t h {\textstyle {\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}} Rth は、 A とB が接続されているときの短絡電流でVthを割った値として 計算 回路理論の 観点から言えば、この定理によって、任意の1ポート ネットワークを単一の電圧源 と単一のインピーダンスに簡略化することができる。
この定理は、リアクタンス （誘導性および容量性）インピーダンスと抵抗性 インピーダンス からなる周波数領域の 交流回路にも適用されます。つまり、抵抗がインピーダンスに一般化されている点を除けば、この定理は直流回路と全く同じように交流回路にも適用されます。
この定理は、1853年にドイツの科学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ によって、また1883年にフランスの国営郵便電信局の 電気技師 レオン・シャルル・テヴナン （1857年- 1926年）によってそれぞれ独立に導出された。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
テブナンの定理とその双対であるノートンの定理 は、回路解析を簡略化し、回路の初期条件と定常状態応答を研究するために広く使用されています。[ 8 ] [ 9 ] テブナンの定理は、任意の回路の電源とインピーダンスをテブナン等価 回路に変換するために使用できます。場合によっては、キルヒホッフの回路法則 を使用するよりも、この定理を使用する方が便利な場合があります。[ 7 ] [ 10 ]
定理の証明 テブナンの定理には様々な証明が与えられてきた。おそらく最も単純なのは、テブナンの原著論文における証明であろう。[ 3 ] [ 4 ]
インピーダンス、定電圧源、定電流源を含むアクティブネットワークを考えます。ネットワークの構成は任意です。ネットワークへのアクセスは一対の端子によって提供されます。図2の左側の枠内に示すように、端子間で測定される電圧をVθと します。
図2．テブナンの定理の証明に用いられる図。 箱の中の電圧源を短絡回路に、電流源を開放回路に置き換えたとします。こうすると、端子間に電圧は発生せず、端子間のインピーダンスを測定することができます。このインピーダンスをZθ と
ここで、図2aに示すように、インピーダンスZ e e Iを求めたいのですが、 Z e 端子電圧が V θ
代わりに、図2bに示すように、インピーダンスZ e Eが V θ V θ が V θ Z e
次に、起電力源 E 1 Z e E 1は E I 1 E 1
私 1 = E 1 Z e + Z θ = V θ Z e + Z θ {\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}
なぜなら、Z e Z θ は
最後に、 E E1 は I1 Iです 。
私 = V θ Z e + Z θ {\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}
これで証明は完了です。図2dはテブナン等価回路を示しています。
前述のとおり、テブナンの定理は、ドイツの科学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ によって1853年に初めて発見され発表されました[ 1 ] [ 11 ]
1853年の論文で、ヘルムホルツは「物理的に広範囲にわたる導体」、特に動物組織の起電力特性に関心を寄せていた。彼は、生理学者 エミール・デュ・ボワ＝レイモン による以前の研究で、「刺激を受けることができる筋肉の最小部分はすべて電流を発生させることができる」ことが示されていると指摘した。当時、実験は動物組織のサンプルに2点で検流計 を取り付け、外部回路を流れる電流を測定することによって行われていた。この研究の目的は組織の内部特性を理解することであったため、ヘルムホルツはそれらの内部特性と外部で測定された電流との関係を見つける方法を見つけようとした。
ヘルムホルツの出発点は、 1848 年にグスタフ・キルヒホフ によって発表された結果であった。[ 12 ]
ヘルムホルツは1853年の論文でキルヒホッフの結果を認めつつも、それは「水力電池のように」A内に閉じた電流曲線が存在せず、すべての電流曲線がBを通過する場合にのみ有効であると指摘した。そこで彼は、システムA内の電流源と電圧源が任意の三次元分布を持つ場合にキルヒホッフの結果を一般化しようと試みた。
ヘルムホルツは、それまで発表されていた重ね合わせの原理 よりも一般的な定式化を最初に提示し、それを次のように表現した。
導体系において様々な場所に起電力が存在する場合、電流が流れる系内のあらゆる点における電圧は、それぞれの起電力が他の起電力とは独立して発生させる電圧の代数和に等しくなります。同様に、互いに直交する3つの軸に平行な電流強度の成分は、それぞれの起電力に対応する成分の和に等しくなります。
ヘルムホルツはこの定理とオームの法則 を用いて、「物理的」システムAの内部電圧と電流、および表面上の2点でAに接続されていると仮定した「線形」システムBを流れる電流との関係について、以下の3つの定理を証明した。
導体Aの内部起電力が任意に分布している場合、その表面に特定の起電力分布を指定することができ、それによって、印加された導体Bのいずれにおいても、導体Aの内部起電力と同じ電流が発生する。 外部回路が接続されたときの導体A内部の電圧および電流成分は、接続された回路がない場合の導体A内部の電圧および電流成分と、表面の電圧および電流成分の合計に等しい。 導体Aの表面に起電力を分配するさまざまな方法は、内部の力と同じ導出電流を与えるはずであり、表面上のすべての点で同じ一定値を持つ差だけが異なる可能性がある。 これらからヘルムホルツは最終結果を導き出した：
表面上の2つの特定点において起電力が一定の物理導体を任意の線状導体に接続した場合、その代わりに、特定の起電力と抵抗を持つ線状導体を常に配置することができ、その線状導体は、適用されたすべての線状導体において、物理導体と全く同じ電流を励起する。 … 置換される線状導体の抵抗は、線状導体の2つの入口から電流が流れたときの物体の抵抗と等しい。
そして彼は、一般的な「物理システム 」に対して導き出された自身の結果が、キルヒホフが考察したような「線形」（幾何学的な意味で）回路にも適用できることを指摘した。
あらゆる物理導体に当てはまることは、分岐線状電流システムの特殊な場合にも当てはまります。このようなシステムの2つの特定の点が他の線状導体に接続されている場合でも、その導体は、分岐線に関するよく知られた法則に従って大きさが求められる一定の抵抗と、追加された回路の前に存在していた分岐点間の電圧差によって与えられる一定の起電力を持つ線状導体のように振る舞います。
この定理の定式化は、30年後に発表されたテブナンの定理と本質的に同じである。
線形電気回路のテブナン等価回路は、電圧Vthを持つ電圧源と抵抗 もの で ある
テブナン等価電圧Vth は Vout 、 分圧の 原理がしばしば役立ちます。
テブナン等価抵抗R Th は、回路を「逆方向」に見て、点A と点B 間の抵抗値です。この抵抗値は、すべての電圧源と電流源をそれぞれの内部抵抗に置き換えた後に測定されます。つまり、理想的な電圧源は短絡回路に、理想的な電流源は開放回路に置き換えられます。その後、直列回路と並列回路の公式を用いて、端子間の抵抗値を計算できます。この方法は、独立電源のみを持つ回路にのみ有効です。回路に 従属電源が ある場合は、 A と点B 間にテスト電源を接続し、テスト電源の両端の電圧または流れる電流を計算するなど、別の方法を用いる必要があります。
記憶術として、電圧源と電流源のテブナン等式の置き換えは、それぞれの値（つまり電圧または電流）をゼロに設定すると覚えることができます。値がゼロの電圧源は、2本のリード線が接触している理想的な短絡回路と同様に、端子間の電位差をゼロボルトにします。したがって、この電源は短絡回路に置き換えられます。同様に、値がゼロの電流源と開放 回路はどちらも電流を流しません。
例 図3。
この例では、等価電圧を計算します。V t h = R 2 + R 3 （ R 2 + R 3 ） + R 4 ⋅ V 1 = 1 k Ω + 1 k Ω （ 1 k Ω + 1 k Ω ） + 2 k Ω ⋅ 15 V = 1 2 ⋅ 15 V = 7.5 V {\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}} A とBの間が開回路状態であるため、 R1 は R1 に
等価抵抗の計算（R x || R y は2つの並列抵抗 の合計抵抗です）：R t h = R 1 + [ （ R 2 + R 3 ） ‖ R 4 ] = 1 k Ω + [ （ 1 k Ω + 1 k Ω ） ‖ 2 k Ω ] = 1 k Ω + （ 1 （ 1 k Ω + 1 k Ω ） + 1 （ 2 k Ω ） ） − 1 = 2 k Ω 。 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \オメガ .\end{aligned}}}
Norton相当品への変換 図4. ノートン・テブナン変換 ノートン等価回路は テブナン等価回路と次の関係にある。R t h = R n o V t h = 私 n o R n o 私 n o = V t h R t h {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{\mathrm {no} }\!\\V_{\mathrm {no} }&=I_{\mathrm {no} }R_{\mathrm {no} }\!\\I_{\mathrm {no} }&={\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}\!\end{整列}}}
実用上の制約 多くの回路は、ある一定の値の範囲内でのみ線形性を示すため、テブナン等価回路はこの線形範囲内でのみ有効である。 テブナン等価回路は、回路に接続された負荷の観点からのみ、元の回路と等価なI-V特性を持つ。 テブナン等価回路の消費電力は、実際のシステムの消費電力と必ずしも一致するとは限りません。しかし、2つの出力端子間の外部抵抗器で消費される電力は、内部回路の実装方法に関わらず同じです。
三相回路では 1933年、AT Starrは、Institute of Electrical Engineers Journal誌の記事 「A New Theorem for Active Networks 」[ 16 ] Y結線 またはΔ結線 で接続することで置き換えることができると述べています。
参考文献 1 2 フォン・ヘルムホルツ、ヘルマン （1853）。「Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leiter mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche」[ 動物の電気の実験に応用された導体中の電流の分布に関するいくつかの法則] 。Annalen der Physik und Chemie 89 (6): 211–233 。Bibcode : 1853AnP...165..211H。土井 ：10.1002/andp.18531650603。↑ テブナン、レオン・シャルル （1883年）。 「Extension de la loi d'Ohm aux circuis électromotours complexes」 [ 複雑な起電回路へのオームの法則の拡張 ] 。 Annales Télégraphiques 。 3 e シリーズ (フランス語)。 10 ： 222～ 224 1 2 テブナン、レオン・シャルル （1883）。 "Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique" [ 動的電気の新しい定理について ] 。 Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)。 97 : 159–161 . 1 2 Johnson, Don H. (2003). "等価回路概念の起源: 電圧源等価回路" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 91 (4): 636– 640. Bibcode : 2003IEEEP..91..636J . doi : 10.1109/JPROC.2003.811716 . hdl : 1911/19968 . ↑ Johnson, Don H. (2003). "等価回路概念の起源: 電流源等価回路" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 91 (5): 817– 821. Bibcode : 2003IEEEP..91..817J . doi : 10.1109/JPROC.2003.811795 . ↑ Brittain, James E. (1990年3月). "テブナンの定理". IEEE Spectrum . 27 (3): 42. doi : 10.1109/6.48845 . S2CID 2279777 . 1 2 Dorf, Richard C. ; Svoboda, James A. (2010). 「第 5 章: 回路定理」 『電気回路入門 』 （第 8 版）. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons . pp. 162–207 . ISBN 978-0-470-52157-1 。↑ ブレンナー、イーゴン；ジャヴィッド、マンスール（1959）。「第12章：ネットワーク関数」。 電気回路の解析 。 マグロウヒル。pp . 268–269 。 ↑ Elgerd, Olle Ingemar [ドイツ語] (2007). 「第10章：エネルギーシステムの過渡現象 - サージ 現象 と対称故障解析」 『電気エネルギーシステム理論入門』 Tata McGraw-Hill 、pp. 402–429。ISBN 978-0-07019230-0 。↑ ドワイト、ハーバート・ブリストル (1949)。「第 2 節: 電気回路と磁気回路」。アーチャー E. ノールトン (編)『 電気技術者のための標準ハンドブック (第 8 版)』 マグロウヒル 、p. 26。 ↑ マロベルティ、フランコ；デイヴィス、アンソニー C. (2016). 回路とシステムの短い歴史 . デルフト：リバー・パブリッシャーズ. p. 37. ISBN 978-87-93379-71-8 。↑ キルヒホッフ、グスタフ (1848)。 "Ueber die Anwendbarkeit der Formeln für die Intensitäten der galvanischen Ströme in einem Systeme Linear Leiter auf Systeme, die zum Theil aus nicht Linearen Leiter bestehen" [ 線形導体のシステムにおけるガルバニ電流の強度の公式の、部分的に非線形導体で構成されるシステムへの適用性について ] 。 Annalen der Physik und Chemie (ドイツ語)。 75 (10): 189–205 。 Bibcode : 1848AnP...151..189K 。 土井 ： 10.1002/andp.18481511003 。 ↑ Starr, AT (1933). "アクティブネットワークの新しい定理" . Journal of the Institution of Electrical Engineers . 73 (441): 303– 308. doi : 10.1049/jiee-1.1933.0129 .
さらに読む Wenner, Frank (1926). 「線状導体系における電流分布を支配する原理」。物理学会紀要 39 (1) .ワシントン DC:標準局 : 124–144 . Bibcode : 1926PPS....39..124W . doi : 10.1088/0959-5309/39/1/311 . hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Scientific Paper S531. 一次フィルタ: テブナン等価電源によるショートカット– 4 ページでは、複雑な回路のテブナンの定理の一次ローパスフィルタ と関連する電圧分圧器 、時定数 、ゲイン への簡略化を示しています。
外部リンク ウィキメディア・コモンズにある テブナンの定理に関連するメディア 
ウィキメディア・コモンズにあるテブナンの定理に関連するメディア
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \オメガ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f4e9c7c5da8fa9eb1424374b009ea92ba0794e)
