行列式点過程

数学において、行列式点過程は確率分布が何らかの関数の行列式として特徴付けられる確率的点過程である。これらは、全体的な負の相関関係をモデル化したり、サンプリング、周辺化、条件付け、その他の推論タスクの効率的なアルゴリズムに適しています。このようなプロセスは、ランダム行列理論、組合せ論、物理学、^[1]機械学習、^[2]および無線ネットワークモデリングにおいて重要なツールとして登場します。^{[3] [4] [5]}

1 次元の箱 に閉じ込められた正に帯電した粒子を考えます。静電反発力により、帯電粒子の位置は負の相関関係にあります。つまり、1 つの粒子が小さなセグメント 内にある場合、他の粒子が同じセット内にある可能性は低くなります。位置 にある 2 つの粒子間の反発力の強さは、関数 によって特徴付けることができます。 ${\displaystyle [-1,+1]}$${\displaystyle [x,x+\delta x]}$${\displaystyle x,x'}$${\displaystyle K(x,x')}$

を局所コンパクトポーランド空間とし、を 上のラドン測度とします。ほとんどの具体的な応用では、これらはルベーグ測度を持つユークリッド空間です。カーネル関数は測定可能な関数です。 ${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K:\Lambda ^{2}\to \mathbb {C} }$

が上の単純点過程であり、その結合強度関数または相関関数（その階乗モーメント測度の密度）が次式で与えられるとき、 は上の核を持つ行列式点過程であると言う。${\displaystyle X}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}}$

_任意のn≥1およびx1 _, ..., xn∈Λに対して。^[6]

_{強度 ρ k}を持つ行列式ランダム点過程が存在するためには、次の 2 つの条件が必要かつ十分である。

• 対称性: ρ _{k は}対称群 S _kの作用に対して不変である。したがって:$${\displaystyle \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\quad \forall \sigma \in S_{k},k}$$
• 正値性: 任意のNと、コンパクトなサポートを持つ測定可能な有界関数の任意の集合、k = 1, ..., Nに対して:${\displaystyle \varphi _{k}:\Lambda ^{k}\to \mathbb {R} }$
  もしも^[7 ]$${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ すべての }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}} に対して$$ $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ すべての }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}} に対して$$

結合強度ρk_を持つ行列式ランダム過程の一意性のための十分条件は、 すべての有界ボレルA⊆Λに対してである 。^[7]$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=\infty }$$

ガウスユニタリーアンサンブル（GUE）から抽出されたランダムなm  ×  mエルミート行列の固有値は、カーネルを持つ 行列式点過程を形成する。${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)}$

ここで、番目の振動子波動関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \psi _{k}(x)}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \psi _{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2n}}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}}$$

は番目のエルミート多項式である。 ^[8]${\displaystyle H_{k}(x)}$${\displaystyle k}$

エアリー過程は核関数を持ち、ここで はエアリー関数である。この過程はガウスユニタリーアンサンブルのスペクトル端付近の再スケールされた固有値から生じる。1992年に導入された。^[9]$${\displaystyle K^{\mathrm {Ai} }(x,y)={\frac {\オペレータ名 {Ai} (x)\オペレータ名 {Ai} ^{\prime }(y)-\オペレータ名 {Ai} ( y)\オペレーター名 {Ai} ^{\プライム }(x)}{xy}}}$$${\displaystyle \operatorname {Ai} }$

整数分割上のポアソン化プランシュレル測度（したがってヤング図上）は、ランダム順列の最長増加部分列の研究において重要な役割を果たします。修正フロベニウス座標で表現されたランダムヤング図に対応する点過程は、離散ベッセル核を持つ+ 1 ⁄ 2上の行列式点過程であり、次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}(|x|,|y|)}{|x|-|y|}}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}(|x|,|y|)}{xy}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}}$$ ここで J は第一種ベッセル関数、θはポアソン化に用いられる平均である。^[10]$${\displaystyle k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})-J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }}),}$$ $${\displaystyle k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})}$$

これは、非エルミート核を持つ明確に定義された行列式点過程の例である（ただし、正負の半軸への制限はエルミートである）。^[7]

G を辺集合E を持つ有限で無向な連結グラフとする。I e : E → ℓ 2 (E) を次のように定義する。まず辺 E の^{任意の向きの集合を選択し、結果として得られる向き付けられた辺 e ごとに、I e を e に沿った単位フローの ℓ 2} (E)^の星型フローが張る部分空間への射影として定義する。^[ 11 ]すると^、 Gの一様^ランダム全域木はE上の決定論的点過程となり、核は

${\displaystyle K(e,f)=\langle I^{e},I^{f}\rangle ,\quad e,f\in E}$^[6 ]

• ヨハンソン、カート (2006)。コース 1 - ランダム行列と決定過程。レ・ズッシュ。 Vol. 83.エルゼビア。土井：10.1016/s0924-8099(06)80038-7。ISSN  0924-8099。