キャビティ法

キャビティ法は、統計物理学におけるいくつかの平均場型モデルを導出して解くための数学的手法であり、特に無秩序系に適応しており、 1987年にマーク・メザール、ジョルジオ・パリシ、ミゲル・アンヘル・ビラソロによって発表された^[1] 。この手法は、多くの凝縮系や最適化問題における基底状態の特性を計算するために使用されている。

キャビティ法は当初、スピングラスのシェリントン-カークパトリックモデルを扱うために発明されましたが、より広い適用性を示しています。これは、ツリー状グラフにおけるベーテ-パイエルス反復法を、ループが短すぎないグラフの場合に一般化したものと考えることができます。キャビティ法は、レプリカトリックを使用しても解決できる多くの問題を解決できますが、レプリカベースの方法よりも直感的で数学的に複雑でないという利点があります。

キャビティ法は、非熱力学的数の構成要素を追加して大規模なシステムを摂動させ、システム全体の応答を摂動的に近似することによって行われます。結果として得られる近似を適用し、特定の観測量が自己平均化されるという仮定を加えると、追加された構成要素の統計に対する自己無撞着方程式が得られます。追加された構成要素は、平均場変数と見なされます。

キャビティ法は、k-充足可能性やグラフ彩色などの最適化問題を解決するのに有効であることが証明されています。平均ケースでの基底状態のエネルギー予測をもたらしただけでなく、アルゴリズム手法にも影響を与えました。

キャビティ法は統計物理学の分野で生まれましたが、ビリーフプロパゲーションなどの他の分野の方法とも密接に関連しています。

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