割り算（数学）

割り算は算数の 4 つの基本演算の 1 つです。他の演算は、加算、減算、乗算です。割られるものは被除数と呼ばれ、それを除数で割った結果が商と呼ばれます。

基本的なレベルでは、2つの自然数の除算は、他の解釈も可能であるが、ある数が別の数に含まれる回数を計算するプロセスである。^{[1] : 7}たとえば、20個のリンゴを4人で均等に分けると、全員が5個のリンゴを受け取る（図を参照）。ただし、この回数や含まれる数（除数）は整数である必要はありません。

2 つの自然数の剰余付き除算、つまりユークリッド除算では、整数の商（ 2 番目の数が 1 番目の数に完全に含まれる回数）と、剰余（商を計算する過程で 2 番目の数のサイズの完全なチャンクをこれ以上割り当てることができなくなったときに残る 1 番目の数の部分）が得られます。たとえば、21 個のリンゴを 4 人で分けると、全員が再び 5 個のリンゴを受け取り、1 個のリンゴが残ります。

割り算が常に整数商プラス余りではなく 1 つの数になるためには、自然数を有理数または実数に拡張する必要があります。これらの拡張された数体系では、割り算は乗算の逆演算です。つまり、bが 0 でない限り、 a = c / b はa × b = cを意味します。 b = 0の場合、これはゼロ除算ですが、これは定義されていません。^{[a] [4] : 246} 21 個のリンゴの例では、全員が 5 個のリンゴと 1/4 個のリンゴを受け取り、余りが出ないようにします。

どちらの形式の除算も、さまざまな代数構造、つまり数学的構造を定義するさまざまな方法に現れます。ユークリッド除算 (剰余あり) が定義されているものはユークリッド領域と呼ばれ、1 つの不定元に多項式環(一変数の式での乗算と加算を定義する) が含まれます。すべての非ゼロ元による除算 (単一の結果を持つ) が定義されているものは、体と除算環と呼ばれます。環では、除算が常に可能な元は単位(たとえば、整数の環における 1 と -1)と呼ばれます。除算を代数構造に一般化したもう 1 つの例は商群で、この群では「除算」の結果は数ではなく群になります。

割り算を最も簡単に見る方法は、引用と分割の観点から見ることです。引用の観点から見ると、20 / 5 は、20 を得るために追加する必要がある 5 の数を意味します。分割の観点から見ると、20 / 5 は、サイズ 20 のセットが 5 つの部分に分割される各部分のサイズを意味します。たとえば、20 個のリンゴは 4 個のリンゴの 5 つのグループに分割されます。これは、「20 を 5 で割ると 4 になる」ことを意味します。これは、20 / 5 = 4、または⁠と表されます。20/5⁠ = 4。 ^[2]この例では、20が被除数、5が除数、4が商です。

他の基本的な演算とは異なり、自然数を割る場合、割られる数に均等に入らない余りが生じることがあります。たとえば、 10は3の倍数ではないため、10 / 3の余りは1になります。この余りは小数部分として商に加算されることもあり、10 / 3は3に等しくなります。+1/3⁠または3.33...ですが、小数部を持たない整数の除算の文脈では、余りは別途保持されます（または例外的に、破棄されるか丸められます）。 ^[5]余りを分数として保持すると、有理数になります。すべての有理数の集合は、整数を整数の除算のすべての可能な結果で拡張することによって作成されます。

掛け算や足し算とは異なり、割り算は可換ではありません。つまり、 a / b は常に b / a に等しいわけではありません。[ 6 ]また、割り算は一般^に結合法則ではありません。つまり、複数回割る場合、割り算の順序によって結果が変わる可能性があります。^[7]たとえば、(24 / 6) / 2 = 2ですが、24 / (6 / 2) = 8 です（ここで括弧を使用しているため、括弧内の演算は括弧外の演算よりも先に実行されます）。

割り算は伝統的に左結合であると考えられています。つまり、連続して複数の割り算がある場合、計算の順序は左から右になります。^{[8] [9]}

${\displaystyle a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.}$

割り算は、加算と減算に対して 右分配的である。

${\displaystyle {\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.}$

これは乗算でも同様です。しかし、除算は左分配的ではありません。 ${\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c}$

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.}$   例えば 、${\displaystyle {\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,}$${\displaystyle {\frac {12}{2}}+{\frac {12}{4}}=6+3=9.}$

これは、左分配的かつ右分配的であり、したがって分配的である乗算の場合とは異なります。

代数学や科学では、除算は、被除数を除数の上に置き、その間に分数線とも呼ばれる水平線を置くことで表されることが多いです。たとえば、「a をbで割る」は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

これは、「 a をbで割る」または「a をbで割る」と読み上げることもできます。割り算をすべて 1 行で表すには、次のように、被除数(または分子)、スラッシュ、除数(または分母) の順に書きます。

${\displaystyle a/b}$

これは、 ASCII文字の単純なシーケンスとして簡単に入力できるため、ほとんどのコンピュータプログラミング言語で除算を指定する一般的な方法です。(これは、抽象代数における商オブジェクトに使用される唯一の表記法でもあります。) MATLABやGNU Octaveなどの一部の数学ソフトウェアでは、バックスラッシュを除算演算子として使用して、オペランドを逆の順序で記述できます。

${\displaystyle b\backslash a}$

これら 2 つの形式の中間の印刷上のバリエーションでは、分数スラッシュ(斜線) を使用しますが、被除数は上がり、除数は下がります。

${\displaystyle {}^{a}\!/{}_{b}}$

これらの形式はいずれも分数の表示に使用できます。分数は、被除数と除数が両方とも整数(通常は分子と分母と呼ばれます) である除算式であり、除算をさらに評価する必要はありません。除算を示す 2 つ目の方法は、算術でよく使用される除算記号(÷、この用語には他の意味もありますが、オベルスとも呼ばれます) を次のように使用することです。

${\displaystyle a\div b}$

この形式は初等算術以外ではまれである。ISO 80000-2 -9.6では使用すべきではないと規定されている。この除算記号は、たとえば電卓のキーのラベルのように、除算演算自体を表すために単独で使用されることもある。オーベルスは、1659年にスイスの数学者ヨハン・ラーンが『ドイツ代数学』で導入した。^{[10] : 211} ÷記号は一部のヨーロッパ諸国では​​減算を表すために使用されているため、その使用法が誤解される可能性がある。^[11]

英語圏以外の国では、コロンを使って区切りを表すことがあります。^[12]

${\displaystyle a:b}$

この表記法はゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが1684年に著した『学問の記録』で導入された。^{[10] : 295}ライプニッツは比と除算に別々の記号を使うことを好まなかった。しかし、英語ではコロンは比という関連する概念を表現するためにのみ使われている。

19世紀以来、米国の教科書では、特に長除法を議論する際に、 aをbで割ることを示すためにまたはが使用されてきた。この表記法は時間の経過とともに進化したため、その歴史は完全には明らかではない。^[13]${\displaystyle b)a}$${\displaystyle b{\overline {)a}}}$

割り算は、多くの場合、一組の物体、例えばキャンディーの山をいくつかの均等な部分に「分ける」という概念を通じて導入されます。各ラウンドで一度に複数の物体を各部分に分配すると、「チャンキング」という概念が生まれます。これは、除数の倍数を被除数自体から繰り返し減算する割り算の形式です。

特定の段階で部分剰余が許可する倍数よりも多くの倍数を減算できるようにすることで、チャンキングの双方向バリアントなどのより柔軟な方法も開発できます。

より体系的かつ効率的に、2 つの整数を鉛筆と紙で割るには、除数が小さい場合は短除法、除数が大きい場合は長除法を使用します。被除数が小数部分 (小数として表される) を持つ場合は、1 の位を超えて好きなだけ手順を続けることができます。除数が小数部分を持つ場合は、両方の数値の小数を右に移動して除数が小数部でなくなるまで問題を言い換えることができます。これにより、問題が解きやすくなります (例: 10/2.5 = 100/25 = 4)。

割り算はそろばんを使って計算できる。^[14]

対数表を使用すると、2 つの数値の対数を減算し、その結果の 真数を調べることで、2 つの数値を除算できます。

割り算は、C スケールの除数を D スケールの被除数に合わせることで計算尺で計算できます。商は、C スケールの左のインデックスに合わせられた D スケールで見つけることができます。ただし、小数点の位置を頭の中で把握するのはユーザーの責任です。

現代の計算機やコンピュータは、長除算に似た方法、またはより高速な方法で除算を計算します。除算アルゴリズムを参照してください。

モジュラー演算（素数を法とする）および実数では、非ゼロ数は逆数を持ちます。このような場合、 xによる除算はxの逆数による積として計算されることがあります。このアプローチは、コンピューター演算のより高速な方法と関連付けられることがよくあります。

ユークリッド除算は、整数の通常の除算の結果を数学的に定式化したものです。これは、被除数 a と除数 b （ b ≠ 0 ）の 2 つの整数が与えられたとき、商qと剰余rが一意に存在し、a = bq + rかつ0 ≤ r < | b |（| b |はbの絶対値を表す）が成立することを主張しています。

整数は割り算に対して閉じていません。ゼロによる割り算は定義されていないことに加え、被除数が除数の整数倍でない限り、商は整数ではありません。たとえば、26 を 11 で割っても整数にはなりません。このような場合は、次の 5 つの方法のいずれかを使用します。

1. 26 は 11 で割り切れないとすると、割り算は部分関数になります。
2. おおよその答えを浮動小数点数として与えます。これは数値計算で通常使用される方法です。
3. 答えを有理数を表す分数として与えてください。したがって、26 を 11 で割った結果は になります(または帯分数として与えてください。したがって)。通常、結果として得られる分数は簡略化する必要があります。つまり、52 を 22 で割った結果も になります。この簡略化は、最大公約数 を因数分解することで行うことができます。${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.}$${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$
4. 答えを整数の商と余りとして与えてください。前の場合と区別するために、結果として 2 つの整数が得られるこの除算は、ユークリッドの互除法の基礎となるため、ユークリッド除算と呼ばれることもあります。${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.}$
5. 答えとして整数商を与えると、これはケース 2 または 3 に適用されるfloor 関数です。これは整数除算と呼ばれることもあり、「//」で表されます。${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2.}$

コンピュータ プログラムで整数を割る場合は、特別な注意が必要です。一部のプログラミング言語では、整数の割り算を上記のケース 5 のように扱うため、答えは整数になります。MATLABやすべてのコンピュータ代数システムなどの他の言語では、上記のケース 3 のように、答えとして有理数が返されます。これらの言語では、他のケースの結果を直接取得するか、ケース 3 の結果から取得する関数も提供されています。

整数除算に使用される名前と記号には、div、/、\、% などがあります。被除数または除数が負の場合の整数除算については定義が異なります。丸めはゼロ方向 (いわゆる T 除算) または-∞方向(F 除算) になります。よりまれなスタイルが発生することもあります。詳細については、 モジュロ演算を参照してください。

割り切れる規則は、ある整数が別の整数と正確に割り切れるかどうかを素早く判断するために使用されることがあります。

2つの有理数を割った結果は、除数が0でない場合、別の有理数になります。2つの有理数p / qとr / sの割り算は次のように計算できます。 $${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.}$$

4 つの量はすべて整数であり、pのみが 0 になることができます。この定義により、除算は乗算の逆演算であることが保証されます。

2 つの実数を割ると、別の実数になります (除数が 0 以外の場合)。a = cbかつb ≠ 0の場合に限り、a / b = c と定義されます。

2 つの複素数を割ると(除数が 0 以外の場合)、分母の共役を使用して求められる別の複素数が生成されます。 $${\displaystyle {p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.}$$

この掛け算と割り算のプロセスは、「実現」または（類推により）合理化と呼ばれます。4 つの量p、q、r、s はすべて実数であり、rとs の両方が 0 になることはできません。 ${\displaystyle r-is}$

極形式で表現された複素数の除算は、上記の定義よりも簡単です。 $${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.}$$

繰り返しますが、4 つの量p、q、r、s はすべて実数であり、r は0 ではない可能性があります。

体上の 1 つの変数の多項式の除算演算を定義できます。すると、整数の場合と同様に、剰余が得られます。多項式のユークリッド除算を参照してください。手書きの計算については、多項式の長除算または合成除算を参照してください。

行列の除算演算を定義することができます。これを行う通常の方法は、A / B = AB ⁻¹を定義することです。ここで、B ^{−1 は}Bの逆数を表しますが、混乱を避けるためにAB ^{−1 を}明示的に記述する方がはるかに一般的です。要素ごとの除算は、アダマール積で定義することもできます。

行列の乗算は可換ではないため、左除算、いわゆるバックスラッシュ除算をA \ B = A ⁻¹ Bとして定義することもできます。これが適切に定義されるためには、B ^{−1 が}存在する必要はありませんが、A ^{−1 は}存在する必要があります。混乱を避けるために、この文脈では、 A / B = AB ⁻¹で定義される除算は、右除算またはスラッシュ除算と呼ばれることがあります。

左除算と右除算をこのように定義すると、一般にA / ( BC )は( A / B ) / Cと同じではなく、( AB ) \ CはA \ ( B \ C )と同じではありません。ただし、 A / ( BC ) = ( A / C ) / Bであり、( AB ) \ C = B \ ( A \ C )であることが当てはまります。

A ⁻¹および/またはB ^{−1 が}存在しない場合に問題を回避するために、除算は擬似逆数による乗算として定義することもできます。つまり、A / B = AB ⁺およびA \ B = A ⁺ Bであり、ここでA ⁺およびB ^{+ は}AおよびBの擬似逆数を表します。

抽象代数では、二項演算 ∗ (名目上は乗算と呼ぶことができる) を伴うマグマが与えられたとき、 bをaで左割り算( a \ bと表記) することは、方程式a ∗ x = bの解xとして定義されるのが典型的である(これが存在し、一意である場合)。同様に、bをaで右割り算( b / aと表記) することは、方程式y ∗ a = bの解yである。この意味での割り算では、 ∗ が特定の特性 (交換法則、結合法則、単位元など) を持つことは要求されない。a \ bとb / aの両方が存在し、すべてのaとすべてのbに対して一意である(ラテン方陣特性) マグマは準群である。準群では、単位元がなく、したがって逆元がなくても、この意味での割り算は常に可能である。

「相殺」という意味での「除算」は、相殺特性を持つ要素によって任意のマグマで実行できます。例としては、行列代数、四元数代数、および準群が含まれます。すべての要素が逆を持つ必要がない積分領域では、相殺要素aによる除算は、形式abまたはcaの要素に対して、それぞれ左または右の相殺によって実行できます。環が有限で、すべての非ゼロ要素が相殺的である場合、鳩の巣原理を適用することにより、環のすべての非ゼロ要素は可逆であり、任意の非ゼロ要素による除算が可能です。代数(技術的な意味で) に除算演算がある場合については、除算代数のページを参照してください。特に、ボット周期性を使用して、任意の実数ノルム除算代数が、実数R、複素数C、四元数H、または八元数Oのいずれかと同型でなければならないことを示すことができます。

2つの関数の商の導関数は商の法則によって与えられます。 $${\displaystyle {\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.}$$

ほとんどの数学システムでは、任意の数をゼロで割ることは定義されていません。なぜなら、任意の有限数をゼロで乗じると、常に積がゼロになるからです。[ ^{15]ほとんどの}計算機にこのような式を入力すると、エラーメッセージが表示されます。ただし、特定の高レベル数学では、ゼロリングやホイールなどの代数によってゼロ除算が可能です。^[16]これらの代数では、除算の意味は従来の定義とは異なります。

Wikisource には、 1905 年の新国際百科事典の記事「数学における除算」のテキストがあります。

• 400年孫子の除算アルゴリズム
• 2で割る
• ギャレー部門
• 逆要素
• 演算の順序
• 循環小数
• 除算の規則（組合せ論）

• プラネットマス部門
• そろばんの割り算（『そろばん：珠の謎』より抜粋）
• 中国の短割法（スアンパン）