ニコルズ代数

代数学において、編み込みベクトル空間（編み込みは有限群によって誘導されることが多い）のニコルス代数は、数学者ウォーレン・ニコルズによって表記され、その名にちなんで名付けられた編み込みホップ代数である。これは、量子群やそのよく知られた有限次元切断などの尖端ホップ代数^[1]の量子ボレル部分の役割を果たす。ニコルス代数は、ラドフォードの副積^[1]を使用して、そのような新しい量子群をすぐに書き下すために使用できる。${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

このようなニコルス代数や関連する量子群（応用を参照）の分類は急速に進んでいますが、まだ多くのことが未解決です。アーベル群の場合は2005年に解決されましたが、^{[2]それ以外の場合、この現象は非常にまれであるようで、少数の例が知られており、強力な否定基準が確立されています（以下を参照）。}有限次元ニコルス代数の一覧も参照してください。

有限次元理論はルート系とディンキン図の理論によって大きく左右されるが、これは半単純リー代数の理論と驚くほど似ている。^[3]包括的な入門書はヘッケンバーガーの講義にある。^[4]

Yetter–Drinfeld カテゴリのYetter–Drinfeld 加群Vを考えます。これは特に編組ベクトル空間です。編組モノイド カテゴリを参照してください。 ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$

イェッター・ドリンフェルト加群のテンソル代数は 常に編組ホップ代数である。 の余積と余単位は、の要素が原始的であるように定義され 、つまりすべての${\displaystyle テレビ}$${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle テレビ}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

${\displaystyle \epsilon (v)=0}$

ニコルス代数は、ホップ代数構造に焦点を当てたものや、より組み合わせ的なものなど、いくつかの同等の特徴付けによって一意に定義できます。いずれにしても、ニコルス代数を明示的に決定すること (有限次元であるかどうかを決定することさえ) は非常に難しく、いくつかの具体的な例では未解決です (以下を参照)。

を編み込みベクトル空間とすると、任意の に対して編み込み群の作用があり、転置はとして作用することを意味します。明らかに対称群への準同型性がありますが、これは切断を許さず、一般に への作用はこれを因数分解しません。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (i,i+1)}$${\displaystyle id\otimes \cdots \otimes \tau \otimes id\cdots id}$${\displaystyle \pi :\mathbb {B} _{n}\to \mathbb {S} _{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

それにもかかわらず、転置を転置と任意の元に任意の簡約表現を介して送る集合論的セクションを考えてみましょう。これは群準同型ではありませんが、松本の定理（群論）は、任意の のへの作用は簡約表現の選択とは独立に明確に定義されていることを示しています。最終的にニコルス代数は ${\displaystyle s:\mathbb {S} _{n}\to \mathbb {B} _{n}}$${\displaystyle s(\sigma )}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{n}:=\sum _{\sigma \in \mathbb {S} _{n}}s(\sigma ):\;\;V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\qquad {\text{(量子対称化器または量子シャッフルマップ)}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}/Ker({\mathfrak {W}}_{n})}$

この定義は後に（しかし独立して）Woronowicz によって与えられました。代数的証明ではほとんど役に立たないという欠点がありますが、それ自体が直感を表しており、非常に明確でホップ代数の表記法から独立しているという教育上の利点があります。

ニコルズ代数は、が唯一の原始元 であるような、与えられた によって生成される編組カテゴリ内の唯一のホップ代数です。${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$${\displaystyle V\subset {\mathfrak {B}}(V)}$

これはニコルズによるオリジナルの定義であり、ホップ代数の分類における基本概念としてのニコルズ代数の役割を非常に明確にしています。

とします。次の特性を持つ 最大イデアルが存在します。${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset TV}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset \bigoplus _{n=2}^{\infty }T^{n}V,}$

${\displaystyle \Delta ({\mathfrak {I}})\subset {\mathfrak {I}}\otimes TV+TV\otimes {\mathfrak {I}}}$（これは自動です）

ニコルズ代数は

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=TV/{\mathfrak {I}}}$

一意のホップペアリングは、次の非退化ホップペアリングに因数分解され、この事実はニコルス代数を一意に特徴付けます。この理論的に非常に役立つ特徴付けは、Lusztig によるものです。 ${\displaystyle V\otime TV^{*}\to k}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\to k}$

これは、前の定義を多少明示的にしたものです。同次基底（つまり、共作用/漸化）を選択すると、テンソル代数の普遍的性質を使用して、 歪んだ微分を定義できます。${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle v_{i}\mapsto g_{i}\otimes v_{i}}$ ${\displaystyle \partial_{i}}$

${\displaystyle \partial_{i}(1)=0\quad \partial_{i}(v_{j})=\delta_{ij}}$

${\displaystyle \partial _{i}(ab)=a\partial _{i}(b)+\partial _{i}(a)(g_{i}.b)}$

すると、ニコルス代数は、定数を含まず、すべての微分に対して不変である最大の同次イデアルによるの商になります。大まかに言えば、すべての歪微分核の要素を探してこれらを除算し、次にすべての歪微分核に現在あるすべての要素を再度探して同様に除算します。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$${\displaystyle TV}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle TV}$

有限次元ニコルズ代数の例を示す。特性pでは、この効果は非編組状況、つまり p 制限リー代数の切断された普遍包絡ですでに現れる可能性がある。特性 0 で、アーベル群から来る編組では、これは同様に頻繁に発生するようである (ただし、より複雑である。分類を参照)。一方、 G非アーベルについては、これまでのところ非常に少数の例しか知られておらず、強力な否定基準により多くの群が除外される (分類を参照)。

最初の例として、巡回群が乗法的に表記され（代数では通常通り）、あるgによって生成される、群ホップ代数H = k [ Z /2 Z ]上の1 次元 Yetter-Drinfeld 加群を考えます。 ${\displaystyle V_{\pm }=kx}$

• をH共作用（またはZ /2 Z漸増）としてとります。${\displaystyle V_{\pm }}$${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• に対するH作用（またはZ /2 Z作用）として以下をとります。${\displaystyle V_{\pm }}$${\displaystyle g\otimes x\mapsto \pm x}$
• このように編み込みは${\displaystyle x\otimes x\rightarrow \pm x\otimes x}$

すると、符号の選択に応じて、ニコルス代数は次のようになります。

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{+})=k[x]\qquad {\mathfrak {B}}(V_{-})=k[x]/(x^{2})}$

最初のものは予想どおり (編組されていないケース) ですが、2 番目は有限次元になるまで切り捨てられていることに注意してください。同様に、 k内の何らかのqによって作用するg を持つ高次の巡回群上のV _{q は}、 q ≠ 1 が原始的なn乗根である場合にニコルズ代数を持ち、そうでない場合はニコルズ代数を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]/(x^{n})}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]}$

（物理的な観点からは、 V _{+ は}ボソンに対応し、 V _{– は}パウリの排他原理によって制限されたフェルミオンを表します。編組交換子を考慮するときにも類似性は繰り返され、これらのケースでは（反）交換子です。量子群としての超対称性とその議論も参照してください）

次の例は、2つの基底要素の相互作用を示しています。群ホップ代数H = k [ Z /2 Z × Z /2 Z ]上の2次元 Yetter-Drinfeld 加群V _0,1 = kx ⊕ ky を考えます。このとき、クラインの4群は乗法的に表記され、あるg,hによって生成されます。

• V _0,1上のH共作用/漸化式としてとり、${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• V _0,1上のH作用（またはZ /2 Z作用）として以下をとります。
  • ${\displaystyle g\otimes x\mapsto -x}$
  • ${\displaystyle g\otimes y\mapsto +y}$
  • ${\displaystyle h\otimes y\mapsto -y}$
  • ${\displaystyle h\otimes x\mapsto \pm x}$V ₀ (対称)の場合は「+」 、 V ₁ (非対称)の場合は「–」
• このように編み込みは
  • ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow -x\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes y\rightarrow -y\otimes y}$
  • ${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes x\rightarrow \pm x\otimes y}$

すると、符号の選択に応じて、ニコルス代数は次元 4 と 8 になります (これらは の分類に現れます)。 ${\displaystyle q_{12}q_{21}=\pm 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{0})=k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy+yx),}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{1})=k[x]/(x^{2},y^{2},xyxy+yxyx)}$

半単純リー代数との著しい類似性が見られます。最初のケースでは、編組交換子[ x、y ] (ここでは反交換子) はゼロですが、2 番目のケースでは、ルート文字列の方が長く [ x、 [ x、y ]] = 0 です。したがって、これら 2 つはDynkin 図 と A ₂に属します。 ${\displaystyle A_{1}\cup A_{1}}$

また、ディンキン図B ₂、 G ₂に対応するさらに長いルート文字列V ₂、V ₃を持つ例も作成します（ただし、これより高次のものは作成しません）。

ニコルズ代数は、量子群とその一般化のボレル部分として最もよく知られている。より正確には、

${\displaystyle V:=x_{1}\mathbb {C} \oplus x_{2}\mathbb {C} \oplus \cdots \oplus x_{n}\mathbb {C} }$

アーベル群上の対角イェッター・ドリンフェル加群で ある。${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} ^{n}=\langle K_{1},\ldots ,K_{n}\rangle }$

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}\qquad q_{ij}:=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}}$

が半単純（有限次元）リー代数のキリング形式である場合、ニコルス代数はルスティグの小量子群の正の部分である。 ${\displaystyle (\alpha _{i},\alpha _{j})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)=u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$

ヘッケンバーガーのリストにはリー代数よりも対角ニコルス代数が多く、ルートシステム理論は体系的ですがより複雑です (以下を参照)。特に、スーパーリー代数の分類 (以下の例) や、特定の有限特性にのみ現れる特定のリー代数とスーパーリー代数も含まれています。

したがって、ニコルズ代数理論とルートシステム理論は、これらの概念に統一された枠組みを提供します。

これまでのところ、 k = C上の有限次元ニコルズ代数はほんの一握りしか知られていない。この場合、各既約 Yetter–Drinfeld 加群は、群の共役類(およびgの中心化子の既約表現)に対応することが知られている。任意の Yetter–Drinfeld 加群はそのような の直和であり、加数の数は階数と呼ばれ、各加数はDynkin 図の陽極 に対応する(以下を参照)。上記のようなアーベル群では、既約加数は 1 次元であるため、階数と次元は一致することに留意されたい。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

特定の例としては、コクセター群の反射の共役類に関連付けられたニコルス代数があり、これらはフォミン・キリロフ代数と関連しています。これらのニコルス代数は に対して有限次元であることが知られていますが、このケースは2000 年以来すでに未解決です。別のクラスの例は、図式自己同型による折り畳みによってアーベルの場合から構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {S} _{3},\mathbb {S} _{4},\mathbb {S} _{5},\mathbb {D} _{4}}$${\displaystyle \mathbb {S} _{6}}$

私たちの知る限りの 有限次元ニコルス代数のリストについては、ここを参照してください。

非常に注目すべき特徴は、すべてのニコルス代数（十分な有限性条件の下で）に対して、ニコルス代数を制御するルートの集合を持つ一般化ルート系が存在することです。これは、^[5]で双特性に関して対角ニコルス代数に対して、また^[6]で一般の半単純ニコルス代数に対して発見されました。リー代数で知られている通常の結晶学的ルート系とは対照的に、同じ一般化ルート系は、異なるカルタン行列と異なるディンキン図を持つ、正のルートの集合と単純正のルートの非同等な選択に対応する、複数の異なるワイル室を持つことができます。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle q_{ij}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi =\Phi ^{+}\cup -\Phi ^{+}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

異なるワイル チェンバーは、実際には、ワイル同値と呼ばれる異なる非同型ニコルス代数に対応します。量子群は、ここではすべてのボレル部分が同型であるという事実に関して非常に特殊です。それでも、この場合でも、ルスティッヒの反射演算子はホップ代数同型で はありません。${\displaystyle T_{s}}$

正式な根拠に基づいて、順位がどこにあるかを見てみましょう。 ${\displaystyle I=\{1,\ldots n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

まず、一般化されたカルタングラフについて議論する: ^[6]

• 一般化カルタン行列は、 次のような積分行列である。 ${\displaystyle c_{ij},\;\;i,j\in I}$
  • ${\displaystyle c_{ii}=2,\quad c_{ij}<0}$
  • ${\displaystyle c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0}$
• カルタングラフは、オブジェクト/チャンバーの集合によってパラメータ化されたカルタン行列の集合であり、次のような（オブジェクト変更）射を伴う。 ${\displaystyle c_{ij}^{a},\;\forall a\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle r_{i}:A\to A}$
  • ${\displaystyle r_{i}^{2}=id}$
  • ${\displaystyle c_{ij}^{a}=c_{ij}^{r_{i}(a)}}$
• マップを定義する

${\displaystyle s_{i}^{a}:\mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{I}}$

${\displaystyle s_{i}^{a}:\;\alpha _{j}\mapsto \alpha _{j}-c_{ij}^{a}\alpha _{i}}$

（リー代数の文献には、例えばハンフリーの本のように、 の転置規則もあることに注意）${\displaystyle c_{ij}}$

• ワイル群は、オブジェクトと射を持つカテゴリであり、正式には${\displaystyle A}$${\displaystyle Hom(a,b)}$${\displaystyle s_{i}^{a}:a\to r_{i}(a)}$
• 実根の集合 は、${\displaystyle \Phi _{a}^{+}}$${\displaystyle \{id^{a}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}(\alpha _{j})\,|\,k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\dots ,i_{k},j\in I\}\subseteq \mathbb {N} ^{I}}$
• 定義する、${\displaystyle m_{i,j}^{a}=|\Phi ^{a}\cap (\mathbb {N} _{0}\alpha _{i}+\mathbb {N} _{0}\alpha _{j})|}$
• すると、型のルートシステムは 集合である ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (c_{i,j}^{a})_{a\in A}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}=\Phi _{+}^{a}\cup -\Phi _{+}^{a}}$と${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\Phi ^{a}\cap \mathbb {N} _{0}^{I}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}\cap \mathbb {Z} \alpha _{i}=\{\alpha _{i},-\alpha _{i}\}}$
  • ${\displaystyle s_{i}^{a}(\Phi ^{a})=\Phi ^{r_{i}(a)}}$
  • 有限の場合${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}^{a}}(a)=a}$

^[7]では、ワイル群は結晶学的超平面配置と1:1で対応していることが示された。これらは、原点と法線ベクトルの選択を通る内の超平面の集合であり、法線ベクトルを持つ超平面で囲まれたすべての単体チャンバーに対して、他の選択された法線ベクトルはすべての整線形結合として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha _{1}^{\perp },\ldots \alpha _{n}^{\perp }}$${\displaystyle \alpha ^{\perp }}$${\displaystyle \alpha _{i}^{\perp }}$

^[8]では、すべての有限結晶学的超平面配置（したがって有限ワイル群または有限一般化ルートシステム）の集合が分類されています。反射配置とは別に、さらに1つの無限族と、ランクが までの例外が合計74個あります。 ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$${\displaystyle 8}$

通常のリー型ではない、最小の結晶学的超平面配置、ワイル群、一般化ルート システムは次のとおりです。これは、対角ニコルス代数、さらには超リー代数にも現れます。超平面配置は、立方八面体(プラトン立体) から構築できます。

これには根（それぞれ超平面、図では正三角形と正方形の対角線を囲むもの、超リー代数では奇数と偶数根）があります。明らかに、異なるカルタン行列を持つ異なるタイプのワイル チェンバー（正三角形と直角三角形）があり、単純根に関する根は次のようになります。 ${\displaystyle 7}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}}$

図では、例えば基底を持つ白いチャンバー。明らかに、このタイプのチャンバーのディンキン図は単純な三角形であり、${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$${\displaystyle a\in A}$

考察は2番目のタイプの部屋へと私たちを導きます ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a'}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)\}}$

図では、灰色のチャンバー、例えば基底付き。このタイプのチャンバーの Dynkin ダイアグラムは次のようになります(ただし、ルートが 1 つ多くなります)。${\displaystyle \alpha _{1}',\alpha _{2}',\alpha _{3}'=\alpha _{12},-\alpha _{2},\alpha _{23}}$${\displaystyle a'\in A}$${\displaystyle A_{2}}$

このルート系は無限級数の最小のメンバーです。図は^[9]からのもので、この例も徹底的に議論されています。

k = Cのアーベル群上の有限次元ニコルス代数は、2004 年から 2005 年にかけて、イシュトヴァン・ヘッケンベルガー [2] によって算術ルート系と一般化ディンキン図を分類することによって分類されました。この分類では、すでにカルチェンコによって、反復 (編み込み) 交換子のポアンカレ-バーコフ-ウィット基底^を持つことが証明されていました。必要な情報は編み込み行列のみで、この設定では対角行列です(上記の例を参照)。

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}}$

ほとんどの場合、古典的なカルタンの場合のみが表示されますが、小さな素数に対しては、三角形のようないくつかの珍しい図式が可能です。

これらの場合、 1 つの図のワイル反射は「同じ」図ではなく、いわゆるワイル同値になることがあります。これは、これらの特殊なケースが通常のグループではなくワイル群を持つ正確な理由でもあります。

ニコルス代数の生成元と関係はルートシステムから簡単には得られない。むしろ、リノンド語を使った面倒な作業を行う必要がある。これは^{[10]で完全に行われている。}

特に、既約なVにはサブモジュールは存在しません。ただし、2 つの含まれる要素の組み合わさのみを反映する、より抽象的なサブラックの概念を使用できます。いくつかの論文で、Nicolas Andruskiewitschらは、グループが (分解不可能な) ニコルス代数を持たないという否定的な基準を示しました。彼らの手法は、大まかに次のように要約できます^[11] (詳細!) :

アーベル的サブラックを考え、より大きなラックからどの表現を継承できるかを確認し、ヘッケンベガーのリスト^{[2]で調べる。}

この仮説は、特に任意のg次数元xとそれ自身との編み込みに強い条件を課すことがある（例えば、上記の最初の例ではq ≠ 1 である）。g は中心化子の中心であるため、シュール補題の結果としてスカラーによる既約表現に作用する。したがって、この自己編み込み、すなわち 1 次元部分イェッター・ドリンフェルト加群 / 編み込みベクトル空間 / 1 次元部分ラックは対角である。

${\displaystyle x\otimes x\;{\stackrel {\tau }{\longmapsto }}\;q(x\otimes x)\;\;\Longleftrightarrow \;\;g.x=qx}$

これは通常、奇数次数や高次元のχなどを除外するために使用される。 [ ^12]

• gが実数（つまり逆数と共役）の場合 、 q = –1 となる（特にg は偶数次でなければならない）
• gが準実数（つまり、j乗共役） の場合 、
  • 上記のようにq = –1
  • または、表現χは1次元で、q = ζ _3は原始3乗根である（特にgの位数は3で割り切れる）${\displaystyle g^{(j^{2})}=g}$
• 逆にg が反転であり、何らかの中心化h = tgtである場合、作用するh (行列として表示)の固有値は強く制限されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

非可換の場合にもルート系が存在することは^[3]、むしろ直ちに次のような非常に強い意味合いを持つ。

g、hが交換する階数 2 のニコルズ代数の場合、直ちに次の結果が導かれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\left({\mathcal {O}}_{[g]}\oplus {\mathcal {O}}_{[h]}\right)}$

• 要素の編組交換子 [ x , y ] はすべてゼロではありません。${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{[g]}\;y\in {\mathcal {O}}_{[h]}}$
• 編組交換子の空間は、既約なサブイェッター・ドリンフェルト加群を形成する （つまり、リー代数の場合のように根は一意である）${\displaystyle ad_{{\mathcal {O}}_{[g]}}{\mathcal {O}}_{[h]}=[{\mathcal {O}}_{[g]},{\mathcal {O}}_{[h]}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[gh]}}$
• 「通勤に近い」 ${\displaystyle \;(gh)^{2}=(hg)^{2}}$

これは大まかに言えば、非可換群上の有限次元ニコルス代数は（もしあるとしても）非常に低いランクでなければならないか、群が可換に近くなければならないことを意味します。

アーベルサブラックはアーベル群上のニコルス代数に対するヘッケンベルガーの構造分類を使用するため (上記参照)、非アーベルサブラックも考慮できます。このようなサブラックが複数の部分に分解される場合 (共役する要素が少なくなるため)、ルート システムに関する上記の結果が適用されます。

これが非常に成功した具体的なケース^[12]はタイプDであり、すなわち${\displaystyle r,s\in [g]\;}$

• r、s は生成された部分群では共役ではない${\displaystyle \langle r,s\rangle \;}$
• ${\displaystyle (rs)^{2}\neq (sr)^{2}\;}$

この場合、サブラックのニコルス代数は無限次元であり、ニコルス代数全体も無限次元である。

上記の両方の否定法は、有限次元ニコルス代数の否定（分解不可能）に非常に効果的である。 ^[12]

• 交代グループ の場合^[13]${\displaystyle \mathbb {A} _{n\geq 5}}$
• 対称群 については、いくつかの例を除いて^[13]${\displaystyle \mathbb {S} _{n\geq 6}}$
• 嘘つきタイプのグループ （情報源、完全なリスト？）
• すべて実数またはj = 3 準実数 である可能性のある短いリスト (それぞれ ATLAS 表記の共役類) を除くすべての散在群:
  • ...フィッシャーグループ の場合、クラス${\displaystyle Fi_{22}\;}$${\displaystyle 22A,22B\;}$
  • ...ベビーモンスターグループ Bのクラス${\displaystyle 16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;}$
  • ...モンスターグループ Mのクラス${\displaystyle 32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;}$

通常、共役類 ae は D 型 (「十分に可換ではない」) が大量にあるのに対し、その他の共役類は十分なアーベルサブラックを持つ傾向があり、それらを考慮すると除外できます。いくつかのケースは手動で行う必要があります。オープンケースでは、中心化子 (通常は巡回) と表現 χ (通常は 1 次元の符号表現) が非常に小さい傾向があることに注意してください。重要な例外は、中心化子として2048 次と 128 次p 群を持つ 16 次、32 次共役類で、現在は χ に制限はありません。

ニコルス代数は、ニコラス・アンドルスキエヴィッチとハンス・ユルゲン・シュナイダーによる有限次元尖端ホップ代数^{[1] (小さな素数なし) の分類、特に}量子群において量子ボレル部分として登場します。たとえば、 およびそれらのよく知られたqに対する切断は、通常の半単純リー代数と同様に、 E (ボレル部分)、双対F、およびK (カルタン代数)に分解されます。 ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})\cong \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbb {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

ここで、古典理論と同様に、V はEによって張られるn次元（の階数）のベクトル空間であり、σ（いわゆるコサイクルツイスト）はEとFの間に非自明なリンクを作成します。古典理論とは対照的に、2 つ以上のリンクされたコンポーネントが出現する可能性があることに注意してください。タイプ A ₃の 4 つの部分を持つ珍しい例については、引用元を参照してください。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

この分類は、対応する「次数付きオブジェクト」（すべてのリンクを削除）を取ることによって、与えられた仮説的な例を、ニコルス代数を含む（コラディカル）グループと（接続された）部分の Radford の副積に大まかに縮小します。上記の有限次元ニコルス代数の分類からの知識を使用して、著者は接続部分（次数 1 で生成）に追加の要素が出現しないことを証明し、最終的に、一般化されたDynkin 図の「点線」としてすべての可能な持ち上げを記述します。

最近、この対応は大幅に拡張され、いわゆるコイデアル部分代数がワイル群と1:1対応していることが特定された^[14]。これは以前から「数値的一致」として推測され、場合によっては手作業で証明されていた。

^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] ] [18] [19]}