クリスタルベース

-ベクトル空間上の量子群の表現に対する結晶基底は 、そのベクトル空間の基底ではなく、そのベクトル空間内の -格子である の -基底です。結晶基底は、 Kashiwara (1990)の研究とLusztig (1990) の研究で登場しました。それらは、 Lusztig (1990)によって定義された標準基底の 特殊化として見ることができます 。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L/vL}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$${\displaystyle v\to 0}$

定義関係の結果として、量子群は上の不定qのすべての有理関数の体上のホップ代数として考えることができ、 と表記されます。 ${\displaystyle U_{q}(G)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$

単純な根 と非負の整数の場合、定義する ${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}}$

積分可能モジュールにおいて、重み に対して、ベクトル（つまり、重み を持つのベクトル）は、一意に次の和に分解できる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle u\in M_{\lambda}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i} ^{(n)}v_{n},}$

ここで、の場合に限り、 の場合に限ります。 ${\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}$${\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}$${\displaystyle u_{n}\neq 0}$${\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$${\displaystyle v_{n}\neq 0}$${\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$

線形写像は次のよう に定義できる。${\displaystyle {\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M}$${\displaystyle M_{\lambda }}$

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}$

${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}$

が で正則であるすべての有理関数の整域をとします（つまり、有理関数がの元となるのは、 、 、 となる多項式環に多項式と が存在する場合のみです）。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle f(q)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g(q)}$${\displaystyle h(q)}$${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$${\displaystyle h(0)\neq 0}$${\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$

の結晶基底は、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle (L,B)}$

• ${\displaystyle L}$はの自由部分加群であり、${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;}$
• ${\displaystyle B}$はベクトル空間の -基底である${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L/qL}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}$および、ここで、および${\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}$${\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}$${\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}L\subset L}$そして${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}$そして${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.}$

これをもっと形式ばった設定にすると、 と の作用は、一般に可積分モジュール 上で特異です。 モジュール 上の線型写像と は、との作用がモジュール 上で正則になるように導入されます。に対して重みベクトルの -基底が存在し、これに関して と の作用はすべてのiに対してで正則です。すると、モジュールは基底によって生成される自由 -モジュールに制限され、基底ベクトル、 -サブモジュール、およびと の作用は で評価されます。さらに、 において、すべての に対して、および が相互転置によって表され、基底ベクトルを基底ベクトルまたは 0 にマップする ように基底を選択できます。${\displaystyle e_{i}f_{i}}$${\displaystyle f_{i}e_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$${\displaystyle {\tilde {B}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$

結晶基底は、ラベル付きの辺を持つ有向グラフで表すことができます。グラフの各頂点はの-基底の要素を表し、 iでラベル付けされ、頂点 から頂点 に向けられた有向辺はを表します(また、同等に を表します)。ここで、は で表される基底要素、は で表される基底要素です。グラフはおよびのにおける動作を完全に決定します。積分可能なモジュールが結晶基底を持つ場合、結晶基底を表すグラフが連結されている場合に限り、モジュールは既約です (頂点の集合を および の非自明な分離した部分集合の和集合に分割できず、のどの頂点ものどの頂点にも接続する辺が存在しないグラフを「連結」といいます)。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle L/qL}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}$${\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$

結晶基底を持つ任意の積分可能モジュールの場合、結晶基底の重みスペクトルはモジュールの重みスペクトルと同じであり、したがって結晶基底の重みスペクトルは、適切なKac-Moody 代数の対応するモジュールの重みスペクトルと同じです。結晶基底の重みの重複度も、適切な Kac-Moody 代数の対応するモジュールの重複度と同じです。

柏原の定理によれば、すべての積分可能な最高重みモジュールにはクリスタル ベースがあります。同様に、すべての積分可能な最低重みモジュールにはクリスタル ベースがあります。

を結晶基底 を持つ積分可能モジュールとし、を結晶基底 を持つ積分可能モジュールとする。結晶基底 の場合、次式で与えられる 余積 は、${\displaystyle M}$${\displaystyle (L,B)}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle (L',B')}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}}$

が採用される。積分可能モジュールは結晶基底 を持ち、ここで である。基底ベクトル に対して、定義する。 ${\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'}$${\displaystyle (L\otimes _{A}L',B\otimes B')}$${\displaystyle B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}}$${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle \varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

およびに対する作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle b\otimes b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}}$

積分可能な最高重みモジュール 2 つを既約サブモジュールに分解することは、クリスタル ベースのグラフをその接続コンポーネントに分解することによって決定されます (つまり、サブモジュールの最高重みが決定され、各最高重みの多重度が決定されます)。

• ジャンツェン、イェンス・カーステン (1996)、「量子群に関する講義」、数学大学院研究、第 6 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0478-0、MR  1359532
• 柏原正樹(1990)、「普遍包絡代数の q 類似体の結晶化」、Communications in Mathematical Physics、133 (2): 249–260、doi :10.1007/bf02097367、ISSN  0010-3616、MR  1090425、S2CID  121695684
• Lusztig, G. (1990)、「量子化された包絡代数から生じる標準基数」、アメリカ数学会誌、3 (2): 447–498、doi : 10.2307/1990961、ISSN  0894-0347、JSTOR  1990961、MR  1035415

• nラボの結晶基礎