準三角ホップ代数

数学において、ホップ代数Hは、 の可逆元Rが存在し^、​${\displaystyle H\otimes H}$

• ${\displaystyle R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)}$すべての に対して、 はH上の余積であり、線型写像は で与えられる。${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle T:H\otimes H\to H\otimes H}$${\displaystyle T(x\otimes y)=y\otimes x}$

• ${\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}}$、

• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}}$、

ここで、、、および、は、によって決定される 代数射である。${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$${\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

R はR 行列と呼ばれます。

準三角性の特性の結果として、R 行列Rはヤン・バクスター方程式の解です(したがって、Hのモジュール V は、組紐、結び目、リンクの準不変量を決定するために使用できます)。 また、準三角性の特性の結果として、であり、さらに 、、および です。 さらに、対掌体S は線型同型でなければならないこと、したがってS ^{2 は}自己同型であることが示されます。 実際、S ^{2 は}可逆要素と共役することで与えられます。ここで(リボンホップ代数 を参照)。 ${\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}$${\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}$${\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}$${\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}$${\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$${\displaystyle u:=m(S\otimes 1)R^{21}}$

Drinfeld量子二重構成 を使用して、ホップ代数とその双対から準三角ホップ代数を構築することが可能です。

ホップ代数Hが準三角的である場合、 H上の加群のカテゴリは、編み込みによって編組される。

${\displaystyle c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)}$。

準三角ホップ代数であるという性質は、可逆元を介してねじることで保存され、コサイクル条件を満たす。 ${\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}$${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$

${\displaystyle (F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)}$

さらに、は可逆であり、ツイストされた対掌体は で与えられ、ツイストされた共乗法、R 行列、およびコユニットは、準三角準ホップ代数に対して定義されたものに従って変化します。このようなツイストは、許容ツイスト (またはドリンフェルト ツイスト) として知られています。 ${\displaystyle u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$${\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$

• 準三角形の準ホップ代数
• リボンホップ代数

• モンゴメリー、スーザン(1993)。ホップ代数と環上の作用。数学地域会議シリーズ。第 82 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0738-2.ZBL0793.16029  。​
• モンゴメリー、スーザン、シュナイダー、ハンス・ユルゲン (2002)。ホップ代数の新しい方向性。数学科学研究所出版。第 43 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-81512-3.ZBL0990.00022  。​