コンパクト量子群

数学において、コンパクト量子群はコンパクト群の一般化であり、コンパクト群上の連続複素数値関数の可換-代数が、必ずしも可換ではない単位-代数上の抽象構造に一般化され、「コンパクト量子群上の連続複素数値関数の代数」の役割を果たす。^[1]${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$

この理論の基本的な動機は、次の類推から来ています。コンパクトなハウスドルフ位相空間上の複素数値関数の空間は、可換C*-代数を形成します。一方、ゲルファントの定理により、可換 C*-代数はコンパクトなハウスドルフ位相空間上の連続複素数値関数の C*-代数と同型であり、位相空間は同相を除いて C*-代数によって一意に決定されます。

SL Woronowicz ^[2]は、コンパクト行列量子群という重要な概念を導入しました。彼はこれを当初コンパクト擬似群と呼んでいました。コンパクト行列量子群は、その構造上の「連続関数」がC*代数の要素によって与えられる抽象構造です。コンパクト行列量子群の幾何学は、非可換幾何学の特殊なケースです。

コンパクトな位相群Gに対して、C*-代数準同型が存在する。

${\displaystyle \Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)}$

ここで、C ( G ) ⊗ C ( G )は、 C ( G )とC ( G )の代数テンソル積の最小のC*-代数テンソル積であり、

${\displaystyle \Delta (f)(x,y)=f(xy)}$

すべての に対して、またすべての に対して、ここで ${\displaystyle f\in C(G)}$${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle (f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)}$

すべておよびすべてに対して。線形乗法写像も存在する。 ${\displaystyle f,g\in C(G)}$${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle \kappa :C(G)\to C(G)}$、

そのような

${\displaystyle \kappa (f)(x)=f(x^{-1})}$

すべてとすべてに対して。厳密に言えば、 Gが有限でない限り、これによってC ( G ) がホップ代数になるわけではありません。 ${\displaystyle f\in C(G)}$${\displaystyle x\in G}$

一方、Gの有限次元表現はC ( G )の*-部分代数を生成するために使用することができ、これもホップ*-代数である。具体的には、

${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

はGのn次元表現であり、

${\displaystyle u_{ij}\in C(G)}$

すべてのi、j、および

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

すべてのi , jに対して となる。したがって、すべてのi , jに対して によって生成される*-代数とすべてのi , jに対して によって生成される *-代数はホップ *-代数となる。コユニットは次のように決定される。 ${\displaystyle u_{ij}}$${\displaystyle \kappa (u_{ij})}$

${\displaystyle \epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}}$

（クロネッカーのデルタ）に対して、対蹠地はκであり、単位は次のように与えられる。 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle \delta_{ij}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

一般化として、コンパクト行列量子群は、CがC*代数であり 、( C、u )のペアとして定義されます。

${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

はCの要素を持つ行列であり、

• uの行列要素によって生成されるCの*-部分代数C ₀はCにおいて稠密である。
• C * -代数準同型、すなわち共乗法と呼ばれるものが存在する。Δ : C → C⊗C （ここでC⊗CはC*-代数テンソル積、つまりCとCの代数テンソル積の完備化である）であって、

${\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj};}$

• 逆写像κ  : C ₀ → C ₀と呼ばれる線型逆写像が存在し、すべてのおよびに対して が成り立ちます。ここでI はCの単位元です。 κ は逆写像なので、すべての に対してκ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) が成り立ちます。${\displaystyle \kappa (\kappa (v*)*)=v}$${\displaystyle v\in C_{0}}$${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$${\displaystyle v,w\in C_{0}}$

連続性の結果として、C上の共乗法は共結合的である。

一般に、C は双代数であり、C ₀はホップ * 代数です。

非公式には、C はコンパクト行列量子群上の連続複素数値関数の * 代数と見なすことができ、u はコンパクト行列量子群の有限次元表現と見なすことができます。

ヒルベルト空間HとKにそれぞれ作用するC*-代数AとBに対して、それらの最小テンソル積は、 B ( H ⊗ K )における代数テンソル積A ⊗ Bのノルム完備化として定義されます。ノルム完備化はA ⊗ Bとも表記されます。

コンパクト量子群^{[3] [4]は、} ( C ,Δ)のペアとして定義され、Cは単位C*-代数であり、

• Δ : C → C ⊗ Cは(Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ を満たす単位 *-準同型である。
• 集合{( C⊗1 )Δ( C ) }と{(1⊗C ) Δ( C ) }はC⊗Cにおいて稠密である。

コンパクト行列量子群の表現はホップ*-代数の共表現によって与えられる^[5]さらに、表現vはvの行列がユニタリである場合、または同等に、

${\displaystyle \forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.}$

コンパクト行列量子群の例としてはSU _μ (2) ^[6]があり、ここでパラメータμは正の実数である。

SU _μ (2) = ( C (SU _μ (2)), u )、ここでC (SU _μ (2)) はαとγによって生成される C*-代数であり、

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

そして

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

となるので、共乗法は によって決定され、逆乗法は によって決定される。uは表現ではあるが、ユニタリ表現ではないことに注意する。uはユニタリ表現と同等である 。${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}}$${\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha }$

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

SU _μ (2) = ( C (SU _μ (2)), w )、ここで C (SU _μ (2)) はαとβによって生成される C*-代数であり、

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

そして

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

したがって、共乗法は、逆乗法は、によって決定されます。wはユニタリ表現であることに注意してください。実現は を等しくすることで識別できます。 ${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}}$${\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}}$${\displaystyle \kappa (\alpha ^{*})=\alpha }$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

μ = 1ならば、SU _μ (2)は具体的なコンパクト群SU(2)に等しい。