集合のフィールド

数学において、集合体とは、集合と の部分集合の族からなる対からなる数学的構造であり、上の代数と呼ばれ、空集合を要素として含み、有限和および有限積における補集合を取る操作に関して閉じている。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$

集合体は、環論の体や物理学の体と混同してはならない。同様に、「 上の代数」という用語はブール代数の意味で使用され、環論の体や環上の代数と混同してはならない。 ${\displaystyle X}$

集合体はブール代数の表現理論において重要な役割を果たします。すべてのブール代数は集合体として表現できます。

集合体とは、集合とその部分集合の族からなるペアであり、次のような性質を持つ 代数と呼ばれます。${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$

1. 補完により閉鎖${\displaystyle X}$:$${\displaystyle X\setminus F\in {\mathcal {F}}{\text{ すべての }}F\in {\mathcal {F}} に対して。}$$
2. 空集合（または）${\displaystyle X}$を要素として含みます:${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$
   • (1)が成り立つと仮定すると、この条件(2)は次の式と同等である。${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}.}$
3. 以下の同等の^{[注 1]}条件のいずれか/すべてが成立します。
   1. バイナリ結合で閉じる: $${\displaystyle F\cup G\in {\mathcal {F}}{\text{ すべての }}F,G\in {\mathcal {F}} に対して。}$$
   2. バイナリ交差の下で閉じます: $${\displaystyle F\cap G\in {\mathcal {F}}{\text{ すべての }}F,G\in {\mathcal {F}} に対して。}$$
   3. 有限和の下で閉じている: $${\displaystyle F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ すべての整数 }}n\geq 1{\text{ およびすべての }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}} に対して。}$$
   4. 有限交差の下で閉じている: $${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ すべての整数 }}n\geq 1{\text{ およびすべての }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}} に対して。}$$

言い換えれば、 はの冪集合ブール代数のサブ代数を形成します（同じ単位元 を持ちます）。多くの著者はを集合体と呼んでいます。 の元は点と呼ばれ、 の元は複素数と呼ばれ、の許容集合であると言われています。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$

集合体はσ集合体と呼ばれ、代数は次の追加条件(4)が満たされる場合、 σ代数と呼ばれる。${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

4. 以下の同等の条件のいずれかまたは両方が成立します。
   1. 可算結合の下で閉じている： すべて$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \in {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$
   2. 可算交差の下で閉じている： すべてに対して$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}$

任意の集合の冪集合（または、いくぶん衒学的に言えば、この集合とその冪集合のペア）は集合体である。 が有限（つまり、-元）であれば、 は有限（つまり、-元）である。 有限集合体（ は有限であるが、 は無限である可能性があることを意味する）はすべて、が有限である形式の表現を許容すると思われる。これは、との間に逆像を介して1 対 1 の対応を確立する関数を意味する。ここで、 および（つまり、）。注目すべき結果の 1 つ：複素数の数が有限である場合、常に次の形式になる。${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 2^{Y}}$${\displaystyle (Y,2^{Y})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{Y}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,2^{Y})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 2^{Y}}$${\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle B\in 2^{Y}}$${\displaystyle B\subset Y}$${\displaystyle 2^{n}.}$

この目的のために、与えられた集合体のすべての原子の集合であることを選択し、点と原子である複合体に対しては常にによって定義します。後者は、と異なる の空でない部分集合は複合体にはなり得ないこと を意味します。${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=A}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

言い換えると、原子は の分割であり、は対応する商集合であり、 は対応する標準全射です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

同様に、すべての有限ブール代数は、ベキ集合、つまりその原子の集合のベキ集合として表現できます。ブール代数の各要素は、その下にある原子の集合に対応します (その結合が要素です)。このベキ集合表現は、より一般的には、任意の完全な 原子ブール代数 に対して構築できます。

完全でも原子でもないブール代数の場合でも、べき集合全体ではなく集合体を考えることによってべき集合表現を一般化することができます。そのためには、まず有限ブール代数の原子がその超フィルターに対応し、ある原子が有限ブール代数の要素の下にあるのは、その要素がその原子に対応する超フィルターに含まれている場合のみであることを観察します。これにより、ブール代数の超フィルターの集合を取り、ブール代数の各要素にその要素を含む超フィルターの集合を関連付けることによって複合体を形成することで、ブール代数の表現を構築することができます。この構築により、ブール代数の集合体としての表現が生成され、ストーン表現として知られています。これは、ブール代数に対するストーンの表現定理の基礎であり、デデキント切断に似た、イデアルまたはフィルターに基づく順序理論の完備化手順の例です。

あるいは、2 要素ブール代数への準同型写像の集合を考え、ブール代数の各要素を、それを最上位要素に写像する準同型写像の集合に関連付けることによって複体を形成することもできます。(ブール代数の超フィルタは、まさにこれらの準同型写像の最上位要素の原像であるため、このアプローチは同等です。) このアプローチでは、ストーン表現は、真理値表による有限ブール代数の表現の一般化と見なすこともできることがわかります。

• 集合の体は、異なる点のすべてのペアに対して、一方を含み、他方を含まない複体が存在する場合にのみ、分離的(または微分的) と呼ばれます。
• 集合の体は、任意の適切なフィルタについて、フィルタに含まれるすべての複体の交差が空でない場合にのみ、コンパクトと呼ばれます。${\displaystyle X}$

これらの定義は、集合体の複体によって生成される位相を考慮することによって生じます。(これは、与えられた点の集合上の注目すべき位相の 1 つにすぎません。まったく異なる特性、特に 0 次元ではない特性を持つ別の位相が与えられることもよくあります)。集合体が与えられた場合、複体は位相の基底を形成します。対応する位相空間によって表されます。ここで、複体の任意の和をとることによって形成される位相です。 ${\displaystyle \mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$は常に0次元空間です。
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$がハウスドルフ空間である場合、かつ が分離的である場合に限ります。${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$がコンパクト開集合を持つコンパクト空間である場合、かつそれがコンパクトである場合に限ります。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$
• ${\displaystyle T(\mathbf {X} )}$は、分離的かつコンパクトである場合に限り、閉集合を持つブール空間である（この場合、記述的であると説明される） ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

ブール代数のストーン表現は常に分離的かつコンパクトです。対応するブール空間はブール代数のストーン空間として知られています。ストーン空間の閉開集合は、まさにストーン表現の複体です。ストーン双対性として知られる数学の領域は、ブール代数のストーン表現が対応するストーン空間から純粋に復元できるという事実に基づいています。そのため、ブール代数とブール空間の間には 双対性があります。

集合上の代数が可算和に関して閉じている場合（したがって可算 交差に関しても閉じている場合）、それはシグマ代数と呼ばれ、対応する集合体は可測空間と呼ばれます。可測空間の複体は可測集合と呼ばれます。ルーミス-シコルスキーの定理は、可算完全なブール代数（抽象シグマ代数と呼ばれることもある）と可測空間の間にストーン型の双対性を提供します。

測度空間は、が測定可能な空間であり、 がその上で定義された測度である3 つの要素です。 が実際に確率測度である場合、確率空間について話し、その基礎となる測定可能な空間を標本空間と呼びます。標本空間の点は標本点と呼ばれ、潜在的な結果を表します。一方、測定可能な集合 (複合体) はイベントと呼ばれ、確率を割り当てたい結果の特性を表します。 (標本空間という用語は、確率空間の基礎となる集合に対して単に使用されることが多く、特にすべてのサブセットがイベントである場合によく使用されます。) 測度空間と確率空間は、それぞれ測度理論と確率理論において基礎的な役割を果たします。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

物理学への応用では、すでに位相が関連付けられている内積空間や位相群などの豊富な数学的構造から派生した測度空間や確率空間を扱うことがよくあります。これを、複体の任意の和集合を取ることによって生成される位相と混同しないでください。

位相集合体とは、位相空間が閉包作用素の下で閉じている集合体、またはそれと同値な内部作用素の下で閉じている集合体、つまりすべての複体の閉包と内部も複体である、の三つ組である。言い換えれば、は冪集合内部代数の部分代数を形成する。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$

集合の位相体は、内部代数とヘイティング代数の表現理論において基本的な役割を果たします。これらの 2 つのクラスの代数構造は、それぞれ様相論理S4 (認識論的論理の形式的な数学的抽象化) と直観論理の代数的意味論を提供します。これらの代数構造を表す集合の位相体は、これらの論理に 関連する位相的意味論を提供します。

すべての内積代数は、内積代数の基礎となるブール代数が位相集合体の複体に対応し、内積代数の内部演算子と閉包演算子が位相のそれらに対応する位相集合体として表現できます。すべてのHeyting 代数は、Heyting 代数の基礎となる格子が位相で開いている位相集合体の複体の格子に対応する位相集合体で表現できます。さらに、Heyting 代数を表す位相集合体は、開いた複体がブール代数としてすべての複体を生成するように選択できます。これらの関連する表現は、真理様相 (様相論理で研究される、おそらく真か必然的に真か) と証明可能性と反証可能性の概念 (直観論理で研究される) との関係を研究するための明確に定義された数学的装置を提供し、したがって中間論理の様相コンパニオンの理論と深く関連しています。

位相空間が与えられた場合、閉集合は、各閉集合がそれ自身の内部と閉包であるため、位相集合体を自明に形成します。ブール代数のストーン表現は、このような位相集合体と見なすことができますが、一般に位相集合体の位相は、複体の任意の和をとることによって生成される位相とは異なる場合があります。また、一般に位相集合体の複体は、位相において開いている必要も閉じている必要もありません。

集合の位相体は、その位相の基底が複素数から構成される場合にのみ、 代数的であると呼ばれます。

集合の位相体がコンパクトかつ代数的である場合、その位相はコンパクトであり、そのコンパクトな開集合はまさに開複体です。さらに、開複体は位相の基底を形成します。

分離的、コンパクト、代数的な集合の位相体はストーン体と呼ばれ、ブール代数のストーン表現の一般化を提供します。内部代数が与えられた場合、その基礎となるブール代数のストーン表現を形成し、次に内部代数の開元に対応する複体によって生成される位相をとることによって、これを集合の位相体に拡張することができます(これは位相の基礎を形成します)。これらの複体はまさに開複体であり、その構成により内部代数を表すストーン体、つまりストーン表現が生成されます。(ストーン表現の位相は、ブール代数に関するストーンの結果を内部代数に初めて一般化した数学者にちなんで、マッキンゼー-タルスキー ストーン 位相とも呼ばれており、より細かい位相となる内部代数の基礎となるブール代数のストーン 位相と混同しないでください。)

事前順序フィールドは、が事前順序付けされたセットであり、がセットのフィールドである トリプルです。${\displaystyle (X,\leq ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

集合の位相体と同様に、前順序体は内部代数の表現論において重要な役割を果たす。すべての内部代数は、前順序体として表現することができ、その内部演算子と閉包演算子は、前順序によって誘導されるアレクサンドロフ位相のそれらに対応する。言い換えれば、すべての に対して、 および ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle \mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}}$$$${\displaystyle \mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}}$$

集合の位相体と同様に、前順序体は様相論理で自然に生じ、そこでは点は様相論理S4における理論のクリプキ意味論における可能世界を表し、前順序はこの意味論におけるこれらの可能世界上のアクセス可能性関係を表し、複合体は理論の個々の文が成り立つ可能世界の集合を表し、理論のリンデンバウム-タルスキー代数の表現を提供する。これらは、様相代数の表現を提供する追加のアクセス可能性関係を持つ集合体である 一般様相フレームの特殊なケースである。

前順序体は、それが次の方法で前順序を決定する複体の集合を持つ場合に限り、代数的（またはタイト）と呼ばれます。すべての複体 に対してがを意味する場合に限ります。S4理論から得られる前順序体は常に代数的であり、前順序を決定する複体は必然性の下で閉じた理論の文が成り立つ可能世界の集合です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle y\in S}$

分離コンパクト代数的前順序体は、正準であると言われています。内部代数が与えられた場合、そのストーン表現の位相を対応する正準前順序（特殊化前順序）に置き換えることで、内部代数の表現を正準前順序体として取得します。前順序を対応するアレクサンドロフ位相に置き換えることで、内部代数の別の表現を集合の位相体として取得します。（この「アレクサンドロフ表現」の位相は、ストーン表現の位相のアレクサンドロフ双共反射です。）一般的な様相フレームによる様相代数の表現は、任意の通常の様相代数に対して可能ですが、一般的な様相フレームがこのように集合の位相体に対応するのは、内部代数（様相論理S4に対応）の場合のみです。

事前順序体による内部代数の表現は、演算子 を持つ任意の（通常の）ブール代数の表現定理に一般化できます。これについては、が関係構造、つまり、その上に定義された関係のインデックス付き族を持つセットであり、 が集合の体である構造を考えます。関係構造上の集合の体によって決定される複素代数（または複素数の代数）は、演算子 を持つブール代数であり、 すべての に対してがアリティの関係である場合、 はアリティの演算子であり、すべての に対して${\displaystyle (X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,(R_{i})_{I})}$${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle \mathbf {X} =(X,\left(R_{i}\right)_{I},{\mathcal {F}})}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=({\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I})}$$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle n+1,}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\left\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\right\}}$$

この構成は、演算子と関係の両方を持つ任意の代数構造上の集合の体に一般化できます。演算子は関係の特殊なケースと見なすことができます。 が のべき集合全体である場合、は完全複素代数またはべき代数と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}$

演算子を持つすべての（通常の）ブール代数は、体に対応する複素代数と 同型であるという意味で、関係構造上の集合体として表現できます。

(歴史的に、複素数という用語は、代数構造が群である場合に最初に使用され、群のサブセットが複素数と呼ばれていた19 世紀の群論に起源があります。)

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• 「集合の代数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 集合の代数、数学百科事典。