シグマ理想

数学、特に測度論において、σ-代数（𝜎、「シグマ」と読む）の𝜎-イデアルまたはシグマ イデアルは、特定の望ましい閉包特性を持つ部分集合である。これはイデアルの特殊なタイプである。最も頻繁に応用されるのは確率論である。^[要出典]

を可測空間とします（つまり、の部分集合の 𝜎-代数です）。の部分集合は、次の性質が満たされる場合、 𝜎-イデアルです。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Sigma }$

1. ${\displaystyle \varnothing \in N}$;
2. およびがを意味する場合;${\displaystyle A\in N}$${\displaystyle B\in \Sigma }$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B\inN}$
3. もしそうなら${\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq N}$${\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in N.}$

簡単に言えば、シグマ イデアルには空集合が含まれ、その要素の部分集合と可算な和集合が含まれる必要があります。 𝜎 イデアルの概念は、可算完全(𝜎-)フィルターの概念と双対です。

測度が -無視できる集合( )の集合上に与えられている場合、は 𝜎-イデアルです。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma ),}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle S\in \Sigma }$${\displaystyle \mu (S)=0}$

この概念は、次のように底辺を持つ事前順序 に一般化できる。は、ちょうど ${\displaystyle (P,\leq ,0)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle I}$${\displaystyle P}$

（私'）${\displaystyle 0\in I,}$

（ii'）は、 ${\displaystyle x\leq y{\text{ および }}y\in I}$${\displaystyle x\in I,}$

(iii') 与えられた数列に対して、それぞれ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in I,}$${\displaystyle y\in I}$${\displaystyle x_{n}\leq y}$${\displaystyle n.}$

したがって、底部要素を含み、下向きに閉じており、上向きであるという性質の可算な類似を満たしています。 ${\displaystyle I}$

集合の𝜎-イデアルは、の冪集合の𝜎-イデアルです。つまり、𝜎-代数が指定されていない場合は、単に基礎となる集合の完全な冪集合を取ります。たとえば、位相空間の貧弱な部分集合は、内部が空である閉じた部分集合のコレクションによって生成される𝜎-イデアル内の部分集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
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• 𝜆システム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に関して閉じた族
• 測定可能な関数 – 数学関数の一種
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• 𝜎代数 – 集合代数の代数的構造
• 𝜎環 – 可算和集合に関して閉じた集合族
• シグマ加法性 – マッピング関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

• バウアー、ハインツ(2001):測定と統合理論。 Walter de Gruyter GmbH & Co. KG、10785 ベルリン、ドイツ。