順序付きフィールド

数学において、順序体とは、その要素の全順序が体演算と互換性のある体を指します。順序体の基本的な例としては、有理数と実数があり、どちらも標準的な順序を持っています。

順序体の任意の部分体もまた、継承された順序において順序体である。すべての順序体は、有理数と同型な順序部分体を含む。すべてのデデキント完全順序体は、実数と同型である。順序体では、平方数は必然的に非負である。これは、虚数単位iの平方が−1 (任意の順序体では負) であるため、複素数は順序付けられないことを意味する。有限体は順序付けられない。

歴史的に見ると、順序体の公理化は、ダフィット・ヒルベルト、オットー・ヘルダー、ハンス・ハーンといった数学者たちによって、実数から徐々に抽象化されていった。これは最終的に、アルティン＝シュライアーの順序体理論、ひいては形式的には実体理論へと発展した。

順序体には、同等の一般的な定義が2つ存在する。全順序の定義は歴史的に最初に現れ、順序の1階公理化である。${\displaystyle \leq }$二項述語として。アルティンとシュライアーは1926年に正錐を用いて定義を与え、これは非負要素の部分集合を公理化するものである。後者は高階であるが、正錐を極大前置正錐と見なすことで、体順序が極値部分順序となるより広い文脈が得られる。

順序付きフィールドの例は次のとおりです。

• 分野${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の標準的な順序付け（これは唯一の順序付けでもある）について。
• 分野${\displaystyle \mathbb {R} }$実数の標準的な順序付け（これは実数の唯一の順序付けでもある）による。
• 実代数的数や計算可能数などの順序体の任意の部分体は、その部分体に対して順序を制限することによって順序体となる。
• 分野${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$有理関数の${\displaystyle p(x)/q(x)}$、 どこ${\displaystyle p(x)}$そして${\displaystyle q(x)}$は有理係数を持つ多項式であり、${\displaystyle q(x)\neq 0}$実超越数を固定することで、順序体とすることができる。${\displaystyle \alpha }$そして定義する${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$かつその場合に限り${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$これは埋め込みに相当します${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$の中へ${\displaystyle \mathbb {R} }$経由${\displaystyle x\mapsto \alpha }$および、${\displaystyle \mathbb {R} }$画像の順序付けへ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$このようにして、さまざまな順序が得られます。${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$。
• 分野${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$有理関数の${\displaystyle p(x)/q(x)}$、 どこ${\displaystyle p(x)}$そして${\displaystyle q(x)}$は実数係数を持つ多項式であり、${\displaystyle q(x)\neq 0}$、定義することで順序付きフィールドにすることができます${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$つまり${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$、 どこ${\displaystyle p_{n}\neq 0}$そして${\displaystyle q_{m}\neq 0}$は、${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$そして${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$それぞれ。 equivalently: 有理関数の場合${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$我々は持っています${\displaystyle f(x)<g(x)}$かつその場合に限り${\displaystyle f(t)<g(t)}$十分に大きいすべての${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$この順序体では、多項式${\displaystyle p(x)=x}$は任意の定数多項式よりも大きく、順序体はアルキメデス的ではない。
• その分野${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$実数係数を持つ形式的ローラン級数において、 xは無限小かつ正の値をとる。
• トランスシリーズ
• 実閉体
• 超現実的な数字
• 超現実的な数字

超現実数は集合ではなく真クラスを形成するが、それ以外は順序体の公理に従う。すべての順序体は超現実数に埋め込むことができる。

Fのすべてのa、b、c、dについて：

• − a ≤ 0 ≤ aまたはa ≤ 0 ≤ − aのいずれか。
• 不等式を「足し合わせる」ことができる。a ≤ bかつc ≤ dならば、a + c ≤ b + dとなる。
• 正の要素を持つ不等式を掛け合わせることができます。a ≤ bかつ0 ≤ cの場合、ac ≤ bcとなります。
• 「負の数を掛けると不等式が反転する」: a ≤ bかつ c ≤ 0 の場合、ac ≥ bcとなります。
• a < bかつa , b > 0の場合、1/ b < 1/ aとなります。
• 平方数は非負です。つまり、 Fのすべてのaに対して0 ≤ a ^{2 が}成り立ちます。特に、1 = 1 ²なので、0 ≤ 1 となります。0 ≠ 1 なので、0 < 1 と結論付けられます。
• 順序体の標数は0である。（1 > 0なので、1 + 1 > 0、1 + 1 + 1 > 0などとなり、1の有限和はゼロにはなり得ない。）特に、有限体は順序付けできない。
• 自明でない平方和はすべてゼロではない。言い換えれば：${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$^{[ 2 ] [ 3 ]}

順序体のすべての部分体もまた順序体である（誘導された順序を継承する）。最小の部分体は（標数0の他の体と同様に）有理数と同型であり、この有理数部分体の位数は有理数自体の位数と同じである。

順序体のすべての要素がその有理部分体の 2 つの要素の間にある場合、その体はアルキメデス体であると言われます。そうでない場合、そのような体は非アルキメデス順序体であり、無限小と任意の有理数よりも大きい無限要素を含みます。たとえば、実数はアルキメデス体を形成しますが、超実数は任意の標準自然数よりも大きい要素で実数を拡張するため、非アルキメデス体を形成します。^{[ 4 ]}

順序体Fが実数体Rと同型であるのは、 Fの空でない部分集合のうち、 Fに上限を持つものすべてに、 Fに最小上限が存在する場合に限る。この性質は、この体がアルキメデス的であることを意味する。 

すべての順序体は形式的に実体である。つまり、0 は非ゼロ平方数の和として表すことはできない。^{[ 2 ] [ 3 ]}

逆に、形式的に実数であるすべての体には、それと互換性のある全順序を付けることができ、それによって順序体になる。（この順序は一意に決定される必要はない。）証明にはツォルンの補題を用いる。^{[ 5 ]}

有限体、より一般的には正標数の体は、上記のように順序体には変換できません。複素数も、−1 が虚数単位iの平方であるため、順序体には変換できません。また、p進数も順序付けできません。ヘンゼルの補題によれば、 Q ₂は −7 の平方根を含むため、1 ²  +  1 ²  +  1 ²  +  2 ²  + √ −7 ² = 0 となり、Q _p ( p > 2) は 1 − pの平方根を含むため、( p − 1) ⋅ 1 ² + ( √ 1 − p ) ² = 0 となります。^{[ 6 ]}               

F が全順序 ≤ から生じる順序位相を備えている場合、公理により演算 + と × が連続であることが保証され、Fは位相体となります。

ハリソン位相は、形式的に実数体Fの順序集合X _F上の位相です。各順序は、 F ^∗から ±1 への乗法群準同型とみなすことができます。±1 に離散位相を、±1 ^Fに積位相を与えると、X _F上に部分空間位相が誘導されます。ハリソン集合は${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$ハリソン位相のサブ基底を形成する。積はブール空間（コンパクト、ハウスドルフ、完全不連結）であり、X _Fは閉部分集合であるため、やはりブールである。^{[ 7 ] [ 8 ]}

F上のファンとは、SがF ^∗の指数 2 の部分群で、T − {0}を含み、 −1 を含まない場合、Sが順序である (つまり、Sは加法に関して閉じている)という性質を持つ前順序 T のことである。^{[ 9 ]} 超順序体とは、平方和の集合がファンを形成する完全実体である。^{[ 10 ]}   

• 線形順序群– 並進不変な全順序を持つ群 
• 順序付き指数場– 指数関数を一般化した関数を持つ順序付き場 
• 順序付きグループ– 互換性のある部分順序を持つグループリダイレクト先の短い説明を表示するページ 
• 指輪を注文しました
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間– 部分順序を持つベクトル空間 
• 部分順序リング– 互換性のある部分順序を持つリング 
• 半順序空間– 半順序位相空間 
• 先行順序フィールド– 測度論における代数的概念であり、集合の代数とも呼ばれる。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• リース空間– 格子状に順序付けられた、部分的に順序付けられたベクトル空間 

• Lam, TY (1983), Orderings, valuations and quadratic forms , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol.  52, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1、Zbl 0516.12001 
• ラム・ツィットユエン（2005）。体上の二次形式入門。大学院数学研究。第 67巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• ラング、セルジュ（1993）、『代数学（第3 版）』、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-55540-0、Zbl 0848.13001