合同性（一般相対性理論）

ある時間的単位ベクトル場Xによって生成される時間的合同を考えます。これは、1 階線形偏微分演算子と考えることができます。すると、ベクトル場の成分は、テンソル表記で次のように表されるスカラー関数になります。${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$ここで、f は任意の滑らかな関数である。加速度ベクトルは共変微分である。${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$;その構成要素をテンソル表記で表すと次のようになります。

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

次に、${\displaystyle {X_{b}}{X^{b}}=-1}$式に注目してください。

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

左側の括弧内の項は、${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$この直交関係は、Xがローレンツ多様体の時間的単位ベクトルである場合にのみ成立します。より一般的な設定では成立しません。以下のように記述してください。

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

射影テンソルは、テンソルをその横断部分に射影します。たとえば、ベクトルの横断部分は、に直交する部分です。${\displaystyle {\vec {X}}}$このテンソルは、接ベクトルがXに直交する超曲面の計量テンソルと見なすことができます。したがって、次のことが示されました。

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

次に、これを対称部分と反対称部分に分解します。

$\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

ここ：

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

これらはそれぞれ、膨張テンソルおよび渦度テンソルとして知られています。

これらのテンソルは空間超平面要素に直交するため${\displaystyle {\vec {X}}}$、これらを3次元2階テンソルと考えることができます。これは、フェルミ微分の概念を用いてより厳密に表現できます。したがって、展開テンソルをトレースなしの部分とトレース部分に分解できます。トレースを次のように書きます。${\displaystyle \theta }$、 我々は持っています：

$\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

渦度テンソルは反対称であるため、その対角成分はゼロとなり、自動的にトレースレスになります（そして、3次元ベクトルに置き換えることもできますが、ここではそうしません）。したがって、次のようになります。

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

これが望ましい運動学的分解である。時間的測地線合同の場合、最後の項は恒等的に消滅する。

展開スカラー、せん断テンソル（$\displaystyle \sigma _{ab}}$）、および時間的測地線合同の渦度テンソルは、次のような直感的な意味を持つ。

1. 膨張スカラーは、試験粒子の小さな球状雲の体積が、雲の中心にある粒子の固有時間に対して変化する割合を表します。
2. せん断テンソルは、初期球が楕円形に歪む傾向を表し、
3. 渦度テンソルは、初期球の回転傾向を表します。渦度は、合同関係における世界線が時空の何らかの葉層構造における空間超曲面に常に直交する場合に限り消滅します。この場合、適切な座標系であれば、各超スライスは「一定時間」の曲面とみなすことができます。

これらの主張の根拠については、下記の引用文献とリンクを参照してください。

リッチ恒等式（リーマンテンソルの定義としてよく用いられる）により、次のように記述できる。

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

運動学的分解を左辺に代入することで、曲率テンソルと時間的合同関係（測地線的か否かを問わず）の運動学的挙動との間の関係を確立できる。これらの関係は、非常に重要な2つの方法で使用できる。

1. 我々は（原理的には）任意の時間的合同（測地線的であるか否かを問わず）の運動学的挙動の詳細な観測から時空の曲率テンソルを実験的に決定することができる。
2. 運動学的分解の要素（膨張スカラー、せん断テンソル、渦度テンソル）の発展方程式は、直接的な曲率結合を示します。

ジョン・アーチボルド・ウィーラーの有名なスローガンにはこうある。

時空は物質に動き方を指示し、物質は時空に曲がり方を指示する。

これで、この主張の前半部分を正確に定量化する方法が見えてきました。アインシュタイン場の方程式は、後半部分を定量化します。

特に、我々の時間的単位ベクトル場に関して取られたリーマンテンソルのベル分解によれば、電気重力テンソル（または潮汐テンソル）は次のように定義される。

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

リッチ恒等式は次のようになる。

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

運動学的分解を代入すると、最終的に次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

ここで、上付きドットは、時間的合同関係に沿って数えられた固有時間に関する微分を表します（つまり、ベクトル場Xに関する共変微分をとります）。これは、単一の時間的合同関係の観測から潮汐テンソルを決定する方法の説明とみなすことができます。

このセクションでは、発展方程式（伝播方程式または伝播公式とも呼ばれる）を得る問題について考察します。

加速度ベクトルを次のように書くと便利でしょう。${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$また、設定するには以下も必要です。

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

潮汐テンソルのリッチ恒等式から、次の式が得られます。

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

しかし：

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

つまり、次のようになります。

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

定義を代入することで${\displaystyle J_{ab}}$そして、この方程式の対角部分、トレースレス対称部分、反対称部分をそれぞれ取ると、膨張スカラー、せん断テンソル、渦度テンソルの目的の発展方程式が得られます。

まず、加速度ベクトルがゼロになるというより簡単なケースを考えてみましょう。すると（射影テンソルは純粋に空間的な量の添え字を下げるために使用できることに注意すると）、次のようになります。

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

または

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

初等線形代数により、以下のことが容易に検証できる。${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$それぞれが3次元対称線形演算子と反対称線形演算子である場合、${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$対称である一方${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$は反対称であるため、添え字を下げると、上記の括弧内の対応する組み合わせはそれぞれ対称と反対称になります。したがって、トレースを取ると、レイチャウドリの式（時間的測地線の場合）が得られます。

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

トレースのない対称部分を取ると、次のようになる。

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

そして反対称部分を取ると次のようになる。

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

ここ：

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

は負にならない二次不変量なので、${\displaystyle \sigma ,\omega }$これらは明確に定義された実不変量である。潮汐テンソルのトレースは次のように表すこともできる。

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

これはレイチャウドリ・スカラーと呼ばれることもあります。言うまでもなく、真空解の場合には完全に消滅します。

• 合同（多様体）
• 拡張スカラー
• 展開テンソル
• せん断テンソル
• 渦度テンソル
• レイチャウドリ方程式