光スカラー

一般相対性理論では、光スカラーとは、測地線ヌル合同の伝播を記述する3つのスカラー関数（膨張）、（せん断）、（ねじれ/回転/渦度）のセットを指します。^{[1] [2] [3] [4] [5]}${\displaystyle \{{\hat {\theta }}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\omega }}}$${\displaystyle \}}$

実際、これら 3 つのスカラーは、時間的測地合同とヌル測地合同の両方に対して同一の精神で定義できますが、ヌルの場合のみ「光学スカラー」と呼ばれます。また、 テンソル方程式で採用されるのはテンソルの前身であり、スカラーは主にニューマン - ペンローズ形式の言語で記述された方程式に現れます。 ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$${\displaystyle \{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }} _{ab}\}}$${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$

観測者の世界線（時間的合同性）の接線ベクトル場を と表すと、誘導された「空間メトリック」を構築することができ、 ${\displaystyle Z^{a}}$

${\displaystyle (1)\quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b}\;,\quad h_{\;\;b}^{a}=\delta _{\;\;b}^{a}+Z^{a}Z_{b}\;,}$

ここで、は空間射影演算子として機能します。座標共変微分を射影するために使用すると、「空間」補助テンソルが得られます。 ${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$${\displaystyle h_{\;\;b}^{a}}$${\displaystyle \nabla _{b}Z_{a}}$${\displaystyle B_{ab}}$

${\displaystyle (2)\quad B_{ab}=h_{\;\;a}^{c}\,h_{\;\;b}^{d}\,\nabla _{d}Z_{c}=\nabla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b}\;,}$

ここで は4次元加速度を表し、 という意味で純粋に空間的なものである。特に測地線のような時間的世界線を持つ観測者の場合、 ${\displaystyle A_{a}}$${\displaystyle B_{ab}}$${\displaystyle B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0}$

${\displaystyle (3)\quad A_{a}=0\;,\quad \Rightarrow \quad B_{ab}=\nabla _{b}Z_{a}\;.}$

これを対称部分と反対称部分に分解すると、 ${\displaystyle B_{ab}}$${\displaystyle \theta _{ab}}$${\displaystyle \omega _{ab}}$

${\displaystyle (4)\quad \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

${\displaystyle \omega _{ab}=B_{[ab]}}$はトレースフリー（）ですが、 はトレースがゼロではないため、対称部分はさらにトレース部分とトレースフリー部分に書き直すことができます。 ${\displaystyle g^{ab}\omega _{ab}=0}$${\displaystyle \theta _{ab}}$${\displaystyle g^{ab}\theta _{ab}=\theta }$${\displaystyle \theta _{ab}}$

${\displaystyle (5)\quad \theta _{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}\;.}$

したがって、全体として私たちは

${\displaystyle (6)\quad B_{ab}={\frac {1}{3}}\theta h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}\;,\quad \theta =g^{ab}\theta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)}\;,\quad \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\theta h_{ab}\;,\quad \omega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

ここで、接線ベクトル場を持つ測地線ゼロ合同を考えてみましょう。時間的状況と同様に、次のように定義します。 ${\displaystyle k^{a}}$

${\displaystyle (7)\quad {\hat {B}}_{ab}:=\nabla _{b}k_{a}\;,}$

これは次のように分解できる

${\displaystyle (8)\quad {\hat {B}}_{ab}={\hat {\theta }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}+{\hat {\sigma }}_{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}\;,}$

どこ

${\displaystyle (9)\quad {\hat {\theta }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}\;,\quad {\hat {\theta }}={\hat {h}}^{ab}{\hat {B}}_{ab}\;,\quad {\hat {\sigma }}_{ab}={\hat {B}}_{(ab)}-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\;,\quad {\hat {\omega }}_{ab}={\hat {B}}_{[ab]}\;.}$

ここで、「ハット付き」量は、ヌル合同のこれらの量が 3 次元の時間的ケースとは対照的に 2 次元であることを強調するために使用されています。ただし、論文でヌル合同についてのみ議論する場合は、簡潔にするためにハットを省略できます。

光スカラー^{[1] [2] [3] [4] [5]}は、式(9)のテンソルの「スカラー化」から直接得られる。 ${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}}$${\displaystyle \{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}}$

測地線ヌル合同の展開は次のように定義されます（ここで、明確化のため、共変微分を表すために別の標準記号「 」を採用します）。 ${\displaystyle ;}$${\displaystyle \nabla _{a}}$

${\displaystyle (10)\quad {\hat {\theta }}={\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}\;.}$

「ヌル合同の拡大率」との比較：「ヌル合同の拡大率」の記事で示されているように、それぞれとで示される出射拡大率と入射拡大率は次のように定義されます。 ${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.1)\quad \theta _{(\ell )}:=h^{ab}\nabla _{a}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.2)\quad \theta _{(n)}:=h^{ab}\nabla _{a}n_{b}\;,}$

ここで、は誘導メトリックを表します。また、およびは次のように計算できます。 ${\displaystyle h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}}$${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$${\displaystyle \theta _{(n)}}$

${\displaystyle (A.3)\quad \theta _{(\ell )}=g^{ab}\nabla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell )}\;,}$

${\displaystyle (A.4)\quad \theta _{(n)}=g^{ab}\nabla _{a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,}$

ここで、およびはそれぞれ、出力非親和係数と入力非親和係数であり、次のように定義される。 ${\displaystyle \kappa _{(\ell )}}$${\displaystyle \kappa _{(n)}}$

${\displaystyle (A.5)\quad l^{a}\nabla _{a}l_{b}=\kappa _{(\ell )}l_{b}\;,}$

${\displaystyle (A.6)\quad n^{a}\nabla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;.}$

さらに、ニューマン・ペンローズ形式主義 の言語で、慣例に従って、 ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

${\displaystyle (A.7)\quad \theta _{(l)}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

ご覧のとおり、測地線ヌル合同の場合、光学スカラーは膨張率およびと同じ役割を果たします。したがって、測地線ヌル合同の場合、は またはのいずれかに等しくなります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$${\displaystyle \theta _{(n)}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta _{(\ell )}}$${\displaystyle \theta _{(n)}}$

測地線ヌル合同のせん断は次のように定義さ れる。

${\displaystyle (11)\quad {\hat {\sigma }}^{2}={\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\bar {\sigma }}}^{ab}={\frac {1}{2}}\,g^{ca}\,g^{db}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\Big (}{\frac {1}{2}}\,k^{a}{}_{;\,a}{\Big )}^{2}=\,g^{ca}\,g^{db}{\frac {1}{2}}\,k_{(a\,;\,b)}\,k_{c\,;\,d}-{\hat {\theta }}^{2}\;.}$

測地線上の零合同のねじれは次のように定義さ れる。

${\displaystyle (12)\quad {\hat {\omega }}^{2}={\frac {1}{2}}\,k_{[a\,;\,b]}\,k^{a\,;\,b}=g^{ca}\,g^{db}\,k_{[a\,;\,b]}\,k_{c\,;\,d}\;.}$

実際には、測地線のヌル合同性は、通常、その出射接線 ( ) または入射接線 ( ) ベクトル場 (ヌル法線でもある) のいずれかによって定義されます。したがって、それぞれおよびに関して定義される2 つの光学スカラー セット とが得られます。 ${\displaystyle k^{a}=l^{a}}$${\displaystyle k^{a}=n^{a}}$${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}}$${\displaystyle \{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}}$${\displaystyle l^{a}}$${\displaystyle n^{a}}$

測地線上の時間的合同性に関する の伝播（または進化）は、次の式に従います。 ${\displaystyle B_{ab}}$${\displaystyle Z^{c}}$

${\displaystyle (13)\quad Z^{c}\nabla _{c}B_{ab}=-B_{\;\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c}Z^{d}\;.}$

式(13)のトレースを と縮約してとると、式(13)は次のようになる。 ${\displaystyle g^{ab}}$

${\displaystyle (14)\quad Z^{c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\,\tau }=-{\frac {1}{3}}\theta ^{2}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+\omega _{ab}\omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}}$

式(6)の量に関して。さらに、式(13)のトレースフリーの対称部分は

${\displaystyle (15)\quad Z^{c}\nabla _{c}\sigma _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \sigma _{ab}-\sigma _{ac}\sigma _{\;b}^{c}-\omega _{ac}\omega _{\;b}^{c}+{\frac {1}{3}}h_{ab}\,(\sigma _{cd}\sigma ^{cd}-\omega _{cd}\omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{2}}{\tilde {R}}_{ab}\,.}$

最後に、式(13)の反対称成分は、

${\displaystyle (16)\quad Z^{c}\nabla _{c}\omega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \omega _{ab}-2\sigma _{\;[b}^{c}\omega _{a]c}\;.}$

（一般的な）測地線ヌル合同は次の伝播方程式に従う。

${\displaystyle (16)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {B}}_{ab}=-{\hat {B}}_{\;\;b}^{c}{\hat {B}}_{ac}+{\widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;.}$

式(9)にまとめられた定義を用いると、式(14)は次の成分方程式に書き直すことができる。

${\displaystyle (17)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\theta }}={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}+{\hat {\omega }}_{ab}{\hat {\omega }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (18)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}\;,}$

${\displaystyle (19)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\omega }}_{ab}\;.}$

零超曲面上に制限された測地零合同については、

${\displaystyle (20)\quad k^{c}\nabla _{c}\theta ={\hat {\theta }}_{,\,\lambda }=-{\frac {1}{2}}{\hat {\theta }}^{2}-{\hat {\sigma }}_{ab}{\hat {\sigma }}^{ab}-{\widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\theta }}\;,}$

${\displaystyle (21)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\sigma }}_{ab}=-{\hat {\theta }}{\hat {\sigma }}_{ab}+{\widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}+\kappa _{(\ell )}{\hat {\sigma }}_{ab}\;,}$

${\displaystyle (22)\quad k^{c}\nabla _{c}{\hat {\omega }}_{ab}=0\;.}$

前のセクションをよりよく理解するために、ヌル合同を表すNPスピン係数の意味を簡単に確認します。^[1]ヌルフローを支配する Raychaudhuri方程式^[6]のテンソル形式は、

${\displaystyle (23)\quad {\mathcal {L}}_{\ell }\theta _{(\ell )}=-{\frac {1}{2}}\theta _{(\ell )}^{2}+{\tilde {\kappa }}_{(\ell )}\theta _{(\ell )}-\sigma _{ab}\sigma ^{ab}+{\tilde {\omega }}_{ab}{\tilde {\omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b}\,,}$

ここで はと定義される。レイチャウドゥリ方程式の量はスピン係数と次のように関係している。 ${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}}$${\displaystyle {\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}}$

${\displaystyle (24)\quad \theta _{(\ell )}=-(\rho +{\bar {\rho }})=-2{\text{Re}}(\rho )\,,\quad \theta _{(n)}=\mu +{\bar {\mu }}=2{\text{Re}}(\mu )\,,}$

${\displaystyle (25)\quad \sigma _{ab}=-\sigma {\bar {m}}_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {\sigma }}m_{a}m_{b}\,,}$

${\displaystyle (26)\quad {\tilde {\omega }}_{ab}={\frac {1}{2}}\,{\Big (}\rho -{\bar {\rho }}{\Big )}\,{\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}={\text{Im}}(\rho )\cdot {\Big (}m_{a}{\bar {m}}_{b}-{\bar {m}}_{a}m_{b}{\Big )}\,,}$

ここで式(24)は、 ${\displaystyle {\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}}$

${\displaystyle (27)\quad \theta _{(\ell )}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}l_{b}+{\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}l_{b}=m^{b}{\bar {\delta }}l_{b}+{\bar {m}}^{b}\delta l_{b}=-(\rho +{\bar {\rho }})\,,}$

${\displaystyle (28)\quad \theta _{(n)}={\hat {h}}^{ba}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}m^{a}\nabla _{a}n_{b}+m^{b}{\bar {m}}^{a}\nabla _{a}n_{b}={\bar {m}}^{b}\delta n_{b}+m^{b}{\bar {\delta }}n_{b}=\mu +{\bar {\mu }}\,.}$

• レイチャウダリ方程式
• 合同性（一般相対性理論）