破裂域

抽象代数学において、多項式の破断場とは${\displaystyle P(X)}$特定のフィールド上で${\displaystyle K}$は、​${\displaystyle K}$ルートによって生成されました${\displaystyle a}$の${\displaystyle P(X)}$[ ^{1 ]​}

例えば、${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$そして${\displaystyle P(X)=X^{3}-2}$それから${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$は、${\displaystyle P(X)}$。

この考え方は主に次のような場合に興味深い。${\displaystyle P(X)}$は還元不可能である${\displaystyle K}$その場合、すべての破裂場は${\displaystyle P(X)}$以上${\displaystyle K}$非正準的に同型である${\displaystyle K_{P}=K[X]/(P(X))}$： もし${\displaystyle L=K[a]}$どこ${\displaystyle a}$は${\displaystyle P(X)}$すると、環準同型${\displaystyle f}$定義される${\displaystyle f(k)=k}$すべての人々のために${\displaystyle k\in K}$そして${\displaystyle f(X{\bmod {P}})=a}$は同型写像である。また、この場合、拡張の次数はの次数に等しい。${\displaystyle P}$。

多項式の破断場は必ずしもその多項式のすべての根を含むとは限りません。上記の例では、場は${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$他の 2 つの (複雑な) 根は含まれていません${\displaystyle P(X)}$（すなわち${\displaystyle \omega {\sqrt[{3}]{2}}}$そして${\displaystyle \omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}}}$どこ${\displaystyle \omega }$は、1 の原始立方根です。多項式のすべての根を含む体については、「体の分割」を参照してください。

破裂場${\displaystyle X^{2}+1}$以上${\displaystyle \mathbb {R} }$は${\displaystyle \mathbb {C} }$これも分裂場である。

破壊場${\displaystyle X^{2}+1}$以上$\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$は$\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$要素がないため$\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$これは​${\displaystyle -1}$（そしてすべての二次拡張$\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$は同型である$\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$)