楕円関数

複素解析の分野において、楕円関数は2つの周期条件を満たす特殊な有理型関数です。楕円関数と呼ばれるのは、楕円積分から得られる関数だからです。そして、楕円積分は、楕円の弧長を計算する際に初めて用いられたことから、楕円関数と呼ばれています。

重要な楕円関数としては、ヤコビ楕円関数とワイエルシュトラス関数がある。${\displaystyle \wp }$-関数。

この理論のさらなる発展により、超楕円関数とモジュラー形式が生まれた。

有理型関数は、2 つの関数が存在する場合、楕円関数と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形独立な複素数${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$そのため

$${\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z){\text{ および }}f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C} .}$$

楕円関数は2つの周期を持つため、二重周期関数である。

もし${\displaystyle f}$は周期を持つ楕円関数である${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$また、以下のことも主張する。

$${\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)}$$

すべての線形結合について${\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$と${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$。

アーベル群

$${\displaystyle \Lambda$$ :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}

これは周期格子と呼ばれます。

によって生成された平行四辺形$\displaystyle \omega _{1}}$そして$\displaystyle \omega _{2}}$

$${\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}}$$

は基本的な領域である${\displaystyle \Lambda }$行動する${\displaystyle \mathbb {C} }$。

幾何学的に複素平面は平行四辺形で敷き詰められています。ある基本領域で起こることは、他のすべての領域でも繰り返されます。そのため、楕円関数は商群を持つ関数として見なすことができます。${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$定義域として。この商群は楕円曲線と呼ばれ、対辺が同一視される平行四辺形として視覚化することができ、位相的にはトーラスである。^{[ 1 ]}

以下の３つの定理は、リウヴィルの定理（1847年）として知られています。

最も重要な楕円関数の1つはワイエルシュトラス関数である。${\displaystyle \wp }$-関数。与えられた周期格子に対して${\displaystyle \Lambda }$それは定義される

$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$$

これは、すべての格子点に2次の極を持つように構築されています。${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$は級数を収束させるために存在する。

${\displaystyle \wp }$は偶数楕円関数である。つまり、${\displaystyle \wp (-z)=\wp (z)}$[ ^{6 ]​}

その派生形

$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$$

奇関数です。${\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z).}$^{[ 6 ]}

楕円関数理論の主な結果の 1 つは次のとおりです。与えられた周期格子に関するすべての楕円関数は${\displaystyle \Lambda }$は、有理関数として表現できる。${\displaystyle \wp }$そして${\displaystyle \wp '}$[ ^{7 ]​}

の${\displaystyle \wp }$関数は微分方程式を満たす

$${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$$

どこ${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}}$は、${\displaystyle \Lambda }$より正確には、${\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})}$そして${\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})}$、 どこ${\displaystyle G_{4}}$そして${\displaystyle G_{6}}$いわゆるアイゼンシュタインシリーズである。^{[ 8 ]}

代数的な言葉で言えば、楕円関数の体は体と同型である。

$${\displaystyle \mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3}),}$$

同型写像が${\displaystyle \wp }$に${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \wp '}$に${\displaystyle Y}$。

• 
  ワイエルシュトラス${\displaystyle \wp }$周期格子を用いた関数${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z} }$
• 
  の派生${\displaystyle \wp }$-関数

楕円積分との関係は、主に歴史的な背景に基づいている。楕円積分はルジャンドルによって研究され、その研究はニールス・ヘンリック・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビによって引き継がれた。

アーベルは逆関数を取ることによって楕円関数を発見した。${\displaystyle \varphi }$楕円積分関数の

$${\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$$

と${\displaystyle x=\varphi (\alpha )}$[ ^{9 ]​}

さらに彼は関数を定義した^{[ 10 ]}

$${\displaystyle f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}}$$

そして

$${\displaystyle F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}.}$$

複素平面に拡張すると、それらは二重周期関数であることが判明し、アーベル楕円関数として知られています。

ヤコビ楕円関数は、同様に楕円積分の逆関数として得られる。

ヤコビは積分関数を考察した

$${\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$$

そしてそれを反転させた。${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi )}$。${\displaystyle \operatorname {sn} }$はsinus amplitudinisの略で、新しい関数の名前です。^{[ 11 ]}彼は次にcosinus amplitudinis とdelta amplitudinisという関数を導入しました。これらは次のように定義されます。

$${\displaystyle \operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}}$$$${\displaystyle \operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}.}$$

このステップを踏むことによってのみ、ヤコビは1827年に楕円積分の一般変換公式を証明することができた。^{[ 12 ]}

微積分学の発展後まもなく、イタリアの数学者ジュリオ・ディ・ファニャーノとスイスの数学者レオンハルト・オイラーによって楕円関数の理論が始められました。彼らがレムニスケートの弧長を計算しようとしたとき、3次と4次の多項式の平方根を含む積分の問題に遭遇しました。^{[ 13 ]}これらのいわゆる楕円積分は初等関数では解けないことは明らかでした。ファニャーノは楕円積分間の代数的な関係に気づき、1750年にそれを発表しました。^{[ 13 ]}オイラーはすぐにファニャーノの結果を一般化し、楕円積分に対する代数的加法定理を提唱しました。^{[ 13 ]}

ランデンによるコメント^{[ 14 ]}を除いて、彼の考えは1786年にルジャンドルが論文「楕円弧による積分に関する覚書」^{[ 15 ]}を発表するまで追求されなかった。ルジャンドルはその後、楕円積分を研究し、それを楕円関数と呼んだ。ルジャンドルは3つの分類（3種類）を導入したが、これは当時かなり複雑だった理論の重要な簡略化であった。ルジャンドルの他の重要な著作には、「楕円超越関数に関する覚書」（1792年）^{[ 16 ]} 、 「積分計算演習」（1811～1817年）^{[ 17 ]} 、 「楕円関数論」 （1825～1832年） ^{[ 18 ]}がある。ルジャンドルの研究は、1826年まで数学者によってほとんど手つかずのままだった。

その後、ニールス・ヘンリック・アーベルとカール・グスタフ・ヤコビは研究を再開し、すぐに新しい結果を発見した。最初に彼らは楕円積分関数を逆関数にした。1829年にヤコビが提案したように、これらの逆関数は現在楕円関数と呼ばれている。ヤコビの最も重要な著作の1つは、1829年に出版された『Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum』である。 ^{[ 19 ]}オイラーが発見した加法定理は、1829年にアーベルによって一般形で定式化され証明された。当時、楕円関数の理論と二重周期関数の理論は異なる理論と考えられていた。これらは1856年にブリオとブーケによって統合された。 ^{[ 20 ]}ガウスは30年前に楕円関数の多くの性質を発見したが、この主題について何も発表しなかった。^{[ 21 ]}

• 楕円積分
• 楕円曲線
• モジュラーグループ
• シータ関数

• アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン・アン編（1983年）[1964年6月]。「第16章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第 55巻（第10版（1972年12月）の修正を加えた第9版再版；初版 ）。ワシントンDC；ニューヨーク：米国商務省国立標準局；ドーバー出版。567、627 ページ。ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   第18章も参照のこと。（実数不変量の場合のみを扱っている。）
• NI Akhiezer、『楕円関数論の基礎』（1970年、モスクワ）、英語訳『AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79』（1990年、AMS、ロードアイランド州）ISBN 0-8218-4532-2
• トム・M・アポストル著、『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数』、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク、1976年。ISBN 0-387-97127-0（第1章を参照。）
• E・T・ウィテカー、G・N・ワトソン著『現代解析学講義』ケンブリッジ大学出版局、1952年

• 「楕円関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• MAA、楕円関数に関するアーベルの論文の翻訳。
• YouTubeの「楕円関数と楕円積分」講座（講師：ウィリアム・A・シュワルム、4時間）
• Johansson, Fredrik (2018). "楕円関数、楕円積分、モジュラー形式の数値評価". arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].