並列（演算子）

どの分野においても、${\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\,\parallel \,,\,\cdot \,)}$様々な基本的同一性を満たす。

並列演算と乗法演算に関して可換である。

${\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}$

並列と乗算に関して結合法則が成り立つ: ^{[ 12 ] [ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}$

どちらの操作にも単位元があります。並列の場合の単位元は${\displaystyle \infty }$乗算の場合、単位元は1です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}$

すべての要素${\displaystyle a}$の${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$平行線の下に逆があり、等しい${\displaystyle -a,}$加法における逆元。（ただし、0は平行移動においては逆元を持たない。）

${\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}$

アイデンティティ要素${\displaystyle \infty }$自身の逆数である、${\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}$

すべての要素${\displaystyle a\neq \infty }$の${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$乗法逆元を持つ${\displaystyle a^{-1}=1/a}$:

${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}$

乗法は並列に対して分配法則が成り立つ：^{[ 1 ] [ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}$

繰り返し並列は除算に相当します。

${\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}$

または、両辺にnを掛けると、

${\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}$

繰り返し加算とは異なり、これは可換ではありません。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}\quad {\text{implies}}\quad \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{b{\text{ times}}}\,\neq \,\underbrace {b\parallel b\parallel \cdots \parallel b} _{a{\text{ times}}}~\!.}$

分配法則を2回使用すると、2つの並列二項式の積は次のように展開できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}$

二項式の二乗は

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}$

二項式の3乗は

${\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}$

一般に、二項式のn乗は、加算対象の係数の逆数である二項係数を用いて展開することができ、その結果、二項式の公式の類似式が得られます。

${\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}$

以下の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}$

加算の多項式と同様に、係数を持つ並列多項式${\displaystyle a_{k}}$で${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$（と${\displaystyle a_{0}\neq \infty }$)は単項式の積に因数分解できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}$

いくつかの根のために${\displaystyle r_{k}}$（おそらく繰り返される）${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}$

加法における多項式と同様に、多項式方程式

${\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }$

意味するところは${\textstyle x=r_{k}}$あるkについて。

線形方程式は、並列逆変換を用いることで容易に解くことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}$

平行な二次方程式を解くには、平方完成を行い、二次方程式の解の公式に相当する式を得る。

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}$

ゼロを含む拡張複素数、${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}$は並列演算と乗法に関して体ではなくなった。なぜなら、0 は並列演算に関して逆元を持たないからである。（これは、${\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}$フィールドではないのは${\displaystyle \infty }$加法逆元を持たない。）

ゼロでないすべてのaに対して、

${\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}$

数量${\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}$未定義のままにしておくことも（不定形を参照）、0に等しいと定義することもできます。

括弧がない場合、並列演算子は乗算と同様に加算または減算よりも優先されると定義されます。^{[ 1 ] [ 31 ] [ 9 ] [ 10 ]}

質量mとMが与えられた場合、換算質量${\displaystyle \mu ={\frac {mM}{m+M}}=m\parallel M}$慣性モーメントは力学において頻繁に用いられる。例えば、質量が互いに公転する場合、慣性モーメントはそれらの質量を換算した値に、質量間の距離を掛けた値となる。

電気工学では、並列演算子を使用して、さまざまな直列および並列電気回路の合計インピーダンスを計算できます。^{[ nb 2 ]}通常の（直列）和と並列和の間には双対性 があります。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

例えば、並列接続された抵抗器の合成抵抗は、個々の抵抗器の逆数の合計の逆数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}$

直列接続されたコンデンサの総容量についても同様である。^{[ nb 2 ]}

_{n 個の独立した確率密度関数 f 1} (x), f ₂ (x), …, f _n (x) の合体密度関数 f _coalesced (x) は、逆密度の合計の逆数に等しい。^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{f_{coalesced}(x)}}&={\frac {1}{f_{1}(x)}}+{\frac {1}{f_{2}(x)}}+\cdots +{\frac {1}{f_{n}(x)}}\\[5mu]\end{aligned}}}$

幾何光学において、レンズメーカー方程式に対する薄レンズ近似。

${\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}$

2 つの軌道天体の合の間隔を会合周期と呼びます。遅い方の天体の周期を T ₂、速い方の天体の周期を T ₁とすると、会合周期は

${\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}$