並列輸送

{\displaystyle \alpha } — 球面上で閉じたループ（AからN、B、そしてAに戻る）に沿ってベクトルを平行移動させること。そのねじれ角は、 $\alpha$ は、ループの内側の面積に比例します。

微分幾何学において、平行移動（または平行並進^{[ a ]} ）とは、多様体内の滑らかな曲線に沿って幾何学的データを移動させる方法である。多様体にアフィン接続（接束上の共変微分または接続）が備わっている場合、この接続によって、多様体のベクトルを曲線に沿って移動させ、接続に対して平行な状態を維持することができる。

接続の平行移動は、ある意味で多様体の局所的な幾何学を曲線に沿って移動させる方法、すなわち、近接する点の幾何学を接続する方法を提供する。平行移動の概念は数多く存在するかもしれないが、曲線上の点の幾何学を接続する一つの方法を指定することは、接続を提供することに等しい。実際、通常の接続の概念は、平行移動の微小な類似物である。あるいは逆に、平行移動は接続の局所的な実現である。

平行移動は接続の局所的な実現を提供すると同時に、ホロノミーとして知られる曲率の局所的な実現も提供する。アンブローズ・シンガーの定理は、曲率とホロノミーの間のこの関係を明確に示している。

他の接続概念にも、それぞれ独自の並列輸送システムが備わっている。例えば、ベクトル束におけるコズル接続は、共変微分と同様にベクトルの並列輸送を可能にする。エーレスマン接続やカルタン接続は、多様体から主束の全空間への曲線の持ち上げを提供する。このような曲線の持ち上げは、参照フレームの並列輸送とみなされることもある。

モチベーション

ユークリッド幾何学において、直線は、与えられた2点を結ぶすべての曲線の中で弧長を最小にする。また、直線の方向は直線に沿って一定に保たれる。言い換えれば、直線の接線ベクトルは直線に沿って平行に移動する。

微分多様体の理論では、弧長と平行移動を理解するために、追加の構造が必要となる。前者はリーマン構造によって提供され、計量測地線の概念につながる。後者は接続によって提供され、平行移動とアフィン測地線の概念につながる。

球体について考えてみましょう。 $\displaystyle S^{2}}$ は滑らかな多様体の一例として挙げられます。これを周囲の3次元ユークリッド空間の部分集合とみなすと、に接するベクトルについて語ることは理にかなっています。 $\displaystyle S^{2}}$ ある時点で $p\in S^{2}$ この点におけるすべての接線ベクトルは、周囲のベクトル空間の 2 次元部分空間を形成し、この 2 次元ベクトル空間を接空間と呼ぶことができます。 $\displaystyle S^{2}}$ で $p$ 滑らかな多様体の理論では、 $\displaystyle S^{2}}$ は、周囲の空間とは無関係に、それ自体として考えられ、接空間は $p$ は、内部的には、導関数のベクトル空間として定義されます。 $p$ 接空間は $p\in S^{2}$ は、 $T_{p}S^{2}$ 、そして一般的な微分可能多様体の場合 $M$ による $T_{p}M$ 平行移動の概念は、多様体の異なる点における接線ベクトル間に標準的な対応関係が存在しないという事実に対処するために導入された。一般に、この問題は全体的に解決することはできず、多様体内の微分可能な曲線に沿ってのみ解決できる。

ユークリッド空間における直線との類推から、リーマン多様体（ユークリッド空間における直線に相当）における測地線に沿った接ベクトル場は「変化しない」と言えます。つまり、接ベクトルは測地線に沿って互いに平行移動します。同様に、接ベクトルに直交する単位ベクトルも測地線に沿って平行移動します。線形性により、これは任意の接ベクトルの測地線に沿った平行移動を決定します。

一般的に、曲線に沿った接ベクトルの平行移動には、滑らかな構造に加えて追加の構造が必要です。上記の例では、球面上にリーマン計量が存在すると仮定し、それが測地線（極値を持つ曲線）を決定し、平行移動の規則はこのリーマン構造に従うものとしました。しかし、平行移動の概念はより一般的です。多様体の接ベクトルが曲線に沿ってどのように平行移動するかという規則は、多様体が滑らかな構造以外に追加の構造を持たない場合でも定義できるため、それ自体が「追加の構造」となり得ます。これは次のように行うことができます。多様体のあらゆる点におけるすべての接ベクトル $M$ 接線束を形成する $TM$ の $M$ カーブを曲がる $c:I\subseteq \mathbb {R} \to M$ 接線ベクトルを選択する $v(c(t))\in T_{p}M$ 各ポイントで $c(t)$ 結果として得られる関数 $v:I\to TM:t\mapsto v(c(t))$ 曲線は $TM$ 平行移動の一般規則は、接線ベクトルが $v$ は「水平」とみなされるべきである。接線ベクトルが $v$ （ $TTM$ 各点で水平である場合、 $v$ 水平曲線は $TM$ あるいは、 $v$ に平行に輸送される $c$ 曲線の接線ベクトルが $v$ 水平かそうでないかは接続と呼ばれます。これは、水平部分空間を指定します。 $T_{y}TM$ 各 $y\in TM$ 、したがって並列輸送を定義する。

接線ベクトルの平行移動

させて $M$ 滑らかな多様体とする。各点について $p\in M$ ⁠、関連するベクトル空間が存在する $T_{p}M$ 接空間と呼ばれる $M$ で $p$ . ベクトル $T_{p}M$ は、に接するベクトルと考えられています。 $M$ で $p$ リーマン計量 $g$ の上 $M$ それぞれに割り当てる $p$ 正定値内積 $g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbf {R}$ 滑らかな方法で。滑らかな多様体 $M$ リーマン計量を備えた $g$ はリーマン多様体であり、で表される。 $(M,g)$ ⁠ .

させて $x^{1},\ldots ,x^{n}$ 標準座標を表す $\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$ ユークリッド距離 $g^{\text{euc}}$ は

g^{\text{euc}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}

[ ²^]

ユークリッド空間はリーマン多様体である $(\mathbf {R} ^{n},g^{\text{euc}})$ 。

ユークリッド空間では、すべての接空間は平行移動によって互いに標準的に同一視されるため、ベクトルをある接空間から別の接空間へ移動させるのは容易です。接ベクトルの平行移動は、一般的なリーマン多様体において、ベクトルを曲線に沿ってある接空間から別の接空間へ移動させる方法です。ベクトルは多様体の接空間内にあっても、移動先の曲線の接空間内には必ずしも存在しないことに注意してください。

リーマン多様体上のアフィン接続は、ベクトル場を他のベクトル場に関して微分する方法です。リーマン多様体には、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる自然なアフィン接続があります。リーマン多様体上の固定されたアフィン接続が与えられると、接線ベクトルの平行移動を行う唯一の方法があります。^{[ 3 ]}アフィン接続の選択が異なると、平行移動のシステムも異なります。

正確な定義

させて $M$ アフィン接続を持つ多様体である $\nabla$ ⁠。次にベクトル場 $X$ と言われている任意のベクトル場に対して平行 $Y$ ⁠、 ⁠ $\nabla _{Y}X=0$ 直感的に言えば、平行ベクトル場はすべての導関数がゼロに等しく、したがってある意味で定数です。平行ベクトル場を2点で評価すると、 $x$ そして $y$ ⁠、接線ベクトル間の識別 $x$ そして1つは $y$ 得られる。このような接線ベクトルは互いに平行移動であると言われる。

より正確には、 $\gamma :I\rightarrow M$ は区間によってパラメータ化された区分的に連続微分可能な曲線である。 $[a,b]$ そして $\xi \in T_{x}M$ ⁠、そこで⁠ $x=\gamma (a)$ ⁠、するとベクトル場 $X$ 平行 $\gamma$ （特に、このベクトル場の値は⁠ $y=\gamma (b)$ ⁠ ) は、 $\xi$ 平行 $\gamma$ もし

$\nabla _{\gamma '(t)}X=0,{\text{ for all }}t\in [a,b]$
$X_{\gamma (a)}=\xi .$

正式には、最初の条件は、 $X$ プルバック束上のプルバック接続に対して平行である。 $\gamma ^{*}TM$ しかし、局所的に自明化すると、これは1階の線形常微分方程式系となり、2番目の条件で与えられる任意の初期条件に対して一意の解を持ちます（例えば、ピカール・リンデレーフの定理による）。

並行輸送 $X\in T_{\gamma (s)}M$ 接空間へ $T_{\gamma (t)}M$ カーブに沿って ${\displaystyle \gamma$ ⁠で表される $\Gamma (\gamma )_{s}^{t}X$ 地図

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:T_{\gamma (s)}M\to T_{\gamma (t)}M

は線形である。実際、それは同型写像である。 ${\overline {\gamma }}:[0,1]\to M$ 逆曲線とする ${\overline {\gamma }}(t)=\gamma (1-t).$ それから $\Gamma ({\overline {\gamma }})_{t}^{s}$ はの逆です $\Gamma (\gamma )_{s}^{t}$ ⁠ .

要約すると、平行移動は、アフィン接続を用いて接ベクトルを曲線に沿って移動させ、直感的に「同じ方向を向く」ようにする方法を提供し、これにより曲線の両端の接空間間に線形同型が成立します。このようにして得られる同型は、一般に曲線の選択に依存します。そうでない場合、あらゆる曲線に沿った平行移動を用いて $M上に平行ベクトル場を定義することができますが、これは$ $\nabla$ の曲率がゼロの場合にのみ可能です。

線形同型写像は、順序付けられた基底またはフレームに対する作用によって決定されます。したがって、平行移動は、（接線）フレーム束 $GL(M)$ の要素を曲線に沿って移動させる方法として特徴付けることもできます。言い換えれば、アフィン接続は、 $M$ $内$ の任意の曲線 $γを$ $GL($ $M$ $)$ 内の曲線 $γ̃に$ 持ち上げる機能を提供します。

例

以下の画像は、穴の開いた平面上の2つの異なるリーマン計量に関連付けられたレヴィ・チヴィタ接続によって誘発される平行移動を示しています。 $\mathbf {R} ^{2}\smallsetminus \{0,0\}$ 平行移動が行われる曲線は単位円です。極座標では、左側の計量は標準的なユークリッド計量です。 $dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}$ 一方、右側の指標は $dr^{2}+d\theta ^{2}$ この2番目の計量は原点に特異点を持つため、穿孔点を超えては広がりませんが、最初の計量は平面全体に広がります。

レヴィ・チヴィタ接続下の穿孔面上の平行移動

この輸送は、メトリックによって与えられます。

dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}

⁠ .

この輸送は、メトリックによって与えられます。

dr^{2}+d\theta ^{2}

⁠ .

警告：これは単位円に沿った穴あき平面上の平行移動であり、単位円上の平行移動ではありません。実際、最初の画像では、ベクトルは単位円の接空間の外側にあります。最初の計量は曲率がゼロなので、円に沿った2点間の移動は他の任意の曲線に沿っても実行できます。しかし、2番目の計量は曲率がゼロではなく、円は測地線なので、その接ベクトル場は平行です。

メトリック接続

計量接続とは、平行移動写像がリーマン計量を保存する接続のことである。すなわち、任意の曲線に対して $\gamma$ そして任意の2つのベクトル $X,Y\in T_{\gamma (s)}M$ ⁠、

\langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.

t = 0で微分すると、演算子∇ は計量に関して積の法則を満たします。

Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .

測地線との関係

アフィン接続は、（アフィン）測地線と呼ばれる曲線のクラスを区別する。^{[ 4 ]}曲線 $\gamma :I\rightarrow M$ アフィン測地線であるのは、 ${\dot {\gamma }}$ に沿って平行に輸送される $\gamma$ つまり

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).

時間に関して微分すると、より馴染みのある形になる。

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.

もし $\nabla$ が計量接続である場合、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の測地線であり、局所的に距離を最小化する曲線である。より正確には、まず、もし $\gamma :I\rightarrow M$ 、どこ $I$ は開区間であり、は測地線である。 ${\dot {\gamma }}$ は一定です $I$ 確かに、

{\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.

ガウスの補題を適用すると、 $A$ は標準です ${\dot {\gamma }}(t)$ そして、その距離によって決まる、曲線上の十分近い2点間の距離 $\gamma$ ⁠、言う $\gamma (t_{1})$ そして $\gamma (t_{2})$ ⁠ は、次のように与えられる。 ${\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.$ 上記の式は、十分に近くない点に対しては成り立たない可能性があります。例えば、測地線が多様体（例えば球面上）を一周する可能性があるためです。

ベクトル束上の並列輸送

接線ベクトルの平行移動は、任意のベクトル束を含むより一般的な構成の特殊なケースである。 $E$ 具体的には、接線ベクトルの平行移動は次のケースである。 $E$ 接束は $TM$ 。

M を滑らかな多様体とする。E → M を接続 ∇ を持つベクトル束とし、γ : I → Mを開区間Iでパラメータ化された曲線とする。 $X$ の $E$ γに沿った方向は、次の場合に平行と呼ばれます。

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.

の場合 $E$ は接束であり、 $X$ は接線ベクトル場であり、この式は、すべてのに対して、 $t$ 区間内では、接線ベクトルは $X$ は、から微小変位が $\gamma (t)$ 接線ベクトルの方向 ${\dot {\gamma }}(t)$ 完了しました。

断面ではなく、P = γ (0) ∈ Mにおける要素e ₀∈ E _Pが与えられていると仮定します。γに沿ったe ₀の平行移動は、 γ上の平行断面Xへのe ₀の拡張です。より正確には、Xはγに沿ったEの一意の部分であり、

$\nabla _{\dot {\gamma }}X=0$
$X_{\gamma (0)}=e_{0}.$

任意の座標パッチにおいて、(1)は常微分方程式を定義し、初期条件は(2)で与えられることに注意してください。したがって、ピカール・リンデレーフの定理は解の存在と一意性を保証します。

このように、接続∇はファイバーの要素を曲線に沿って移動させる方法を定義し、これにより曲線上の点におけるファイバー間の線形同型性が得られる。

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

γ ( s )上のベクトル空間からγ ( t )上のベクトル空間への同型写像。この同型写像は、曲線に関連付けられた平行移動写像として知られています。このようにして得られるファイバー間の同型写像は、一般に曲線の選択に依存します。そうでない場合は、すべての曲線に沿った平行移動を使用して、M全体にわたるEの平行セクションを定義できます。これは、 ∇の曲率がゼロの場合にのみ可能です。

特に、点xを起点とする閉曲線に沿った平行移動は、点xにおける接空間の自己同型写像を定義しますが、これは必ずしも自明ではありません。点xを基点とするすべての閉曲線によって定義される平行移動自己同型写像は、点xにおける∇のホロノミー群と呼ばれる変換群を形成します。この群と点xにおける∇の曲率の値の間には密接な関係があり、これがアンブローズ・シンガーのホロノミー定理の内容です。

並列トランスポートからの接続を復旧する

共変微分∇が与えられた場合、曲線γに沿った平行移動は条件を積分することによって得られる。 $\textstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ 逆に、適切な並列輸送の概念が利用可能であれば、微分によって対応する接続を得ることができます。このアプローチは、基本的にクネーベルマン（1951）によるものです。グッゲンハイマー（1977）を参照してください。ルミステ（2001）もこのアプローチを採用しています。

多様体内の各曲線γへのマッピングの集合の割り当てを考えます。

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

そのため

$\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ E _{γ (s)}の恒等変換。
$\Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.$
Γのγ、s、tへの依存性は「滑らか」である。

条件3における滑らかさの概念は、明確に定義するのがやや難しい（後述のファイバー束における並列輸送に関する議論を参照）。特に、小林や野水といった現代の研究者は、一般的に、接続の並列輸送は、滑らかさがより容易に表現できる何らかの別の意味での接続から生じるものと捉えている。

しかしながら、このような平行移動の規則が与えられれば、Eにおける関連する微小接続を次のように復元することが可能です。γを、始点γ (0) および始点接線ベクトルX = γ ′ (0) を持つM内の微分可能な曲線とします。Vがγ上のEの断面である場合、

\nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.

これは、 E上の関連する微小接続∇を定義する。この微小接続から、同じ平行移動Γを復元することができる。

一般化

平行移動は、ベクトル束で定義されるものだけでなく、他のタイプの接続に対してもより一般的に定義できます。その一般化の一つは主接続です（小林・野水 1996 、第1巻、第II章）。構造リー群Gを持つ多様体M上の主接続ωをP → Mとします。ベクトル束の場合と同様に、P上の主接続ωは、 M内の各曲線γに対して、写像を定義します。

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}

γ ( s )上のファイバーからγ ( t )上のファイバーへの変換は、同質空間の同型写像である。 $\Gamma _{\gamma (s)}g=g\Gamma _{\gamma (s)}$ 各g ∈ Gについて。

平行移動のさらなる一般化も可能である。エレスマン接続の文脈では、接続は接空間の「水平持ち上げ」という特別な概念に依存しており、水平持ち上げを介して平行移動を定義できる。カルタン接続は、平行移動を多様体内の曲線に沿って特定のモデル空間を「転がす」写像として考えることができる追加構造を持つエレスマン接続である。この転がりは展開と呼ばれる。

近似法：シルトの梯子

平行移動は、曲線に沿って有限ステップをとるシルトの梯子によって離散的に近似することができ、レヴィ・チヴィタ平行四辺形は近似平行四辺形によって近似されます。

注記

↑スピヴァク^[¹^]などの情報源では

引用文献

↑スピヴァク 1999、p. 234、第 2 巻、第 6 章。
↑ Lee 2018、pp. 12–13。
↑ Lee 2018、pp. 105–110。
↑ (小林・野水 1996 年、第 1 巻、第 3 章)

参考文献

グッゲンハイマー、ハインリッヒ（1977）、『微分幾何学』、ドーバー出版、ISBN 0-486-63433-7
Knebelman (1951)、「相対的平行空間」、Annals of Mathematics、2、53 ( 3)、The Annals of Mathematics、Vol. 53、No. 3: 387–399、doi : 10.2307/1969562、JSTOR 1969562
小林正七、野水勝己(1996) 『微分幾何学の基礎』第1巻、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3; 第2巻、ISBN 0-471-15732-5。
ルミステ、Ü. (2001) [1994]、「多様体上の接続」、数学百科事典、EMS Press
スピヴァク、マイケル（ 1999）。微分幾何学入門、第2巻。Publish -or-Perish Press。ISBN 0914098713。
Lee, John M. (2018).リーマン多様体入門. Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2。

外部リンク

球面幾何学デモ（2007年5月19日アーカイブ、Wayback Machine）。球面上での接線ベクトルの平行移動をデモンストレーションするアプレット。

[2] スピヴァク^[¹^]などの情報源では

[FOOTNOTESpivak1999234Vol._2,_Ch._6-1] スピヴァク 1999、p. 234、第 2 巻、第 6 章。

[FOOTNOTELee201812–13-3] Lee 2018、pp. 12–13。

[FOOTNOTELee2018105–110-4] Lee 2018、pp. 105–110。

[5] (小林・野水 1996 年、第 1 巻、第 3 章)

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