関連性論理は、 関連論理 とも呼ばれ、 含意 の 前提 と 結果 が関連していることを要求する 非古典的論理 の一種です。これらは、 部分構造 論理または 様相 論理のファミリーとして見ることができます。一般的に、 英国および特にオーストラリアの 論理学者は 関連性論理 と呼び、 米国の論理学者は
関連性論理 と呼びますが、普遍的ではありません。
関連性論理は、古典的な真理機能論理における「 物質的含意 」演算子 によって無視される含意の側面、 すなわち、真の含意の前提と条件の間の関連性の概念を捉えることを目的としている。このアイデアは新しいものではない。CI ルイスは 、古典論理が、 偽はあらゆる命題を含意する という原理などの 物質的含意のパラドックス を認めているという理由で、様相論理、具体的には 厳密な含意を 発明した。 [1] [2] したがって、「私がロバなら、2 足す 2 は 4」は物質的含意として翻訳すると真であるが、真の含意は何らかの関連性の概念によって前提と結果を結び付けなければならないため、直感的には偽であるように思われる。また、話者がロバであるかどうかは、2 足す 2 が 4 であるかどうかとはまったく関係がないように思われる。
命題計算 の統語的制約の観点から言えば 、前提と結論が 原子式（ 論理接続詞 を含まない式）を共有することが必要であるが、それだけでは十分ではない。 述語計算 では 、関連性には前提と結論の間で変数と定数を共有する必要がある。これは、例えば自然演繹システムの規則に特定の制限を課すことによって（より強い条件とともに）保証することができる。特に、フィッチスタイルの 自然演繹は 、推論の適用の各行の末尾に推論の結論に関連する前提を示すタグを導入することにより、関連性に対応するように適応させることができる。 ゲンツェン スタイルの シークエント計算は、 シークエント の右側または左側に任意の式を導入することを可能にする弱めの規則を削除することにより修正することができる 。
関連性論理の注目すべき特徴は、矛盾のない論理 であることです 。つまり、矛盾が存在しても、必ずしも「 爆発 」が発生するわけではありません。これは、結果と命題文字や述語文字を共有しない矛盾する先行詞を持つ条件文は、真（または導出可能）にはなり得ないという事実から生じます。
歴史 関連性論理は、1928年にソ連の哲学者 イヴァン・E・オルロフ （1886年 - 1936年頃）が、 Matematicheskii Sbornik で発表した厳密な数学論文「命題の両立性の論理」で提唱した。関連性含意の基本的な考え方は中世論理学に登場し、1950年代には アッカーマン [3] 、 モー [4] 、 チャーチ [5] によって先駆的な研究が行われた。それらを参考にして、 ヌエル・ベルナップ と アラン・ロス・アンダーソン （他）は 、1970年代にこの分野の 最高傑作である 含意：関連性と必然性の論理 を執筆した（第2巻は1990年代に出版された）。彼らは 含意 のシステムと関連性のシステムの両方に焦点を当てており、前者の種類の含意は関連性と必然性の両方を持つと考えられている。
公理 関連性論理の初期の発展は、より強いシステムに焦点が当てられていました。Routley-Meyer 意味論の発展により、より弱い論理の範囲が生まれました。これらの論理の中で最も弱いのは関連性論理 B です。これは、次の公理と規則で公理化されます。
あ → あ
{\displaystyle A\to A}
あ ∧ B → あ
{\displaystyle A\land B\to A}
あ ∧ B → B
{\displaystyle A\land B\to B}
（ あ → B ） ∧ （ あ → Ｃ ） → （ あ → B ∧ Ｃ ）
{\displaystyle (A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)}
あ → あ ∨ B
{\displaystyle A\to A\lor B}
B → あ ∨ B
{\displaystyle B\to A\lor B}
（ あ → Ｃ ） ∧ （ B → Ｃ ） → （ あ ∨ B → Ｃ ）
{\displaystyle (A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)}
あ ∧ （ B ∨ Ｃ ） → （ あ ∧ B ） ∨ （ あ ∧ Ｃ ）
{\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)}
¬ ¬ あ → あ
{\displaystyle \lnot \lnot A\to A}
ルールは以下のとおりです。
あ 、 あ → B ⊢ B
{\displaystyle A,A\to B\vdash B}
あ 、 B ⊢ あ ∧ B
{\displaystyle A,B\vdash A\land B}
あ → B ⊢ （ Ｃ → あ ） → （ Ｃ → B ）
{\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)}
あ → B ⊢ （ B → Ｃ ） → （ あ → Ｃ ）
{\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)}
あ → ¬ B ⊢ B → ¬ あ
{\displaystyle A\to \lnot B\vdash B\to \lnot A}
以下の公理のいずれかを追加することで、より強力なロジックが得られます。
（ あ → B ） → （ ¬ B → ¬ あ ）
{\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}
（ あ → B ） ∧ （ B → Ｃ ） → （ あ → Ｃ ）
{\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}
（ あ → B ） → （ （ B → Ｃ ） → （ あ → Ｃ ） ）
{\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}
（ あ → B ） → （ （ Ｃ → あ ） → （ Ｃ → B ） ）
{\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}
（ あ → （ あ → B ） ） → （ あ → B ）
{\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}
（ あ ∧ （ あ → B ） ） → B
{\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}
（ あ → ¬ あ ） → ¬ あ
{\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}
（ あ → （ B → Ｃ ） ） → （ B → （ あ → Ｃ ） ）
{\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}
A
→
(
(
A
→
B
)
→
B
)
{\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}
(
(
A
→
A
)
→
B
)
→
B
{\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}
A
∨
¬
A
{\displaystyle A\lor \lnot A}
A
→
(
A
→
A
)
{\displaystyle A\to (A\to A)}
次のように B に公理を追加することで得られる、B よりも強力な注目すべき論理がいくつかあります。
DW の場合、公理 1 を追加します。 DJ の場合、公理 1、2 を追加します。 TW の場合、公理 1、2、3、4 を追加します。 RW の場合、公理 1、2、3、4、8、9 を追加します。 T の場合、公理 1、2、3、4、5、6、7、11 を追加します。 R の場合、公理 1 ～ 11 を追加します。 E については、公理 1-7、10、11、、 およびを追加します。 ここで、 は として定義されます 。
(
(
A
→
A
)
∧
(
B
→
B
)
→
C
)
→
C
{\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}
◻
A
∧
◻
B
→
◻
(
A
∧
B
)
{\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}
◻
A
{\displaystyle \Box A}
(
A
→
A
)
→
A
{\displaystyle (A\to A)\to A}
RM の場合は、追加の公理をすべて追加します。
モデル
ルートリー・マイヤーモデル 関連性論理の標準モデル理論は、 リチャード・ラウトリー とロバート ・マイヤー によって開発されたラウトリー・マイヤーの三項関係意味論です。命題言語のラウトリー・マイヤーフレーム F は四重項 (W,R,*,0) です。ここで、W は空でない集合、R は W 上の三項関係、* は W から W への関数、です。ラウトリー・マイヤーモデル M は、ラウトリー・マイヤーフレーム F と 、各点 に対する各原子命題に真理値を割り当てる 評価 を組み合わせたものです 。ラウトリー・マイヤーフレームにはいくつかの条件が課せられます。 を と定義します 。
0
∈
W
{\displaystyle 0\in W}
⊩
{\displaystyle \Vdash }
a
∈
W
{\displaystyle a\in W}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
R
0
a
b
{\displaystyle R0ab}
a
≤
a
{\displaystyle a\leq a}
。 かつ ならば 。
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
b
≤
c
{\displaystyle b\leq c}
a
≤
c
{\displaystyle a\leq c}
かつ ならば 。
d
≤
a
{\displaystyle d\leq a}
R
a
b
c
{\displaystyle Rabc}
R
d
b
c
{\displaystyle Rdbc}
a
∗
∗
=
a
{\displaystyle a^{**}=a}
。 もし ならば 。
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
b
∗
≤
a
∗
{\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}
およびと 書き、それぞれ の点 で 式が 真であるか偽であるかを示します 。Routley-Meyer モデルの最後の条件は遺伝条件です。
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A}
M
,
a
⊮
A
{\displaystyle M,a\nVdash A}
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
M
{\displaystyle M}
かつ ならば 、 すべての原子命題 に対して が 成り立ちます 。
M
,
a
⊩
p
{\displaystyle M,a\Vdash p}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
M
,
b
⊩
p
{\displaystyle M,b\Vdash p}
p
{\displaystyle p}
帰納的議論により、以下の真理条件を使用して、遺伝性が複雑な式にまで拡張されることを示すことができます。
かつ の場合 、すべての式に対して と なります 。
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
M
,
b
⊩
A
{\displaystyle M,b\Vdash A}
A
{\displaystyle A}
複素数式の真理条件は次のとおりです。
M
,
a
⊩
A
∧
B
⟺
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}
そして
M
,
a
⊩
B
{\displaystyle M,a\Vdash B}
M
,
a
⊩
A
∨
B
⟺
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}
または
M
,
a
⊩
B
{\displaystyle M,a\Vdash B}
M
,
a
⊩
A
→
B
⟺
∀
b
,
c
(
(
R
a
b
c
∧
M
,
b
⊩
A
)
⇒
M
,
c
⊩
B
)
{\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}
M
,
a
⊩
¬
A
⟺
M
,
a
∗
⊮
A
{\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}
式は 、 の場合に限り、 モデルで成立します。 式 がフレームで成立する のは、A がすべてのモデル で成立する場合に限ります。 式 がフレームのクラスで有効であるためには、A がそのクラスのすべてのフレーム で成立する場合に限ります。上記の条件を満たすすべての Routley-Meyer フレームのクラスは、関連性ロジック B を検証します。R と * に適切な制限を課すことで、他の関連性ロジックに対する Routley-Meyer フレームを取得できます。これらの条件は、いくつかの標準的な定義を使用して簡単に記述できます。 を と定義し 、 を と定義します 。フレーム条件とそれらが検証する公理の一部を以下に示します。
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
M
,
0
⊩
A
{\displaystyle M,0\Vdash A}
A
{\displaystyle A}
F
{\displaystyle F}
(
F
,
⊩
)
{\displaystyle (F,\Vdash )}
A
{\displaystyle A}
R
a
b
c
d
{\displaystyle Rabcd}
∃
x
(
R
a
b
x
∧
R
x
c
d
)
{\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}
R
a
(
b
c
)
d
{\displaystyle Ra(bc)d}
∃
x
(
R
b
c
x
∧
R
a
x
d
)
{\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}
最後の 2 つの条件は、関連性ロジックが本来回避するために開発された弱体化の形式を検証します。これらは、Routley-Meyer モデルの柔軟性を示すために含まれています。
運用モデル
アーカートモデル 関連性論理の否定のないフラグメントの操作モデルは、 Alasdair Urquhart によって博士論文とその後の研究で開発されました。操作モデルの背後にある直感的なアイデアは、モデル内のポイントは情報の一部であり、条件をサポートする情報とその先行条件をサポートする情報を組み合わせると、結果をサポートする情報が得られるというものです。操作モデルは一般に否定を解釈しないため、このセクションでは条件、接続詞、および選言を含む言語のみを検討します。
操作フレームは 3 つの要素 で 、 は 空でない集合 、 は 上の 2 項演算です 。フレームには条件があり、その一部は異なるロジックをモデル化するために省略できます。関連性ロジック R の条件をモデル化するために Urquhart が提案した条件は次のとおりです。
F
{\displaystyle F}
(
K
,
⋅
,
0
)
{\displaystyle (K,\cdot ,0)}
K
{\displaystyle K}
0
∈
K
{\displaystyle 0\in K}
⋅
{\displaystyle \cdot }
K
{\displaystyle K}
x
⋅
x
=
x
{\displaystyle x\cdot x=x}
(
x
⋅
y
)
⋅
z
=
x
⋅
(
y
⋅
z
)
{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}
x
⋅
y
=
y
⋅
x
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}
0
⋅
x
=
x
{\displaystyle 0\cdot x=x}
これらの条件下では、操作フレームは 結合セミラティス です。
操作モデルは 、ポイントと原子命題のペアを真理値 T または F にマッピングする 評価を持つ フレームです 。次のように複雑な式の
評価に拡張できます。
M
{\displaystyle M}
F
{\displaystyle F}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
⊩
{\displaystyle \Vdash }
M
,
a
⊩
p
⟺
V
(
a
,
p
)
=
T
{\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}
、原子命題の場合
M
,
a
⊩
A
∧
B
⟺
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}
そして
M
,
a
⊩
B
{\displaystyle M,a\Vdash B}
M
,
a
⊩
A
∨
B
⟺
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}
または
M
,
a
⊩
B
{\displaystyle M,a\Vdash B}
M
,
a
⊩
A
→
B
⟺
∀
b
(
M
,
b
⊩
A
⇒
M
,
a
⋅
b
⊩
B
)
{\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}
式は 、 の場合に限り 、モデル内で有効です 。 式は、 各モデル内で有効である場合に限り、 モデルのクラス内で有効です 。
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
M
,
0
⊩
A
{\displaystyle M,0\Vdash A}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
M
∈
C
{\displaystyle M\in C}
R の条件フラグメントは、セミラティス モデルのクラスに関して健全かつ完全です。論理積と論理和を含むロジックは、R の条件付き、論理積、論理和フラグメントよりも適切に強力です。特に、式は 操作モデルに対して有効ですが、R では無効です。R の操作モデルによって生成されたロジックには、 Kit Fineと Gerald Charlwood による完全な公理証明システムがあります。Charlwood はまた、このロジックの自然演繹システムを提供し、それが公理システムと同等であることを証明しました。Charlwood は、彼の自然演繹システムが Dag Prawitz によって提供されたシステムと同等であることを示しました 。
(
A
→
(
B
∨
C
)
)
∧
(
B
→
C
)
→
(
A
→
C
)
{\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}
操作的意味論は、フレームに 空でない世界の集合 とアクセス可能性関係を追加することで、E の条件をモデル化するように適応でき ます。アクセス可能性関係は、E の条件に S4 の必然性があるという考え方を捉えるために、反射的かつ推移的である必要があります。評価は、原子命題、ポイント、および世界の 3 つ組を真理値にマッピングします。条件の真理条件は次のように変更されます。
W
{\displaystyle W}
≤
{\displaystyle \leq }
W
×
W
{\displaystyle W\times W}
M
,
a
,
w
⊩
A
→
B
⟺
∀
b
,
∀
w
′
≥
w
(
M
,
b
,
w
′
⊩
A
⇒
M
,
a
⋅
b
,
w
′
⊩
B
)
{\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}
操作的意味論は、に 関係を追加することで T の条件をモデル化するように適応できます 。関係は次の条件に従う必要があります。
≤
{\displaystyle \leq }
K
×
K
{\displaystyle K\times K}
0
≤
x
{\displaystyle 0\leq x}
かつ ならば 、
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
y
≤
z
{\displaystyle y\leq z}
x
≤
z
{\displaystyle x\leq z}
もし 、
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
x
⋅
z
≤
y
⋅
z
{\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}
条件の真理条件は次のように変更されます。
M
,
a
⊩
A
→
B
⟺
∀
b
(
(
a
≤
b
∧
M
,
b
⊩
A
)
⇒
M
,
a
⋅
b
⊩
B
)
{\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}
操作モデルを使用して、縮約のない関連性論理 TW と RW をモデル化する方法には 2 つあります。最初の方法は、条件 を削除することです 。2 番目の方法は、フレームのセミラティス条件を保持し、 フレームに分離性の 2 項関係 を追加することです。これらのモデルでは、条件の真理条件は次のように変更され、TW の場合の順序が追加されます。
x
⋅
x
=
x
{\displaystyle x\cdot x=x}
J
{\displaystyle J}
M
,
a
⊩
A
→
B
⟺
∀
b
(
(
J
a
b
∧
M
,
b
⊩
A
)
⇒
M
,
a
⋅
b
⊩
B
)
{\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}
ハンバーストーンモデル Urquhart は、R のセミラティス論理が R の正のフラグメントよりも適切に強いことを示しました。Lloyd Humberstone は、論理和の異なる真理条件を許可する操作モデルの強化を提供しました。結果として得られるモデルのクラスは、R の正のフラグメントを正確に生成します。
演算フレーム は 4 重 であり 、 は 空でない集合、、 { 、 } は 上の二項演算です 。 を と定義します 。フレーム条件は次のとおりです。
F
{\displaystyle F}
(
K
,
⋅
,
+
,
0
)
{\displaystyle (K,\cdot ,+,0)}
K
{\displaystyle K}
0
∈
K
{\displaystyle 0\in K}
⋅
{\displaystyle \cdot }
+
{\displaystyle +}
K
{\displaystyle K}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
∃
x
(
a
+
x
=
b
)
{\displaystyle \exists x(a+x=b)}
0
⋅
x
=
x
{\displaystyle 0\cdot x=x}
x
⋅
y
=
y
⋅
x
{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}
(
x
⋅
y
)
⋅
z
=
x
⋅
(
y
⋅
z
)
{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}
x
≤
x
⋅
x
{\displaystyle x\leq x\cdot x}
x
+
y
=
y
+
x
{\displaystyle x+y=y+x}
(
x
+
y
)
+
z
=
x
+
(
y
+
z
)
{\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}
x
+
x
=
x
{\displaystyle x+x=x}
x
⋅
(
y
+
z
)
=
x
⋅
y
+
x
⋅
z
{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}
x
≤
y
+
z
⇒
∃
y
′
,
z
′
∈
K
(
y
′
≤
y
{\displaystyle x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y}
、 そして
z
′
≤
z
{\displaystyle z'\leq z}
x
=
y
′
+
z
′
)
{\displaystyle x=y'+z')}
操作モデルは 、ポイントと原子命題のペアを真理値 T または F にマッピングする 評価を持つ フレームです 。次のように複雑な式の
評価に拡張できます。
M
{\displaystyle M}
F
{\displaystyle F}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
⊩
{\displaystyle \Vdash }
M
,
a
⊩
p
⟺
V
(
a
,
p
)
=
T
{\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}
、原子命題の場合
M
,
a
+
b
⊩
p
⟺
M
,
a
⊩
p
{\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p}
そして
M
,
b
⊩
p
{\displaystyle M,b\Vdash p}
M
,
a
⊩
A
∧
B
⟺
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}
そして
M
,
a
⊩
B
{\displaystyle M,a\Vdash B}
M
,
a
⊩
A
∨
B
⟺
M
,
a
⊩
A
{\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}
または または ; および
M
,
a
⊩
B
{\displaystyle M,a\Vdash B}
∃
b
,
c
(
a
=
b
+
c
{\displaystyle \exists b,c(a=b+c}
M
,
b
⊩
A
{\displaystyle M,b\Vdash A}
M
,
c
⊩
B
)
{\displaystyle M,c\Vdash B)}
M
,
a
⊩
A
→
B
⟺
∀
b
(
M
,
b
⊩
A
⇒
M
,
a
⋅
b
⊩
B
)
{\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}
式は 、 の場合に限り 、モデル内で有効です 。 式は、 各モデル内で有効である場合に限り、 モデルのクラス内で有効です 。
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
M
,
0
⊩
A
{\displaystyle M,0\Vdash A}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
M
∈
C
{\displaystyle M\in C}
R の正のフラグメントは、これらのモデルのクラスに関して健全かつ完全です。Humberstone のセマンティクスは、次のようにフレーム条件を削除または追加することで、さまざまなロジックをモデル化するように適応できます。
代数モデル いくつかの関連性論理には、論理Rのような代数モデルを与えることができる。Rの代数構造はド・モルガンモノイドであり、これは6つの組であり 、
(
D
,
∧
,
∨
,
¬
,
∘
,
e
)
{\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}
(
D
,
∧
,
∨
,
¬
)
{\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}
は、法則に従い 、 かつ の場合には となる 、単項演算を伴う 分配 格子 です。
¬
{\displaystyle \lnot }
¬
¬
x
=
x
{\displaystyle \lnot \lnot x=x}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
¬
y
≤
¬
x
{\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}
e
∈
D
{\displaystyle e\in D}
の二項演算 は 可換 ( ) かつ 結合的 ( ) であり、 つまり は 単位元 を持つ アーベルモノイド です 。
∘
{\displaystyle \circ }
x
∘
y
=
y
∘
x
{\displaystyle x\circ y=y\circ x}
(
x
∘
y
)
∘
z
=
x
∘
(
y
∘
z
)
{\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}
e
∘
x
=
x
{\displaystyle e\circ x=x}
(
D
,
∘
,
e
)
{\displaystyle (D,\circ ,e)}
e
{\displaystyle e}
モノイドは格子順序付きであり、 を満たす 。
x
∘
(
y
∨
z
)
=
(
x
∘
y
)
∨
(
x
∘
z
)
{\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}
x
≤
x
∘
x
{\displaystyle x\leq x\circ x}
; そして ならば 、 。
x
∘
y
≤
z
{\displaystyle x\circ y\leq z}
x
∘
¬
z
≤
¬
y
{\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}
R の条件を解釈する 演算は と定義されます 。ド・モルガン・モノイドは 、次の剰余条件に従う
剰余格子です。
x
→
y
{\displaystyle x\to y}
¬
(
x
∘
¬
y
)
{\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}
x
∘
y
≤
z
⟺
x
≤
y
→
z
{\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}
解釈とは 、命題言語からド・モルガンモノイドへの 準同型 写像であり 、
v
{\displaystyle v}
M
{\displaystyle M}
v
(
p
)
∈
D
{\displaystyle v(p)\in D}
すべての原子命題について、
v
(
¬
A
)
=
¬
v
(
A
)
{\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}
v
(
A
∨
B
)
=
v
(
A
)
∨
v
(
B
)
{\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}
v
(
A
∧
B
)
=
v
(
A
)
∧
v
(
B
)
{\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}
v
(
A
→
B
)
=
v
(
A
)
→
v
(
B
)
{\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}
ド・モルガン・モノイド と解釈が与えられている場合、式は の場合に限って 成り立つと 言えます 。式は、 すべてのド・モルガン・モノイドのすべての解釈に成り立つ場合に限って有効です。論理 R はド・モルガン・モノイドに対して健全かつ完全です。
M
{\displaystyle M}
v
{\displaystyle v}
A
{\displaystyle A}
v
{\displaystyle v}
e
≤
v
(
A
)
{\displaystyle e\leq v(A)}
A
{\displaystyle A}
参照
哲学ポータル
参考文献
^ Lewis, CI (1912). 「含意と論理の代数」 Mind , 21 (84):522–531. ^ Lewis, CI (1917). 「物質的含意に関する問題」 Journal of Philosophy, Psychology, and Scientific Methods 、 14 :350–356。 ^ Ackermann, W. (1956)、「Begründung einer strengen Implikation」、 Journal of Symbolic Logic 、 21 (2): 113–128、 JSTOR 2268750
^ モー、ショウクウェイ（1950）「演繹定理と二つの新しい論理システム」、 Methodos 、 2 ：56-75
Moh Shaw-Kwei、1950、「」メソッド 2 56–75。 ^ チャーチ、A.（1951）、 弱い含意の理論 Kontroliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften 、Kommissions-Verlag Karl Alber、A. Menne、A. Wilhelmy、H. Angsil 編、22 ～ 37 ページ。
文献 アラン・ ロス・アンダーソン と ヌエル・ベルナップ 、1975年。 『含意：関連性と必然性の論理、第1巻』 。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-07192-6 ------- および JM Dunn、1992 年、 「含意：関連性と必然性の論理」第 2 巻 、プリンストン大学出版局。 Mares, Edwin、および Meyer, RK、2001、「Relevant Logics」、Goble, Lou 編、『 The Blackwell Guide to Philosophical Logic』 、Blackwell。 Richard Routley、Val Plumwood、Robert K. Meyer、および Ross T. Brady。 関連ロジックとそのライバル 。Ridgeview、1982 年。 R. Brady (編)、 『Relevant Logics and their Rivals (Volume II)』 、アルダーショット：アッシュゲート、2003年。 Urquhart, Alasdair (1972). 「関連ロジックのセマンティクス」 (PDF) . Journal of Symbolic Logic . 37 : 159–169. doi :10.2307/2272559. アラスデア・アーカート。 含意の意味論 。博士論文、ピッツバーグ大学、1972年。 Katalin Bimbó 、「関連性論理」、 Philosophy of Logic 、D. Jacquette (編)、( Handbook of the Philosophy of Science 、D. Gabbay、P. Thagard、J. Woods (編) の第 5 巻)、Elsevier (North-Holland)、2006 年、723 ～ 789 ページ。 J. Michael Dunn と Greg Restall。関連性論理。 哲学論理ハンドブック 、第 6 巻、F. Guenthner と D. Gabbay (編)、ドルドレヒト: Kluwer、2002 年、1 ～ 136 ページ。 スティーブン・リード 『Relevant Logic 』オックスフォード：ブラックウェル、1988年。 ハンバーストーン、ロイド (1987)。「正の R の操作的意味論」。 ノートルダム形式論理ジャーナル 。29 (1): 61–80。doi : 10.1305/ ndjfl /1093637771 。
外部リンク スタンフォード哲学百科事典 ：「関連性論理」 – エドウィン・マレス著。 関連性ロジック – J. Michael Dunn と Greg Restall 著 関連性のあるロジック – スティーブン・リード著
